TRƯỜNG 218 LÝ TỰ TRỌNG, Q.1
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 7 tháng 6 năm 2026
ĐIỆN THOẠI: 028 38.243.243
ĐỀ THI VÀO LỚP ĐỘI TUYỂN NĂM HỌC 2026 – 2027
MÔN THI: TOÁN KHỐI: 8
Đề thi tự luận, số trang: 1 trang
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. ($1,5 \times 2 = 3$ điểm)
Cho đa thức $A(x) = ax^2 + bx + c$.
a) Chứng minh rằng nếu đa thức $A(x)$ có nghiệm là $1$ thì $a + b + c = 0$.
b) Chứng minh rằng nếu đa thức $A(x)$ có hai nghiệm là $1$ và $-1$ thì $a + c = 0$.

LỜI GIẢI
$A(x) = ax^2 + bx + c$
a) Đa thức $A(x)$ có nghiệm là $1$ nên $A(1) = 0$ suy ra $a.1^2 + b.1 + c = 0$. Do đó $a + b + c = 0$ (1).
b) Đa thức $A(x)$ có nghiệm là $-1$ nên $A(-1) = 0$ suy ra $a.(-1)^2 + b.(-1) + c = 0$. Do đó $a - b + c = 0$ (2).
Từ (1) và (2), ta có: $(a + b + c) + (a - b + c) = 0$ nên $2a + 2c = 0$ hay $2(a + c) = 0$ suy ra $a + c = 0$.

Câu 2. ($1,5 \times 2 = 3$ điểm)
Tìm các số $x, y, z$ biết:
a) $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3}$ và $x + y = 8$.
b) $\frac{5}{x - 5} = \frac{3}{y - 3} = \frac{7}{z - 7}$ và $xyz = 13125$ (với $x \neq 5, y \neq 3$ và $z \neq 7$).

LỜI GIẢI
a) • Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{x-1+y-2}{2+3} = \frac{(x+y)-3}{5} = \frac{8-3}{5} = 1$
• Từ $\frac{x-1}{2} = 1$ ta có $x - 1 = 2.1$ suy ra $x = 1 + 2 = 3$ và từ $\frac{y-2}{3} = 1$ ta có $y - 2 = 3.1$ suy ra $y = 3 + 2 = 5$
Vậy $x = 3$ và $y = 5$.
b) Từ $\frac{5}{x-5} = \frac{3}{y-3} = \frac{7}{z-7}$ và nghịch đảo các tỉ số ta được: $\frac{x-5}{5} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-7}{7}$ nên $\frac{x}{5}-1 = \frac{y}{3}-1 = \frac{z}{7}-1$ suy ra $\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z}{7}$
• Ta có: $(\frac{x}{5})^3 = \frac{x}{5} \cdot \frac{x}{5} \cdot \frac{x}{5} = \frac{x}{5} \cdot \frac{y}{3} \cdot \frac{z}{7} = \frac{xyz}{5.3.7} = \frac{13125}{105} = 125 = 5^3$.
• Do đó $\frac{x}{5} = 5$ suy ra $x = 5.5 = 25$; $\frac{y}{3} = \frac{x}{5} = 5$ suy ra $y = 3.5 = 15$ và $\frac{z}{7} = \frac{x}{5} = 5$ suy ra $z = 7.5 = 35$

Câu 3. ($1 \times 2 = 2$ điểm)
Một hộp có $20$ chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số tự nhiên $1, 2, 3, \dots, 20$; hai thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
a) Biến cố A: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia cho $4$ dư $1$".
b) Biến cố B: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số nguyên tố hoặc là số chia cho $3$ dư $2$".

