Bài 56 Trang 29
Chào các em học sinh lớp 7 thân mến! Thầy rất vui khi được đồng hành cùng các em. Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán này bằng cách phá vỡ từng bước khó khăn nhé!
💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải các bài toán chứng minh chia hết liên quan đến lũy thừa, các em cần nắm vững:
1. Công thức lũy thừa:
$(a^m)^n = a^{m . n}$
$a^m . a^n = a^{m+n}$
$(a . b)^n = a^n . b^n$
2. Tính chất chia hết: Để chứng minh một biểu thức chia hết cho một số $m = a . b$ (với $a, b$ nguyên tố cùng nhau), ta chứng minh biểu thức đó đồng thời chia hết cho $a$ và $b$.
Ví dụ: Để chia hết cho $45$, ta chứng minh chia hết cho $5$ và $9$.
3. Đặt nhân tử chung: $a . b \pm a . c = a . (b \pm c)$.
4. Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số có chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$ thì chia hết cho $5$.
💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)
Câu a: Ta thấy $81, 27, 9$ đều đưa về được cơ số $3$. $81 = 3^4$, $27 = 3^3$, $9 = 3^2$. Sau khi đưa về cùng cơ số, thầy sẽ đặt lũy thừa thấp nhất làm nhân tử chung. Kết quả xuất hiện số $45$ nên biểu thức chắc chắn chia hết cho $45$.
Câu b: Để biểu thức là số tự nhiên, ta cần chứng minh tử số chia hết cho mẫu số. Thầy sẽ phân tích $639 = 9 . 71$. Sau đó thầy đặt $9^9$ ở tử số ra ngoài, phần còn lại trong ngoặc sẽ tính ra đúng bằng $71$.
Câu c: $36$ chia hết cho $9$, $9$ chia hết cho $9$ nên hiệu này chắc chắn chia hết cho $9$. Để chứng minh chia hết cho $5$, thầy dùng chữ số tận cùng. $36$ mũ bao nhiêu cũng tận cùng là $6$. $9$ mũ chẵn ($2000$ là số chẵn) sẽ tận cùng là $1$. $6 - 1 = 5$, vậy nó chia hết cho $5$.
Câu d: Đây là phép nhân, thầy sẽ phân tích tất cả ra thừa số nguyên tố ($2$ và $3$). Sau đó cộng các số mũ lại và so sánh với số mũ của $72^{63}$ sau khi đã phân tích.
2. Lỗi dấu: Khi đặt dấu trừ ra ngoài hoặc phá ngoặc, các em hay quên đổi dấu các hạng tử bên trong.
3. Lỗi chữ số tận cùng của số 9: Nhớ quy tắc: $9^{lẻ}$ tận cùng là $9$, $9^{chẵn}$ tận cùng là $1$.
4. Thiếu điều kiện: Khi chứng minh chia hết cho $45$ thông qua $5$ và $9$, phải lập luận rằng $5$ và $9$ là hai số nguyên tố cùng nhau ($gcd(5,9)=1$).
Lời giải nhanh:
Ta có: $8^8 + 2^{20} = (2^3)^8 + 2^{20} = 2^{24} + 2^{20}$
$= 2^{20} . (2^4 + 1)$
$= 2^{20} . (16 + 1) = 2^{20} . 17$
Vì $17 \vdots 17$ nên $2^{20} . 17 \vdots 17$. (Đpcm)
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
Bài 56. Chứng minh rằng:
a) $81^7 - 27^9 - 9^{13} \vdots 45$
b) $\frac{9^{11} - 9^{10} - 9^9}{639} \in \mathbb{N}$
c) $(36^{36} - 9^{2000}) \vdots 45$
d) $24^{54} . 54^{24} . 2^{10} \vdots 72^{63}$
a) $81^7 - 27^9 - 9^{13} \vdots 45$
b) $\frac{9^{11} - 9^{10} - 9^9}{639} \in \mathbb{N}$
c) $(36^{36} - 9^{2000}) \vdots 45$
d) $24^{54} . 54^{24} . 2^{10} \vdots 72^{63}$
💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải các bài toán chứng minh chia hết liên quan đến lũy thừa, các em cần nắm vững:
1. Công thức lũy thừa:
$(a^m)^n = a^{m . n}$
$a^m . a^n = a^{m+n}$
$(a . b)^n = a^n . b^n$
2. Tính chất chia hết: Để chứng minh một biểu thức chia hết cho một số $m = a . b$ (với $a, b$ nguyên tố cùng nhau), ta chứng minh biểu thức đó đồng thời chia hết cho $a$ và $b$.
Ví dụ: Để chia hết cho $45$, ta chứng minh chia hết cho $5$ và $9$.
