Chương "Hằng đẳng thức đáng nhớ" là một trong những phần quan trọng nhất của toán lớp 8. Nếu các em nắm chắc phần này, các bài toán rút gọn hay phân tích đa thức sau này sẽ trở nên cực kỳ đơn giản.
Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết Bài 15 bằng cách phá vỡ từng bước khó khăn nhé!  

💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ

Để làm tốt bài này, các em cần thuộc lòng 7 hằng đẳng thức, đặc biệt là các công thức sau:
1. $ \displaystyle (A + B)^3 = A^3 + 3 . A^2 . B + 3 . A . B^2 + B^3 $
2. $ \displaystyle (A - B)^3 = A^3 - 3 . A^2 . B + 3 . A . B^2 - B^3 $
3. $ \displaystyle A^2 - B^2 = (A - B) . (A + B) $
4. $ \displaystyle A^3 + B^3 = (A + B) . (A^2 - A . B + B^2) $
5. $ \displaystyle A^3 - B^3 = (A - B) . (A^2 + A . B + B^2) $

Lưu ý quan trọng cho học sinh:

• Dấu ngoặc: Khi phía trước là dấu trừ " $ - $ ", khi phá ngoặc em BẮT BUỘC phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong.
• Lũy thừa: Số âm mũ lẻ (mũ 3) vẫn là số âm. Số âm mũ chẵn (mũ 2) sẽ thành số dương.

 💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)

Câu a) $ (x + 1)^3 - (x - 1)^3 - 6(x - 1)(x + 1) $

• Bước 1: Khai triển $ \displaystyle (x + 1)^3 = x^3 + 3 . x^2 . 1 + 3 . x . 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 $.
• Bước 2: Khai triển $ \displaystyle (x - 1)^3 = x^3 - 3 . x^2 . 1 + 3 . x . 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 $.
• Bước 3: Khai triển tích $ \displaystyle (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 $. Sau đó nhân với 6: $ \displaystyle 6(x^2 - 1) = 6x^2 - 6 $.

Câu b) $ x(x - 1)(x + 1) - (x + 1)(x^2 - x + 1) $

• Nhận xét: $ (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 $ và $ (x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1 $.
• Biểu thức trở thành: $ x(x^2 - 1) - (x^3 + 1) $
• Nhân vào: $ x^3 - x - x^3 - 1 = -x - 1 $.

Câu c) $ (x - 1)^3 - (x + 2)(x^2 - 2x + 4) + 3(x + 4)(x - 4) $

• Khai triển: $ (x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 $.
• Hằng đẳng thức: $ (x + 2)(x^2 - x . 2 + 2^2) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8 $.
• Hằng đẳng thức: $ 3(x + 4)(x - 4) = 3(x^2 - 16) = 3x^2 - 48 $.
• Rút gọn: $ (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 8) + 3x^2 - 48 $
  $ = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 - 8 + 3x^2 - 48 = 3x - 57 $.

Câu d) $ 3x^2(x + 1)(x - 1) + (x^2 - 1)^3 - (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1) $

• $ 3x^2(x^2 - 1) = 3x^4 - 3x^2 $.
• $ (x^2 - 1)^3 = (x^2)^3 - 3 . (x^2)^2 . 1 + 3 . x^2 . 1^2 - 1^3 = x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1 $.
• $ (x^2 - 1)((x^2)^2 + x^2 . 1 + 1^2) = (x^2)^3 - 1^3 = x^6 - 1 $.
• Kết quả: $ (3x^4 - 3x^2) + (x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1) - (x^6 - 1) = 0 $.

Câu e) $ (x^4 - 3x^2 + 9)(x^2 + 3) + (3 - x^2)^3 - 9x^2(x^2 - 3) $

• Cụm đầu là tổng hai lập phương: $ (x^2 + 3)((x^2)^2 - x^2 . 3 + 3^2) = (x^2)^3 + 3^3 = x^6 + 27 $.
• Khai triển: $ (3 - x^2)^3 = 3^3 - 3 . 3^2 . x^2 + 3 . 3 . (x^2)^2 - (x^2)^3 = 27 - 27x^2 + 9x^4 - x^6 $.
• Nhân vào: $ -9x^2(x^2 - 3) = -9x^4 + 27x^2 $.
• Cộng lại: $ x^6 + 27 + 27 - 27x^2 + 9x^4 - x^6 - 9x^4 + 27x^2 = 54 $.

Câu f) $ (4x + 6y)(4x^2 - 6xy + 9y^2) - 54y^3 $

• Đặt 2 ra ngoài ở ngoặc đầu: $ 2(2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2) - 54y^3 $.
• Thấy hằng đẳng thức: $ 2 [ (2x)^3 + (3y)^3 ] - 54y^3 $.
• $ = 2(8x^3 + 27y^3) - 54y^3 = 16x^3 + 54y^3 - 54y^3 = 16x^3 $.

 

 ⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải

1. Quên đổi dấu: Khi khai triển $ -(x-1)^3 $, nhiều bạn viết thành $ -x^3 - 3x^2... $ là SAI. Phải để trong ngoặc rồi mới phá: $ -(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = -x^3 + 3x^2 - 3x + 1 $.
2. Nhầm hằng đẳng thức: Nhầm giữa $ (A-B)^2 $ (bình phương một hiệu) và $ A^2 - B^2 $ (hiệu hai bình phương).
3. Lũy thừa của lũy thừa: $ (x^2)^3 = x^6 $, nhiều bạn hay viết nhầm thành $ x^5 $ (do lấy $ 2+3 $ thay vì $ 2 . 3 $).

 🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)

Bài tập: Rút gọn biểu thức sau:
$ A = (x + 2)^3 + (x - 2)^3 - 2x(x^2 + 12) $

Đáp số: $ A = 0 $. (Các em hãy thử tự giải để kiểm tra năng lực nhé!)