LỜI GIẢI
Tổng số kết quả có thể xảy ra khi rút một thẻ là $20$ (tương ứng với các số tự nhiên từ $1$ đến $20$).
a) Biến cố A: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia cho 4 dư 1".
• Các số chia cho $4$ dư $1$ trong các số tự nhiên từ $1$ đến $20$ là: $\{1; 5; 9; 13; 17\}$.
• Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $5$ nên xác suất là: $P = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.
b) Biến cố B: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số nguyên tố hoặc là số chia cho 3 dư 2".
• Các số nguyên tố từ $1$ đến $20$ là: $\{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\}$ (có $8$ số).
• Các số chia cho $3$ dư $2$ từ $1$ đến $20$ là: $\{2; 5; 8; 11; 14; 17; 20\}$ (có $7$ số).
• Các số thỏa mãn một trong hai điều kiện trên là: $\{2; 3; 5; 7; 8; 11; 13; 14; 17; 19; 20\}$ (có $11$ số).
• Số kết quả thuận lợi của biến cố B là $11$ nên xác suất là: $P = \frac{11}{20}$.

Câu 4. ($1,5 \times 2 = 3$ điểm)
Trong một cuộc đua xe đạp, ba vận động viên Bắc, Nam và Tây cùng xuất phát từ địa điểm A để đi đến địa điểm B. Biết rằng:
* Thời gian đi từ A đến B của Bắc, Nam và Tây lần lượt tỉ lệ thuận với $2; 3; 5$.
* Thời gian để Bắc đi hết quãng đường AB ít hơn tổng thời gian của Nam và Tây đi hết quãng đường AB là $1,1$ giờ.
a) Tính thời gian đi từ A đến B của mỗi vận động viên (đơn vị: phút).
b) Tính vận tốc của mỗi vận động viên (đơn vị: km/h), biết vận tốc của Bắc nhanh hơn vận tốc của Tây là $18$ km/h.

LỜI GIẢI
a) Gọi $t_1, t_2, t_3$ (giờ) lần lượt là thời gian của Bắc, Nam và Tây đi từ A đến B ($t_1, t_2, t_3 > 0$).
• Do thời gian đi từ A đến B của Bắc, Nam và Tây lần lượt tỉ lệ thuận với $2; 3; 5$ nên $\frac{t_1}{2} = \frac{t_2}{3} = \frac{t_3}{5}$.
• Do thời gian Bắc đi hết quãng đường AB ít hơn tổng thời gian của Nam và Tây đi hết quãng đường AB là $1,1$ giờ nên $(t_2 + t_3) - t_1 = 1,1$ (giờ).
• Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{t_1}{2} = \frac{t_2}{3} = \frac{t_3}{5} = \frac{(t_2 + t_3) - t_1}{(3 + 5) - 2} = \frac{1,1}{6} = \frac{11}{60}$ suy ra
$t_1 = 2 \cdot \frac{11}{60} = \frac{22}{60}$ (giờ) $= 22$ (phút), $t_2 = 3 \cdot \frac{11}{60} = \frac{33}{60}$ (giờ) $= 33$ (phút) và $t_3 = 5 \cdot \frac{11}{60} = \frac{55}{60}$ (giờ) $= 55$ (phút).
Vậy thời gian đi từ A đến B của Bắc, Nam và Tây lần lượt là $22$ phút; $33$ phút và $55$ phút.
b) Gọi $v_1, v_2, v_3$ (km/h) lần lượt là vận tốc của Bắc, Nam và Tây ($v_1, v_2, v_3 > 0$).
• Do ba vận động viên cùng đi trên quãng đường AB nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch mà thời gian đi của ba người tỉ lệ thuận với $2; 3; 5$, do đó vận tốc của họ sẽ tỉ lệ nghịch với $2; 3; 5$.
Suy ra: $2v_1 = 3v_2 = 5v_3$ nên $\frac{2v_1}{30} = \frac{3v_2}{30} = \frac{5v_3}{30}$. Do đó: $\frac{v_1}{15} = \frac{v_2}{10} = \frac{v_3}{6}$
• Vận tốc của Bắc nhanh hơn vận tốc của Tây là $18$ km/h nên $v_1 - v_3 = 18$ (km/h).
• Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{v_1}{15} = \frac{v_2}{10} = \frac{v_3}{6} = \frac{v_1 - v_3}{15 - 6} = \frac{18}{9} = 2$.
Do đó $v_1 = 15 \cdot 2 = 30$; $v_2 = 10 \cdot 2 = 20$ và $v_3 = 6 \cdot 2 = 12$.
Vậy vận tốc của Bắc, Nam và Tây lần lượt là $30$ km/h, $20$ km/h và $12$ km/h.