3. Đặt nhân tử chung: $a . b \pm a . c = a . (b \pm c)$.
4. Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số có chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$ thì chia hết cho $5$.
💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)
Câu a: Ta thấy $81, 27, 9$ đều đưa về được cơ số $3$. $81 = 3^4$, $27 = 3^3$, $9 = 3^2$. Sau khi đưa về cùng cơ số, thầy sẽ đặt lũy thừa thấp nhất làm nhân tử chung. Kết quả xuất hiện số $45$ nên biểu thức chắc chắn chia hết cho $45$.
a) Chứng minh $81^7 - 27^9 - 9^{13} \vdots 45$
Ta có:
$81^7 - 27^9 - 9^{13} = (3^4)^7 - (3^3)^9 - (3^2)^{13}$
$= 3^{28} - 3^{27} - 3^{26}$
$= 3^{24} . (3^4 - 3^3 - 3^2)$
$= 3^{24} . (81 - 27 - 9)$
$= 3^{24} . 45$
Vì $45 \vdots 45$ nên $3^{24} . 45 \vdots 45$.
Vậy $81^7 - 27^9 - 9^{13} \vdots 45$(Đpcm)
Ta có:
$81^7 - 27^9 - 9^{13} = (3^4)^7 - (3^3)^9 - (3^2)^{13}$
$= 3^{28} - 3^{27} - 3^{26}$
$= 3^{24} . (3^4 - 3^3 - 3^2)$
$= 3^{24} . (81 - 27 - 9)$
$= 3^{24} . 45$
Vì $45 \vdots 45$ nên $3^{24} . 45 \vdots 45$.
Vậy $81^7 - 27^9 - 9^{13} \vdots 45$(Đpcm)
Câu b: Để biểu thức là số tự nhiên, ta cần chứng minh tử số chia hết cho mẫu số. Thầy sẽ phân tích $639 = 9 . 71$. Sau đó thầy đặt $9^9$ ở tử số ra ngoài, phần còn lại trong ngoặc sẽ tính ra đúng bằng $71$.
b) Chứng minh $\frac{9^{11} - 9^{10} - 9^9}{639} \in \mathbb{N}$
Xét tử số: $A = 9^{11} - 9^{10} - 9^9$
$A = 9^9 . (9^2 - 9 - 1) = 9^9 . (81 - 9 - 1)$
$A = 9^9 . 71 = 9^8 . 9 . 71 = 9^8 . 639$
Khi đó: $\frac{A}{639} = \frac{9^8 . 639}{639} = 9^8$
Vì $9^8 \in \mathbb{N}$ nên $\frac{9^{11} - 9^{10} - 9^9}{639} \in \mathbb{N}$. (Đpcm)
Xét tử số: $A = 9^{11} - 9^{10} - 9^9$
$A = 9^9 . (9^2 - 9 - 1) = 9^9 . (81 - 9 - 1)$
$A = 9^9 . 71 = 9^8 . 9 . 71 = 9^8 . 639$
Khi đó: $\frac{A}{639} = \frac{9^8 . 639}{639} = 9^8$
Vì $9^8 \in \mathbb{N}$ nên $\frac{9^{11} - 9^{10} - 9^9}{639} \in \mathbb{N}$. (Đpcm)
Câu c: $36$ chia hết cho $9$, $9$ chia hết cho $9$ nên hiệu này chắc chắn chia hết cho $9$. Để chứng minh chia hết cho $5$, thầy dùng chữ số tận cùng. $36$ mũ bao nhiêu cũng tận cùng là $6$. $9$ mũ chẵn ($2000$ là số chẵn) sẽ tận cùng là $1$. $6 - 1 = 5$, vậy nó chia hết cho $5$.
c) Chứng minh $(36^{36} - 9^{2000}) \vdots 45$
Ta có: $36 \vdots 9 \Rightarrow 36^{36} \vdots 9$ và $9^{2000} \vdots 9$.
Suy ra $(36^{36} - 9^{2000}) \vdots 9$ (1)
Xét chữ số tận cùng:
$36^{36}$ có cơ số tận cùng là $6$ nên $36^{36}$ tận cùng là $6$.
$9^{2000}$ có cơ số là $9$, số mũ $2000$ là số chẵn nên $9^{2000}$ tận cùng là $1$.
Suy ra $(36^{36} - 9^{2000})$ có tận cùng là $6 - 1 = 5 \Rightarrow (36^{36} - 9^{2000}) \vdots 5$ (2)
Từ (1) và (2), mà $gcd(9, 5) = 1$ nên $(36^{36} - 9^{2000}) \vdots (9 . 5)$ hay $(36^{36} - 9^{2000}) \vdots 45$. (Đpcm)
Ta có: $36 \vdots 9 \Rightarrow 36^{36} \vdots 9$ và $9^{2000} \vdots 9$.
