Đây là một dạng toán vận dụng các quy tắc về Lũy thừa và Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trong chương trình Toán 7.
Dưới đây là lời giải chi tiết giúp các em nắm vững bản chất nhé!
📌 Bài  48: Cho biểu thức:

$\displaystyle M = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 100^2$
$\displaystyle N = 3^2 + 6^2 + 9^2 + \dots + 300^2$
Hỏi $N$ gấp mấy lần $M$?

💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ

Để giải bài này, các em cần nhớ 2 kiến thức "vàng" sau:
1. Lũy thừa của một tích: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
Ví dụ: $6^2 = (3 \cdot 2)^2 = 3^2 \cdot 2^2$.
2. Tính chất phân phối: $a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d = a \cdot (b + c + d)$.
Chúng ta sẽ dùng cách này để đặt "nhân tử chung" ra ngoài.

 💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)

Bước 1: Quan sát sự liên quan giữa các số hạng của $M$ và $N$.
- Ta thấy số hạng đầu của $M$ là $1$, của $N$ là $3$. Mà $3 = 3 \cdot 1$.
- Số hạng thứ hai của $M$ là $2$, của $N$ là $6$. Mà $6 = 3 \cdot 2$.
- Số hạng cuối của $M$ là $100$, của $N$ là $300$. Mà $300 = 3 \cdot 100$.
$\rightarrow$ Như vậy, mỗi số cơ số trong $N$ đều gấp $3$ lần số cơ số tương ứng trong $M$.

Bước 2: Biến đổi biểu thức $N$.
Ta viết lại từng số hạng của $N$ dưới dạng tích có chứa số $3$:
- $3^2 = (3 \cdot 1)^2 = 3^2 \cdot 1^2$
- $6^2 = (3 \cdot 2)^2 = 3^2 \cdot 2^2$
- $9^2 = (3 \cdot 3)^2 = 3^2 \cdot 3^2$
- ...
- $300^2 = (3 \cdot 100)^2 = 3^2 \cdot 100^2$

Bước 3: Thay vào biểu thức $N$.
$\displaystyle N = 3^2 \cdot 1^2 + 3^2 \cdot 2^2 + 3^2 \cdot 3^2 + \dots + 3^2 \cdot 100^2$

Bước 4: Đặt nhân tử chung.
Tất cả các số hạng của $N$ bây giờ đều có chung $3^2$. Ta đưa $3^2$ ra ngoài ngoặc:
$\displaystyle N = 3^2 \cdot (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 100^2)$

Bước 5: So sánh với $M$.
Các em nhìn xem, biểu thức trong ngoặc $(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 100^2)$ chính là $M$ đấy!
Vậy $N = 3^2 \cdot M = 9 \cdot M$.
Kết luận: $N$ gấp $9$ lần $M$.
   

⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải

1. Lỗi tính nhầm tỉ số: Nhiều bạn thấy cơ số gấp 3 lần ($3=3 \cdot 1; 6=3 \cdot 2...$) nên kết luận luôn $N$ gấp 3 lần $M$. Điều này sai vì đây là lũy thừa bậc 2, phải là $3^2$ (tức là 9 lần).
2. Lỗi viết ký hiệu: Khi viết $(3 \cdot 2)^2$ nhiều em quên dấu ngoặc và viết thành $3 \cdot 2^2$, dẫn đến kết quả sai hoàn toàn.
3. Lỗi không nhận diện hết dãy số: Không để ý số hạng cuối $300^2 = (3 \cdot 100)^2$ để khớp với số $100^2$ của $M$.
 

🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)

Bài tập: Cho $\displaystyle A = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 50^3$
và $\displaystyle B = 2^3 + 4^3 + 6^3 + \dots + 100^3$.
Hỏi $B$ gấp mấy lần $A$?

Đáp số: $B$ gấp $2^3 = 8$ lần $A$. (Các em hãy thử trình bày vào vở như mẫu trên nhé!)

Bài tập: Cho $A = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 20^2$.
Tính giá trị biểu thức $B = 2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + 40^2$ theo $A$.

Đáp số: $B = 4A$ (Vì $B = 2^2 \cdot A = 4A$).