Bài 11 Trang 26 - Hằng đẳng thức đáng nhớ
Hằng đẳng thức đáng nhớ – một trong những phần quan trọng nhất của Toán lớp 8.
Đừng lo lắng nếu các em cảm thấy phần này khó, thầy sẽ hướng dẫn thật chậm, tỉ mỉ để ngay cả khi các em bị hổng kiến thức cũng có thể hiểu và làm bài tự tin nhé!
1. Lập phương của một tổng: $\displaystyle (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$
2. Lập phương của một hiệu: $\displaystyle (A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$
3. Tổng hai lập phương: $\displaystyle A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$
4. Hiệu hai lập phương: $\displaystyle A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$
🔥 Lưu ý cực kỳ quan trọng về dấu và lũy thừa:
2. Lỗi dấu ở hằng đẳng thức lập phương: Nhầm lẫn dấu giữa $\displaystyle (A-B)^3$ và $\displaystyle (A+B)^3$, hoặc nhầm lẫn dấu trong công thức $\displaystyle A^3+B^3$. Hãy nhớ: Lập phương của Hiệu thì dấu xen kẽ; Tổng hai lập phương thì dấu ở ngoặc ngắn là Tổng, ngoặc dài là Hiệu thiếu.
$\displaystyle P = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) - (x + 1)^3$
Đáp số: $\displaystyle -3x^2 - 3x - 8y^3 - 1$
(Gợi ý: Khai triển hiệu hai lập phương trước, sau đó khai triển lập phương một tổng rồi thực hiện phép trừ đa thức).
Đừng lo lắng nếu các em cảm thấy phần này khó, thầy sẽ hướng dẫn thật chậm, tỉ mỉ để ngay cả khi các em bị hổng kiến thức cũng có thể hiểu và làm bài tự tin nhé!
📌 Bài 11. Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) $\displaystyle (2x^2 + \frac{1}{3})^3$
b) $\displaystyle (2x^2y - 3xy)^3$
c) $\displaystyle (-3xy^4 + \frac{1}{2}x^2y^2)^3$
d) $\displaystyle (-\frac{1}{3}ab^2 - 2a^3b)^3$
e) $\displaystyle (a - 7)(a^2 + 7a + 49)$
f) $\displaystyle (x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2)$
g) $\displaystyle (3x + 4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2)$
b) $\displaystyle (2x^2y - 3xy)^3$
c) $\displaystyle (-3xy^4 + \frac{1}{2}x^2y^2)^3$
d) $\displaystyle (-\frac{1}{3}ab^2 - 2a^3b)^3$
e) $\displaystyle (a - 7)(a^2 + 7a + 49)$
f) $\displaystyle (x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2)$
g) $\displaystyle (3x + 4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2)$
💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải bài này, các em cần nắm vững 4 hằng đẳng thức về lập phương:1. Lập phương của một tổng: $\displaystyle (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$
2. Lập phương của một hiệu: $\displaystyle (A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$
3. Tổng hai lập phương: $\displaystyle A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$
4. Hiệu hai lập phương: $\displaystyle A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$
🔥 Lưu ý cực kỳ quan trọng về dấu và lũy thừa:
- $\displaystyle (A . B)^n = A^n . B^n$ (Ví dụ: $\displaystyle (2x^2)^3 = 2^3 . (x^2)^3 = 8x^6$).
- Lũy thừa mũ lẻ (mũ 3) của số âm thì vẫn là số âm: $\displaystyle (-2)^3 = -8$.
- Lũy thừa mũ chẵn (mũ 2) của số âm thì ra số dương: $\displaystyle (-2)^2 = 4$.
💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)
- Câu a: Đây là dạng $\displaystyle (A+B)^3$ với $\displaystyle A = 2x^2$ và $\displaystyle B = \frac{1}{3}$.
Bước 1: Khai triển công thức: $\displaystyle (2x^2)^3 + 3 . (2x^2)^2 . \frac{1}{3} + 3 . (2x^2) . (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3$.
