MẸO "THẦN CHÚ" TÍNH NHANH DÃY PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT

Để giải quyết các bài toán tổng phân số có dạng mẫu là tích hai số, em hãy nhớ nằm lòng quy tắc sau:
1. Quan sát mẫu số: Nếu mẫu số là $a.b$ và tử số đúng bằng hiệu $(b - a)$, ta tách ngay thành:
$$\frac{b - a}{a.b} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$$
2. Nếu tử số chưa bằng hiệu: Ta phải đưa nhân tử chung ra ngoài để biến đổi tử số về đúng hiệu của hai số dưới mẫu.
3. Kết quả "vèo" một cái: Toàn bộ các số hạng ở giữa sẽ tự triệt tiêu, chỉ còn lại: (Số đầu) - (Số cuối).
 

LỜI GIẢI CHI TIẾT 

Đề bài: Tính giá trị biểu thức
$$ A = 2023 - \frac{1}{2.6} - \frac{1}{4.9} - \frac{1}{6.12} - \dots - \frac{1}{36.57} - \frac{1}{38.60} $$

Bước 1: Nhóm các phân số có quy luật vào một ngoặc
$$ A = 2023 - \left( \frac{1}{2.6} + \frac{1}{4.9} + \frac{1}{6.12} + \dots + \frac{1}{36.57} + \frac{1}{38.60} \right) $$
(Đặt dấu trừ ra ngoài và đổi dấu các hạng tử bên trong ngoặc để gom nhóm dãy phân số có quy luật lại với nhau)

Bước 2: Phân tích quy luật ở mẫu số
Ta thấy ở mỗi mẫu số:
- $2.6 = 2 . (3.2) = 6 . (1.2)$
- $4.9 = 4 . (3.3) = 6 . (2.3)$
- $6.12 = 6 . (3.4) = 6 . (3.4)$
...
- $38.60 = 38 . (3.20) = 6 . (19.20)$
(Tách các số ở mẫu để tìm ra nhân tử chung là số 6, giúp đưa dãy về dạng cơ bản $n.(n+1)$)

Bước 3: Đưa nhân tử chung ra ngoài
$$ A = 2023 - \left( \frac{1}{6 . 1.2} + \frac{1}{6 . 2.3} + \frac{1}{6 . 3.4} + \dots + \frac{1}{6 . 19.20} \right) $$
(Thay thế các giá trị mẫu số đã phân tích ở bước 2 vào biểu thức)

$$ A = 2023 - \frac{1}{6} . \left( \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \dots + \frac{1}{19.20} \right) $$
(Sử dụng tính chất phân phối, đặt nhân tử chung $\frac{1}{6}$ ra ngoài dấu ngoặc)

Bước 4: Áp dụng công thức tính nhanh (Thần chú)
$$ A = 2023 - \frac{1}{6} . \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{19} - \frac{1}{20} \right) $$
(Tách mỗi phân số dạng $\frac{1}{n.(n+1)}$ thành hiệu $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ theo quy tắc đã học)

Bước 5: Triệt tiêu các hạng tử đối nhau
$$ A = 2023 - \frac{1}{6} . \left( 1 - \frac{1}{20} \right) $$
(Các cặp số $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}, -\frac{1}{3} + \frac{1}{3}, \dots$ đều bằng 0, chỉ còn lại số hạng đầu và số hạng cuối)

Bước 6: Tính toán kết quả cuối cùng
$$ A = 2023 - \frac{1}{6} . \left( \frac{20}{20} - \frac{1}{20} \right) $$
(Quy đồng mẫu số trong ngoặc để thực hiện phép trừ)

$$ A = 2023 - \frac{1}{6} . \frac{19}{20} $$
(Thực hiện phép tính trừ trong ngoặc)

$$ A = 2023 - \frac{19}{120} $$
(Thực hiện phép nhân hai phân số: tử nhân tử, mẫu nhân mẫu)

$$ A = \frac{2023 . 120 - 19}{120} = \frac{242760 - 19}{120} = \frac{242741}{120} $$
(Quy đồng và thực hiện phép trừ cuối cùng để ra kết quả dạng phân số)

Vậy giá trị của biểu thức là: $A = \frac{242741}{120}$

Trình bài vào vở: 
Đề bài: Tính giá trị biểu thức
$ A = 2023 - \frac{1}{2.6} - \frac{1}{4.9} - \frac{1}{6.12} - \dots - \frac{1}{36.57} - \frac{1}{38.60} $
$ A = 2023 - \left( \frac{1}{2.6} + \frac{1}{4.9} + \frac{1}{6.12} + \dots + \frac{1}{36.57} + \frac{1}{38.60} \right) $
$ A = 2023 - \left( \frac{1}{6 . 1.2} + \frac{1}{6 . 2.3} + \frac{1}{6 . 3.4} + \dots + \frac{1}{6 . 19.20} \right) $
$ A = 2023 - \frac{1}{6} . \left( \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \dots + \frac{1}{19.20} \right) $
$ A = 2023 - \frac{1}{6} . \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{19} - \frac{1}{20} \right) $
$ A = 2023 - \frac{1}{6} . \left( 1 - \frac{1}{20} \right) $
$ A = 2023 - \frac{1}{6} . \left( \frac{20}{20} - \frac{1}{20} \right) $
$ A = 2023 - \frac{1}{6} . \frac{19}{20} $
$ A = 2023 - \frac{19}{120} $
$ A = \frac{2023 . 120 - 19}{120} = \frac{242760 - 19}{120} = \frac{242741}{120} $
Vậy giá trị của biểu thức là: $A = \frac{242741}{120}$