Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Thầy rất vui khi được đồng hành cùng các em. Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán này bằng cách phá vỡ từng bước khó khăn nhé!
💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải quyết bài toán này, các em cần vận dụng các kiến thức trọng tâm sau:
1. Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: $A.(B + C) = A.B + A.C$.
2. Quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: $a^m . a^n = a^{m+n}$.
3. Công thức lũy thừa của lũy thừa: $(a^m)^n = a^{m.n}$.
4. Kỹ thuật rút gọn: Nhóm các hạng tử đồng dạng và thực hiện phép tính cộng/trừ các hệ số.
5. Biến đổi biểu thức điều kiện: Khi đề bài cho một đẳng thức (như ở câu b), ta có thể bình phương hoặc lập phương hai vế để làm xuất hiện các hạng tử có trong biểu thức đã rút gọn.

💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)
Câu a) Rút gọn biểu thức A:
Bước 1: Ta thực hiện phá ngoặc đầu tiên bằng cách nhân đơn thức $2x^2$ vào từng hạng tử bên trong ngoặc $(x^4 - y^4)$.
Ta có: $2x^2 . x^4 = 2x^{2+4} = 2x^6$. Và $2x^2 . (-y^4) = -2x^2y^4$.
Bước 2: Phá ngoặc thứ hai bằng cách nhân đơn thức $y^4$ vào trong $(2x^2 - y^2)$.
Ta có: $y^4 . 2x^2 = 2x^2y^4$. Và $y^4 . (-y^2) = -y^{4+2} = -y^6$.
Bước 3: Viết lại toàn bộ biểu thức và rút gọn các hạng tử đồng dạng.
$A = 2x^6 - 2x^2y^4 + 2x^2y^4 - y^6$.
Các em để ý thấy $-2x^2y^4$ và $+2x^2y^4$ là hai đơn thức đối nhau, nên tổng của chúng bằng $0$.
Vậy kết quả cuối cùng là $A = 2x^6 - y^6$.

Câu b) Tính giá trị biểu thức khi biết $y^3 = x^3 \sqrt{2}$:
Biểu thức rút gọn của chúng ta là $A = 2x^6 - y^6$. Ở đây có số mũ là $6$.
Đề bài lại cho dữ kiện với số mũ là $3$: $y^3 = x^3 \sqrt{2}$.
Để tạo ra số mũ $6$, thầy sẽ bình phương cả hai vế của đẳng thức điều kiện lên. Vì số mũ $2$ là số chẵn, nên khi bình phương một căn bậc hai như $\sqrt{2}$, ta sẽ mất dấu căn.
Ta có: $(y^3)^2 = (x^3 \sqrt{2})^2$
$\Rightarrow y^{3.2} = (x^3)^2 . (\sqrt{2})^2$
$\Rightarrow y^6 = x^6 . 2$ (hay $y^6 = 2x^6$).
Bây giờ, các em chỉ cần thay $y^6 = 2x^6$ vào biểu thức $A$ đã rút gọn ở câu a là xong.
 

 ✍️ Trình bày chuẩn (Nội dung các em ghi vào vở)

 

 ⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải

1. Sai dấu khi phá ngoặc: Khi nhân $y^4$ với $-y^2$, nhiều bạn quên dấu trừ dẫn đến kết quả $+y^6$. Các em hãy nhớ: Dương nhân Âm bằng Âm.
2. Nhầm lẫn quy tắc lũy thừa: Quên không nhân số mũ khi thực hiện $(a^m)^n$, ví dụ viết $(x^3)^2 = x^5$ (sai) thay vì $x^6$ (đúng).
3. Lỗi bình phương hằng số: Khi bình phương vế phải ở câu b, nhiều bạn chỉ bình phương $x^3$ mà quên bình phương $\sqrt{2}$, hoặc ngược lại. Hãy nhớ $(a.b)^n = a^n . b^n$.
 

 🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)

Đề bài: Cho biểu thức $B = 3x^3(x^3 - y^3) + y^3(3x^3 - y^3)$.
a) Rút gọn $B$.
b) Tính giá trị của $B$ khi biết $y^2 = x^2 \sqrt[3]{3}$.

Lời giải nhanh:
a) $B = 3x^3.x^3 - 3x^3.y^3 + y^3.3x^3 - y^3.y^3 = 3x^6 - 3x^3y^3 + 3x^3y^3 - y^6 = 3x^6 - y^6$.
b) Từ $y^2 = x^2 \sqrt[3]{3} \Rightarrow (y^2)^3 = (x^2 \sqrt[3]{3})^3 \Rightarrow y^6 = x^6 . 3 = 3x^6$.
Thay vào $B$: $B = 3x^6 - 3x^6 = 0$.
Kết luận: $B = 0$.

Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!