Bước 2: Tính từng cụm. Chú ý $\displaystyle (2x^2)^3 = 8x^6$ và $\displaystyle (2x^2)^2 = 4x^4$.
a) $\displaystyle (2x^2 + \frac{1}{3})^3 = (2x^2)^3 + 3 . (2x^2)^2 . \frac{1}{3} + 3 . 2x^2 . (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3$
$\displaystyle = 8x^6 + 3 . 4x^4 . \frac{1}{3} + 6x^2 . \frac{1}{9} + \frac{1}{27} = \mathbf{8x^6 + 4x^4 + \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{27}}$
$\displaystyle = 8x^6 + 3 . 4x^4 . \frac{1}{3} + 6x^2 . \frac{1}{9} + \frac{1}{27} = \mathbf{8x^6 + 4x^4 + \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{27}}$
- Câu b: Dạng $\displaystyle (A-B)^3$ với $\displaystyle A = 2x^2y$ và $\displaystyle B = 3xy$.
Các em cứ áp dụng đúng công thức hiệu lập phương, dấu sẽ xen kẽ: (+) (-) (+) (-).3
b) $\displaystyle (2x^2y - 3xy)^3 = (2x^2y)^3 - 3 . (2x^2y)^2 . 3xy + 3 . 2x^2y . (3xy)^2 - (3xy)^3$
$\displaystyle = 8x^6y^3 - 3 . 4x^4y^2 . 3xy + 6x^2y . 9x^2y^2 - 27x^3y^3$
$\displaystyle = \mathbf{8x^6y^3 - 36x^5y^3 + 54x^4y^3 - 27x^3y^3}$
$\displaystyle = 8x^6y^3 - 3 . 4x^4y^2 . 3xy + 6x^2y . 9x^2y^2 - 27x^3y^3$
$\displaystyle = \mathbf{8x^6y^3 - 36x^5y^3 + 54x^4y^3 - 27x^3y^3}$
- Câu c: $\displaystyle (-3xy^4 + \frac{1}{2}x^2y^2)^3$. Để dễ làm, ta nên đổi chỗ thành $\displaystyle (\frac{1}{2}x^2y^2 - 3xy^4)^3$ để đưa về dạng $\displaystyle (A-B)^3$.
c) $\displaystyle (-3xy^4 + \frac{1}{2}x^2y^2)^3 = (\frac{1}{2}x^2y^2 - 3xy^4)^3$
$\displaystyle = (\frac{1}{2}x^2y^2)^3 - 3(\frac{1}{2}x^2y^2)^2(3xy^4) + 3(\frac{1}{2}x^2y^2)(3xy^4)^2 - (3xy^4)^3$
$\displaystyle = \mathbf{\frac{1}{8}x^6y^6 - \frac{9}{4}x^5y^8 + \frac{27}{2}x^4y^{10} - 27x^3y^{12}}$
$\displaystyle = (\frac{1}{2}x^2y^2)^3 - 3(\frac{1}{2}x^2y^2)^2(3xy^4) + 3(\frac{1}{2}x^2y^2)(3xy^4)^2 - (3xy^4)^3$
$\displaystyle = \mathbf{\frac{1}{8}x^6y^6 - \frac{9}{4}x^5y^8 + \frac{27}{2}x^4y^{10} - 27x^3y^{12}}$
- Câu d: $\displaystyle (-\frac{1}{3}ab^2 - 2a^3b)^3$. Cả hai hạng tử đều âm, ta có thể đặt dấu trừ ra ngoài: $\displaystyle -[\frac{1}{3}ab^2 + 2a^3b]^3$. Sau đó khai triển tổng bên trong rồi đổi dấu kết quả cuối cùng. Lưu ý: $\displaystyle (-1)^3 = -1$.
