Bài 5: Cho △ ABC nhọn, hai đường cao BM, CN cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) △BNH ∽ △CMH

b) △ MNH ∽ △CBH và $\widehat{NMH}=\widehat{BCH}$

c) $BN.BA+CM.CA=BC^{2}$

a) Chứng minh △BNH ∽ △CMH

Xét △ BNH và △ CMH, ta có:

$\widehat{BNH}=\widehat{CMH}=90^{{}^\circ }$ (do CN ⊥  AB và BM ⊥  AC).

$\widehat{BHN}=\widehat{CHM}$ (hai góc đối đỉnh).

⇒ △BNH ∽ △CMH (g.g).

b) Chứng minh △ MNH ∽ △CBH và $\widehat{NMH}=\widehat{BCH}$

Ta có △ BNH ∽ △ CMH ⇒ $\dfrac{NH}{MH}=\dfrac{BH}{CH}$ (tỉ số đồng dạng).

Suy ra: $\dfrac{NH}{BH}=\dfrac{MH}{CH}$.

Xét △ MNH và △ CBH, ta có:

$\dfrac{NH}{BH}=\dfrac{MH}{CH}$ (chứng minh trên).

$\widehat{NHM}=\widehat{BHC}$ (hai góc đối đỉnh).

△ MNH ∽ △CBH (c.g.c).

⇒ $\widehat{NMH}=\widehat{BCH}$ (2 góc tương ứng ).

c) Chứng minh $BN.BA+CM.CA=BC^{2}$

Xét △ BNH và △ BMA, ta có:

$\widehat{B}$ chung.

$\widehat{BNH}=\widehat{BMA}=90^{{}^\circ }$.

⇒ △ BNH ∽ △ BMA (g.g) ⇒ $\dfrac{BN}{BM}=\dfrac{BH}{BA}$ ⇒ BN .BA = BH .BM. (1)

Xét △ CMH và △ CAN, ta có:

$\widehat{C}$ chung.

$\widehat{CMH}=\widehat{CNA}=90^{{}^\circ }$.

⇒ △CMH ∽ △ CNA (g.g) ⇒ $\dfrac{CM}{CN}=\dfrac{CH}{CA}$ ⇒ CM .CA = CH .CN. (2)

△ ABC có hai đường cao BM, CN cắt nhau tại H ⇒ H là trực tâm, cho AH cắt BC tại D, AD là đường cao thứ ba của △ ABC (D Î  BC).

Xét △ BDH và △ BMA, ta có:

$\widehat{B}$ chung,

$\widehat{BDH}=\widehat{BMA}=90^{{}^\circ }$

⇒ △ BDH ∽ △BMA (g.g) ⇒ $\dfrac{BD}{BM}=\dfrac{BH}{BA}$ ⇒ BH .BM = BD .BC. (3)

Xét △ CDH và △ CAN, ta có:

$\widehat{C}$ chung,

$\widehat{CDH}=\widehat{CNA}=90^{{}^\circ }$

⇒ △ CDH ∽ △CAN(g.g) ⇒ $\dfrac{CD}{CN}=\dfrac{CH}{CA}$ ⇒ CH .CN = CD .BC. (4)

Cộng (1), (2) và kết hợp (3), (4):

BN .BA + CM .CA = (BD .BC) + (CD .BC)

BN .BA + CM .CA = BC .(BD + CD)

Mà BD + CD = BC.(do D  Î  BC)

⇒ BN .BA + CM .CA = BC .BC = BC².