Câu 5. ($3 + 2 + 1 = 6$ điểm)
Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại A, có trung tuyến là AN ($N \in BC$). Gọi M là trung điểm của NC. Kẻ BS và CT lần lượt vuông góc với đường thẳng AM tại S và tại T.
a) Chứng minh $\Delta ANC$ vuông cân và $\Delta BSA = \Delta ATC$.
b) Chứng minh $\Delta ASN = \Delta CTN$ và SN là tia phân giác của $\widehat{BSM}$.
c) Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với BS tại F, đường thẳng này cắt đường thẳng AC tại I. Chứng minh A là trung điểm của IC.

LỜI GIẢI
a) Chứng minh $\Delta ANC$ vuông cân và $\Delta BSA = \Delta ATC$. ($1,5 \times 2 = 3$ điểm)
- $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB = AC$ và $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45^\circ$
- $\Delta ABC$ có trung tuyến là $AN$ nên $N$ là trung điểm của $BC$ suy ra $NB = NC$ mà $AB = AC$ (cmt) nên $A, N$ cùng thuộc đường trung trực của $BC$ suy ra $AN \perp BC$ tại $N$.
- $\Delta ANC$ vuông tại $N$ có $\widehat{ACB} = 45^\circ$ nên $\Delta ANC$ vuông cân tại $N$ (đpcm) suy ra $NA = NC$.
- $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $\Delta BSA$ vuông tại $S$ nên $\widehat{CAT} + \widehat{BAS} = \widehat{BAC} = 90^\circ$ và $\widehat{ABS} + \widehat{BAS} = 90^\circ$ suy ra $\widehat{CAT} = \widehat{ABS}$.
- $\Delta BSA$ vuông tại $S$ và $\Delta ATC$ vuông tại $T$ có $AB = AC$ và $\widehat{ABS} = \widehat{CAT}$ nên $\Delta BSA = \Delta ATC$ (cạnh huyền - góc nhọn) (đpcm) suy ra $AS = CT$ (2 cạnh tương ứng).

b) Chứng minh $\Delta ASN = \Delta CTN$ và $SN$ là tia phân giác của $\widehat{BSM}$. ($1 \times 2 = 2$ điểm)
- $\Delta ANM$ vuông tại $N$ và $\Delta CTM$ vuông tại $T$ nên $\widehat{NAS} + \widehat{M}_1 = 90^\circ$ và $\widehat{NCT} + \widehat{M}_2 = 90^\circ$ mà $\widehat{M}_1 = \widehat{M}_2$ (2 góc đối đỉnh) suy ra $\widehat{NAS} = \widehat{NCT}$
- $\Delta ASN$ và $\Delta CTN$ có $NA = NC, \widehat{NAS} = \widehat{NCT}$ và $AS = CT$ (cmt) nên $\Delta ASN = \Delta CTN$ (c.g.c) (đpcm).
- Từ $\Delta ASN = \Delta CTN$ suy ra $NS = NT$ (2 cạnh tương ứng) và $\widehat{ANS} = \widehat{CNT}$ (2 góc tương ứng) mà $\widehat{ANS} + \widehat{SNM} = \widehat{ANM} = 90^\circ$ nên $\widehat{CNT} + \widehat{SNM} = 90^\circ$ suy ra $\widehat{SNT} = 90^\circ$, kết hợp $NS = NT$ ta có $\Delta SNT$ vuông cân tại $N$ nên $\widehat{NST} = 45^\circ = \frac{90^\circ}{2} = \frac{\widehat{BSM}}{2}$ mà tia $SN$ nằm trong $\widehat{BSM}$ suy ra $SN$ là tia phân giác của $\widehat{BSM}$ (đpcm).