d) $\displaystyle (-\frac{1}{3}ab^2 - 2a^3b)^3 = -(\frac{1}{3}ab^2 + 2a^3b)^3$
$\displaystyle = -[(\frac{1}{3}ab^2)^3 + 3(\frac{1}{3}ab^2)^2(2a^3b) + 3(\frac{1}{3}ab^2)(2a^3b)^2 + (2a^3b)^3]$
$\displaystyle = -[\frac{1}{27}a^3b^6 + 3 . \frac{1}{9}a^2b^4 . 2a^3b + ab^2 . 4a^6b^2 + 8a^9b^3]$
$\displaystyle = \mathbf{-\frac{1}{27}a^3b^6 - \frac{2}{3}a^5b^5 - 4a^7b^4 - 8a^9b^3}$
$\displaystyle = -[(\frac{1}{3}ab^2)^3 + 3(\frac{1}{3}ab^2)^2(2a^3b) + 3(\frac{1}{3}ab^2)(2a^3b)^2 + (2a^3b)^3]$
$\displaystyle = -[\frac{1}{27}a^3b^6 + 3 . \frac{1}{9}a^2b^4 . 2a^3b + ab^2 . 4a^6b^2 + 8a^9b^3]$
$\displaystyle = \mathbf{-\frac{1}{27}a^3b^6 - \frac{2}{3}a^5b^5 - 4a^7b^4 - 8a^9b^3}$
- Câu e, f, g: Đây là dạng "ngược" của Tổng/Hiệu hai lập phương. Các em chỉ cần kiểm tra xem biểu thức có đúng dạng $\displaystyle (A \pm B)(A^2 \mp AB + B^2)$ không.
Ví dụ câu e: $\displaystyle (a - 7)(a^2 + a . 7 + 7^2)$ chính là $\displaystyle a^3 - 7^3$.
e) $\displaystyle (a - 7)(a^2 + 7a + 49) = (a - 7)(a^2 + a . 7 + 7^2) = a^3 - 7^3 = \mathbf{a^3 - 343}$
f) $\displaystyle (x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2) = (x + 3y)[x^2 - x . 3y + (3y)^2] $
$= x^3 + (3y)^3 = \mathbf{x^3 + 27y^3}$
g) $\displaystyle (3x + 4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2) = (3x + 4y)[(3x)^2 - (3x)(4y) + (4y)^2]$
$= (3x)^3 + (4y)^3 = \mathbf{27x^3 + 64y^3}$
f) $\displaystyle (x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2) = (x + 3y)[x^2 - x . 3y + (3y)^2] $
$= x^3 + (3y)^3 = \mathbf{x^3 + 27y^3}$
g) $\displaystyle (3x + 4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2) = (3x + 4y)[(3x)^2 - (3x)(4y) + (4y)^2]$
$= (3x)^3 + (4y)^3 = \mathbf{27x^3 + 64y^3}$
⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải
1. Lỗi quên đóng ngoặc lũy thừa: Học sinh hay viết $\displaystyle 2x^{2^3}$ thay vì $\displaystyle (2x^2)^3$. Dẫn đến việc chỉ lũy thừa biến số mà quên lũy thừa hệ số (Ví dụ sai: $\displaystyle (2x^2)^3 = 2x^6 \rightarrow$ Đúng phải là $\displaystyle 8x^6$).2. Lỗi dấu ở hằng đẳng thức lập phương: Nhầm lẫn dấu giữa $\displaystyle (A-B)^3$ và $\displaystyle (A+B)^3$, hoặc nhầm lẫn dấu trong công thức $\displaystyle A^3+B^3$. Hãy nhớ: Lập phương của Hiệu thì dấu xen kẽ; Tổng hai lập phương thì dấu ở ngoặc ngắn là Tổng, ngoặc dài là Hiệu thiếu.
🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)
Đề bài: Viết biểu thức sau thành đa thức:$\displaystyle P = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) - (x + 1)^3$
Đáp số: $\displaystyle -3x^2 - 3x - 8y^3 - 1$
(Gợi ý: Khai triển hiệu hai lập phương trước, sau đó khai triển lập phương một tổng rồi thực hiện phép trừ đa thức).
Đang được quan tâm nhất Khối 8
Tài liệu mới cập nhật
Bài 17. Hằng đẳng thức đáng nhớ
22/09/2026
5
Bài 16. Tìm x
17/09/2026
10
Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức
08/09/2026
41