Bài 4 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A, có đường cao AH.
a) Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH
b) Vẽ đường trung tuyến BK của tam giác ABC cắt AH tại G. Từ C kẻ đường thẳng song song với AH cắt BK tại I. Chứng minh KG = KI
c) Gọi HI cắt CG tại O. Chứng minh 2.BG=3.CO

Giải

a) Chứng minh rABH = rACH
AH là đường cao ⇒ AH ⊥ BC ⇒

Xét rABH vuông tại H và rACH vuông tại H, ta có:

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)

AH là cạnh chung

Vậy rABH = rACH (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

b) Chứng minh KG = KI

BK là đường trung tuyến của rABC Þ K là trung điểm của AC Þ KA = KC

Từ C kẻ đường thẳng song song với AH cắt BK tại I Þ CI//AH Þ (2 góc soletrong)

Xét rAKG và rCKI, ta có

(2 góc đối đỉnh)

KA = KC (cmt)

(cmt)

Vậy rAKG = rCKI (g-c-g) Þ KG = KI (2 cạnh tương ứng)

c) Chứng minh 2.BG=3.CO

Ta có rABH = rACH (cmt) Þ HB = HC (2 cạnh tương ứng) mà H Î BC Þ H là trung điểm BC Þ AH là đường trung tuyến của rABC

rABC có 2 đường trung tuyến BK và AH cắt nhau tại G Þ G là trọng tâm của rABC

Þ BG = 2.KG (tính chất trọng tâm) mà KG = KI Þ GI = KG + KI = 2.KG Þ GI = BG mà B, G, K, I cùng thuộc BI nên G là trung điểm BI Þ CG là đường trung tuyến của rBIC

rBIC có 2 đường trung tuyến CG và IH (H là trung điểm BC) cắt nhau tại O Þ O là trọng tâm của rBIC Þ (tính chất trọng tâm) (1)

Ta có AH ^ HC và H là trung điểm BC Þ AH là đường trung trực của BC , mà G Î AH Þ GB = GC kết hợp (1) ta được: