$\textbf{Bài 164.}$ Cho $\Delta ABC$ vuông tại $C$ có đường cao $CD$. Cho biết $AM$ và $CN$ lần lượt là đường trung tuyến của $\Delta ADC$ và $\Delta DCB$. Chứng minh $AM \perp CN$.

Lời giải

Chứng minh $AM \perp CN$.

Vẽ đường phụ: Trên tia đối của tia $MN$ lấy điểm $E$ sao cho $M$ là trung điểm của $NE$ (tức $MN = ME$).
Xét $\triangle DMN$ và $\triangle CME$:
$DM = CM$ (vì $M$ là trung điểm $DC$)
$\widehat{DMN} = \widehat{CME}$ (hai góc đối đỉnh)
$MN = ME$ (cách vẽ)
Suy ra $\triangle DMN = \triangle CME$ (c.g.c).
Suy ra $DN = CE$ (2 cạnh tương ứng) và $\widehat{MDN} = \widehat{MCE}$ (2 góc tương ứng)
Vì $\widehat{MDN}$ và $\widehat{MCE}$ nằm ở vị trí so le trong, nên $DN // CE$.
Mặt khác, $N$ là trung điểm $DB$ nên $DN = NB$. Do đó $NB = CE$ và $NB // CE$.
$\triangle NCE$ và $\triangle CNB$ có $NB = CE$ (cmt); $NC$ là cạnh chung và $\widehat{NCE} = \widehat{CNB}$ (2 góc so le trong, vì $NB //CE$) suy ra $\triangle NCE = \triangle CNB$ (c.g.c).

Cách này cũng giúp các em chứng minh được đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy - lớp 8.
Suy ra $\widehat{CNE} = \widehat{NCB}$ (2 góc tương ứng) mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong, do đó $NE // BC$.

Suy ra $NM // BC$ do đó $NM \perp AC$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $C$ nên  $AC \perp BC$).
Xét $\Delta ANC$ có đường cao $CD$ và $NM \perp AC$ (cmt) cắt nhau tại M $\Rightarrow$ M là trực tâm của $\triangle ANC$. Vì $M$ là trực tâm của $\Delta ANC$, nên đường thẳng đi qua đỉnh $A$ và trực tâm $M$ (chính là đường thẳng $AM$) phải vuông góc với cạnh đối diện ($CN$).$\Rightarrow AM \perp CN$