c) Chứng minh $A$ là trung điểm của $IC$. ($1$ điểm)
- Trên tia đối của tia $MA$, lấy điểm $K$ sao cho $MA = MK$.
- $\Delta AMC$ và $\Delta KMN$ có $MA = MK, \widehat{AMC} = \widehat{KMN}$ (đối đỉnh) và $MC = MN$ (do $M$ là trung điểm của $NC$) nên $\Delta AMC = \Delta KMN$ (c.g.c) suy ra $AC = KN$ (2 cạnh tương ứng) và $\widehat{MAC} = \widehat{MKN}$ (2 góc tương ứng) mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên $KN \parallel AC$ mà $I \in AC$ nên $KN \parallel AI$ suy ra $\widehat{KNA} = \widehat{IAN}$ (so le trong). Ta có $NI \parallel KA$ (cùng vuông góc với $BS$) suy ra $\widehat{KAN} = \widehat{INA}$ (so le trong).
- $\Delta KNA$ và $\Delta IAN$ có $\widehat{KNA} = \widehat{IAN}, AN$ là cạnh chung và $\widehat{KAN} = \widehat{INA}$ nên $\Delta KNA = \Delta IAN$ (g.c.g) suy ra $KN = AI$ (2 cạnh tương ứng), kết hợp $AC = KN$ suy ra $AI = AC$ mà $A \in IC$ nên $A$ là trung điểm của $IC$ (đpcm).
Câu 6. ($1 \times 2 + 1 = 3$ điểm)
Hình vẽ bên gồm một hình vuông lớn bên ngoài và một hình vuông nhỏ nằm chính giữa. Khoảng trống giữa hai hình vuông được lấp đầy bởi 4 tam giác vuông bằng nhau. (học sinh không cần vẽ hình vào bài làm)
a) Biết chu vi của hình vuông lớn là $40$ cm. Diện tích của hình vuông nhỏ ở giữa là $4$ cm$^2$. Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của mỗi tam giác vuông là $a$ và $b$ (với $a, b \in \mathbb{N}^*$ và $a > b$). Tính diện tích của mỗi tam giác vuông (đơn vị: cm$^2$) và tìm giá trị của $a$ và $b$ (đơn vị: cm).
b) Cho biết cạnh của hình vuông lớn là $c$. Không sử dụng các số liệu ở câu a, chứng minh rằng $c^2 = a^2 + b^2$.

LỜI GIẢI
a) Cạnh hình vuông lớn là: $40 : 4 = 10$ (cm).
Diện tích hình vuông lớn là: $10^2 = 100$ (cm$^2$).
Tổng diện tích của 4 tam giác vuông là hiệu diện tích hai hình vuông nên diện tích mỗi tam giác vuông là: $(100 - 4) : 4 = 24$ (cm$^2$).
Diện tích hình vuông nhỏ là $4$ cm$^2$ nên cạnh hình vuông nhỏ là $2$ cm.
Từ hình vẽ, cạnh của hình vuông nhỏ chính là hiệu hai cạnh góc vuông của tam giác nên: $a - b = 2$.
Diện tích mỗi tam giác vuông là: $\frac{1}{2}ab = 24$ nên $ab = 48$. Do $a, b \in \mathbb{N}^*$ nên $a$ và $b$ phải là các ước của $48$.
Ta có: $a - b = 2$ và $48 = 48 \cdot 1 = 24 \cdot 2 = 16 \cdot 3 = 12 \cdot 4 = 8 \cdot 6$ nên ta chọn được cặp số thỏa điều kiện của đề bài là: $a = 8$ và $b = 6$. Vậy $a = 8$ cm và $b = 6$ cm.

b) Diện tích hình vuông lớn có cạnh $c$ là $c^2$. Tổng diện tích 4 tam giác vuông là: $4 \cdot \frac{1}{2}ab = 2ab$.
Cạnh của hình vuông nhỏ là: $a - b$ nên diện tích hình vuông nhỏ là $(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Do diện tích hình vuông lớn bằng tổng diện tích 4 tam giác vuông và diện tích hình vuông nhỏ nên $c^2 = 2ab + (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + b^2$.