Câu 5. (7 điểm) Cho △ ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB tại E. Vẽ EI vuông góc với BC tại I và gọi K là giao điểm của CE và AI.
a) Chứng minh △AEI cân và K là trung điểm của AI. (3 điểm)
b) Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Vẽ AH ⊥ BD tại H. Tia AH cắt BC tại F.

Chứng minh △ABF cân và AB + AC - BC = IF. (3 điểm)
c) Gọi N là giao điểm của BD và AI, M là giao điểm của CE và AF.

Chứng minh AK + AH = KM + HN (1 điểm)

a) Chứng minh △AEI cân và K là trung điểm của AI

Xét rCAE vuông tại A và rCIE vuông tại I, ta có:

CE là cạnh huyền chung

$\widehat{ACE}=\widehat{ICE}$ (do CE là tia phân giác của góc C)

Suy ra rCAE = rCIE (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ CA = CI và EA = EI (các cạnh tương ứng).

△AEI có EA = EI (cmt) nên △AEI cân tại E.

Ta có EA = EI (cmt) nên E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AI,

CA = CI(cmt) nên C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AI,

suy ra EC là đường trung trực của đoạn thẳng AI.

Mà K là giao điểm của CE và AI ⇒ K là trung điểm của AI và CE ⊥ AI tại K (tính chất đường trung trực)

b) Chứng minh △ABF cân và AB + AC - BC = IF

Xét rAHB vuông tại H và rFHB vuông tại H, ta có:

BH là cạnh huyền chung

$\widehat{ABH}=\widehat{FBH}$(do BD là tia phân giác của góc B)

Suy ra rABH = rFHB (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ AB = BF (2 cạnh tương ứng).

△ABF có AB = BF (cmt) nên △ABF cân tại B.

Ta có AB = BF (cmt) và AC = IC (cmt)

Cộng vế theo vế ta được: AB + AC = BF + CI

Mà CI = CF + IF  và BC = BF + CF (do I, F Î BC) nên AB + AC = BF + CF + IF = BC + IF

Suy ra AB + AC - BC = IF

c) Chứng minh AK + AH = KM + HN - chìa khóa của bài toán là chứng minh $\widehat{A_2} = 45^\circ$

Ta có:  △AKE vuông tại K (CE ⊥ AI tại K (cmt)) ⇒ $\widehat{AEK}+\widehat{A}_{1}=90{}^\circ$

Mà △ACE vuông tại A ⇒ $\widehat{AEK}+\widehat{ACE}=90{}^\circ$ nên $\widehat{A}_{1}=\widehat{ACE}=\tfrac{1}{2}\widehat{ACB}$(do CE là tia phân giác của góc C)

△AHD vuông tại H ⇒ $\widehat{ADH}+\widehat{A}_{3}=90{}^\circ$

Mà △ABD vuông tại A ⇒ $\widehat{ADH}+\widehat{ABD}=90{}^\circ$ nên $\widehat{A}_{3}=\widehat{ABD}=\tfrac{1}{2}\widehat{ABC}$(do BD là tia phân giác của góc B)

Cách gọn hơn: Ta có $\widehat{A}_{3}=\widehat{ABD}$(cùng phụ $\widehat{ADH}$)

Suy ra $\widehat{A}_{3}=\tfrac{1}{2}\widehat{ABC}$(do BD là tia phân giác của góc B)

△ABC vuông tại A ⇒ $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90{}^\circ$ Suy ra $\widehat{A}_{1}+\widehat{A}_{3}=\tfrac{1}{2}\widehat{ABC}+\tfrac{1}{2}\widehat{ABC}=\tfrac{1}{2}(\widehat{ABC}+\widehat{ABC})=\tfrac{1}{2}.90{}^\circ =45{}^\circ$

Mà $\widehat{A}_{1}+\widehat{A}_{2}+\widehat{A}_{3}=90{}^\circ$ ⇒ $\widehat{A}_{2}=45{}^\circ$

△AKM vuông tại K có  $\widehat{A}_{2}=45{}^\circ$⇒ △AKM vuông cân tại K ⇒ AK = KM (1)

△AHN vuông tại H có  $\widehat{A}_{2}=45{}^\circ$⇒ △AHN vuông cân tại H ⇒ AH = HN (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: AK + AH = KM + HN