△ABC, K là trung điểm AB. Qua K vẽ các đường thẳng song song BC cắt AC tại N, song song AC cắt BC tại M
a) Chứng minh KN = CM
b) Chứng minh N là trung điểm AC, M là trung điểm BC
c) Trên tia đối của tia CM lấy D sao cho CM = CD, DK cắt AC tại I, Chứng minh I là trung điểm KD
d) Trên tia đối của tia BK lấy E sao cho BE = BK, Chứng minh E, M, I thẳng hàng.
e) KM cắt ED tại F. Chứng minh (KF+EI+BD) >(KE+KD+ED)

a. Chứng minh KN = CM

Xét △KNM và △CMN ta có:

(2 góc soletrong và KN // BC)

MN là cạnh chung

(2 góc soletrong và KM // AC)

Suy ra △KNM = △CMN (g.c.g)  ⇒  KN = CM (2 cạnh tương ứng)

b. Chứng minh N là trung điểm AC, M là trung điểm BC

Xét △AKN và △KBM ta có:

 (2 góc đồng vị và KM // AC)

AK = BK (do K là trung điểm AB)

 (2 góc đồng vị và KN // BC)

Suy ra △AKN = △KBM (g.c.g)  ⇒  AN = KM (2 cạnh tương ứng)

Mà KM = NC (2 cạnh tương ứng của △KNM = △CMN ) nên AN = NC mà N Î AC ⇒ N là trung điểm AC

Ta có △AKN = △KBM (cmt)  ⇒  KN = BM (2 cạnh tương ứng)

Mà KN = CM (cmt) nên BM = CM mà M Î BC ⇒ M là trung điểm BC

c) Chứng minh I là trung điểm KD

Xét △KNI và △DCI ta có:

 (2 góc soletrong và KN // BC)

KN = CD (= CM )

 (2 góc soletrong  và KN // BC)

Suy ra △KNI = △DCI (g.c.g)  ⇒  KI = ID (2 cạnh tương ứng)

mà I Î KD ⇒ I là trung điểm KD

d) Chứng minh E, M, I thẳng hàng.

Trên tia đối của tia CM lấy D sao cho CM = CD mà M là trung điểm BC (cmt) ⇒ DM = 2MB

Trên tia đối của tia BK lấy E sao cho BE = BK ⇒ B là trung điểm của KE ⇒ DB là đường trung tuyến

△KDE có DB là đường trung tuyến (cmt) và M Î BD  và DM = 2MB suy ra M chính là trọng tâm của △KDE (tính chất trọng tâm tam giác)

Mà EI là đường trung tuyến của △KDE (do I là trung điểm của KD) nên trung tuyến EI đi qua trọng tâm M của △KDE.

Do đó, ba điểm E, M, I thẳng hàng.

"Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng, đôi khi chúng ta không nhìn trực tiếp vào đường thẳng đó, mà hãy xem chúng có cùng nằm trên một 'con đường đặc biệt' nào không. Ở đây, con đường đó chính là đường trung tuyến đi qua trọng tâm."

e) Chứng minh (KF+EI+BD) >(KE+KD+ED)

△KDE có M là trọng tâm nên KM cắt ED tại F ⇒ F là trung điểm DE

△KDE có M là trọng tâm nên ( tính chất trọng tâm tam giác)

Ta có:

(1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào 3 tam giác △KME; △EMD; △KMD

△KME có: KM + EM > KE

△EMD có: EM + DM > ED

△KMD có: KM + DM > KD

Cộng vế theo vế ta được:

2KM +2EM + 2DM > KE + ED + KD

2(KM + EM + DM) > KE + ED + KD

⇒  kết hợp (1) ta được

Suy ra

Các em chú ý: Đoạn dài (từ đỉnh đến trọng tâm) chiếm 2 phần, đoạn ngắn (từ trọng tâm đến trung điểm) chiếm 1 phần. Vậy cả sợi dây (trung tuyến) là 3 phần." Từ đó suy ra: Trung tuyến =$ \frac{3}{2}$ Đoạn dài.