Suy ra $(36^{36} - 9^{2000}) \vdots 9$ (1)
Xét chữ số tận cùng:
$36^{36}$ có cơ số tận cùng là $6$ nên $36^{36}$ tận cùng là $6$.
$9^{2000}$ có cơ số là $9$, số mũ $2000$ là số chẵn nên $9^{2000}$ tận cùng là $1$.
Suy ra $(36^{36} - 9^{2000})$ có tận cùng là $6 - 1 = 5 \Rightarrow (36^{36} - 9^{2000}) \vdots 5$ (2)
Từ (1) và (2), mà $gcd(9, 5) = 1$ nên $(36^{36} - 9^{2000}) \vdots (9 . 5)$ hay $(36^{36} - 9^{2000}) \vdots 45$. (Đpcm)
Câu d: Đây là phép nhân, thầy sẽ phân tích tất cả ra thừa số nguyên tố ($2$ và $3$). Sau đó cộng các số mũ lại và so sánh với số mũ của $72^{63}$ sau khi đã phân tích.
d) Chứng minh $24^{54} . 54^{24} . 2^{10} \vdots 72^{63}$
Ta phân tích các cơ số: $24 = 2^3 . 3$; $54 = 2 . 3^3$; $72 = 2^3 . 3^2$
Vế trái (VT) $= (2^3 . 3)^{54} . (2 . 3^3)^{24} . 2^{10}$
VT $= 2^{162} . 3^{54} . 2^{24} . 3^{72} . 2^{10}$
VT $= 2^{162 + 24 + 10} . 3^{54 + 72} = 2^{196} . 3^{126}$
Vế phải (VP) $= 72^{63} = (2^3 . 3^2)^{63} = 2^{189} . 3^{126}$
Vì $196 > 189$ nên $2^{196} \vdots 2^{189}$ và $3^{126} = 3^{126}$
Vậy $2^{196} . 3^{126} \vdots 2^{189} . 3^{126}$ hay $24^{54} . 54^{24} . 2^{10} \vdots 72^{63}$. (Đpcm)
Ta phân tích các cơ số: $24 = 2^3 . 3$; $54 = 2 . 3^3$; $72 = 2^3 . 3^2$
Vế trái (VT) $= (2^3 . 3)^{54} . (2 . 3^3)^{24} . 2^{10}$
VT $= 2^{162} . 3^{54} . 2^{24} . 3^{72} . 2^{10}$
VT $= 2^{162 + 24 + 10} . 3^{54 + 72} = 2^{196} . 3^{126}$
Vế phải (VP) $= 72^{63} = (2^3 . 3^2)^{63} = 2^{189} . 3^{126}$
Vì $196 > 189$ nên $2^{196} \vdots 2^{189}$ và $3^{126} = 3^{126}$
Vậy $2^{196} . 3^{126} \vdots 2^{189} . 3^{126}$ hay $24^{54} . 54^{24} . 2^{10} \vdots 72^{63}$. (Đpcm)
⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải
1. Lỗi tính số mũ: Rất nhiều bạn nhầm $(3^4)^7 = 3^{11}$ (lấy $4+7$) thay vì $3^{28}$ (lấy $4 . 7$). Hãy nhớ: Lũy thừa của lũy thừa thì nhân số mũ!2. Lỗi dấu: Khi đặt dấu trừ ra ngoài hoặc phá ngoặc, các em hay quên đổi dấu các hạng tử bên trong.
3. Lỗi chữ số tận cùng của số 9: Nhớ quy tắc: $9^{lẻ}$ tận cùng là $9$, $9^{chẵn}$ tận cùng là $1$.
4. Thiếu điều kiện: Khi chứng minh chia hết cho $45$ thông qua $5$ và $9$, phải lập luận rằng $5$ và $9$ là hai số nguyên tố cùng nhau ($gcd(5,9)=1$).
🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)
Bài tập: Chứng minh rằng $8^8 + 2^{20} \vdots 17$Lời giải nhanh:
Ta có: $8^8 + 2^{20} = (2^3)^8 + 2^{20} = 2^{24} + 2^{20}$
$= 2^{20} . (2^4 + 1)$
$= 2^{20} . (16 + 1) = 2^{20} . 17$
Vì $17 \vdots 17$ nên $2^{20} . 17 \vdots 17$. (Đpcm)
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
Đang được quan tâm nhất Khối 7
Tài liệu mới cập nhật
Bài 9 - Trang 22, TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
19/09/2026
109
Bài 8 - Trang 22, bài toán về hai đường thẳng song song
19/09/2026
27