Phân tích đa thức thành nhân tử
Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Thầy rất vui khi được đồng hành cùng các em. Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán này bằng cách phá vỡ từng bước khó khăn nhé!
Đây là các bài toán thuộc chủ đề Phân tích đa thức thành nhân tử - một nội dung trọng tâm trong chương trình Toán 8 (Kết nối tri thức).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) $x^4 - 2(a^2 + b^2).x^2 + (a^2 - b^2)^2$
2) $(ab + 1).(a + 1).(b + 1) + ab$
3) $xy.(x + y) - yz.(y + z) - zx.(z - x)$
4) $a^7 + a^2 + 1$
5) $x^3 + 5x^2 + 8x + 4$
6) $x^9 + 7x^6y^3 + 7x^3y^6 + y^9$
7) $4x^2 + y^2 + 9z^2 - 6yz + 12zx - 4xy$
8) $(x^2 - 1)(x + 3)(x + 5) + 16$
9) $(2x^2 - 4x + 1)^2 - 14x^2 + 28x + 3$
💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải các bài toán này, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các kiến thức sau:
Hằng đẳng thức đáng nhớ: $(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2$; $A^2 - B^2 = (A - B).(A + B)$.
Phương pháp tách/thêm bớt hạng tử: Nhằm tạo ra nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
Phương pháp đặt ẩn phụ: Giúp biểu thức trở nên đơn giản, dễ nhận diện cấu trúc hơn.
Phương pháp nhóm hạng tử: Nhóm các số hạng có đặc điểm chung.
💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)
Câu 1: Quan sát biểu thức có dạng $A^2 - 2AB + B^2$.
Thầy nhận thấy: $(a^2 - b^2)^2 = [(a-b).(a+b)]^2 = (a-b)^2 . (a+b)^2$.
Mà $2.(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2$. Vậy ta có thể tách hạng tử ở giữa để đưa về dạng tích hoặc nhóm.
Câu 2: Nếu nhân phá toàn bộ sẽ rất dài. Thầy sẽ nhân $(a+1).(b+1)$ trước, kết quả là $ab + a + b + 1$. Khi đó biểu thức xuất hiện cụm $(ab+1)$ lặp lại. Thầy đặt $X = ab+1$ để biểu thức trở thành một đa thức bậc hai đơn giản.
Câu 3: Đây là dạng đa thức có tính chất xoay vòng (nhưng có đổi dấu). Thầy sẽ giữ nguyên nhóm đầu tiên $xy.(x+y)$, nhân phá hai nhóm sau rồi nhóm lại sao cho xuất hiện nhân tử $(x+y)$.
Câu 4: Đây là dạng nâng cao. Với đa thức $a^7 + a^2 + 1$, thầy sẽ thêm bớt các hạng tử $a^6, a^5, a^4, a^3$ để xuất hiện nhân tử chung là $(a^2 + a + 1)$. Các em lưu ý: $a^3 - 1 = (a-1).(a^2+a+1)$.
1. Sai dấu khi phá ngoặc: Ở câu 3, khi có dấu " - " trước ngoặc, các em rất hay quên đổi dấu các hạng tử bên trong.
2. Chưa phân tích triệt để: Ở câu 1, sau khi ra đến bước $(x^2 - (a+b)^2)$ nhiều bạn dừng lại mà quên rằng đây là hằng đẳng thức $A^2 - B^2$ cần phân tích tiếp.
3. Lúng túng với bậc cao: Ở câu 4, nếu không biết kỹ thuật thêm bớt để xuất hiện $a^2+a+1$, các em thường sẽ bị tắc. Hãy nhớ các "đa thức nhân tử mẫu" như $x^2+x+1$ hay $x^2-x+1$.
Câu 5: Không nhẩm được nghiệm nên loay hoay không biết tách hạng tử nào. Mẹo: Thử các ước của hệ số tự do (ở đây là $\pm 1, \pm 2, \pm 4$).
Câu 7: Xác định sai dấu của các hạng tử trong bình phương. Nhớ kiểm tra lại bằng cách khai triển ngược.
Câu 8: Nhóm sai cặp (ví dụ nhóm $(x-1)(x+1)$) dẫn đến không đặt được ẩn phụ chung.
Câu 9: Quên không rút gọn nhân tử chung cuối cùng (số 2 ở ngoặc thứ hai).
Lời giải nhanh: $x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2 - 2x).(x^2 + 2 + 2x)$
Bài 2: Phân tích thành nhân tử: $a.(b+c)^2 + b.(c+a)^2 + c.(a+b)^2 - 4abc$
Lời giải nhanh: $(a+b).(b+c).(c+a)$
Bài 3: Phân tích đa thức $x^3 - 7x - 6$ thành nhân tử.
Giải nhanh:
$= x^3 - x - 6x - 6 = x(x-1)(x+1) - 6(x+1) = (x+1)(x^2 - x - 6) = (x+1)(x+2)(x-3)$.
Bài 4: Phân tích đa thức $x^2 + 4y^2 + z^2 + 4xy - 4yz - 2zx$ thành nhân tử.
Giải nhanh:
$= (x + 2y)^2 - 2z(x + 2y) + z^2 = (x + 2y - z)^2$.
Bài 5: Phân tích đa thức $x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1$ thành nhân tử.
Giải nhanh:
$= [x(x+3)].[(x+1)(x+2)] + 1 = (x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) + 1$. Đặt $t = x^2 + 3x + 1 \implies (t-1)(t+1) + 1 = t^2 = (x^2 + 3x + 1)^2$.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
Đây là các bài toán thuộc chủ đề Phân tích đa thức thành nhân tử - một nội dung trọng tâm trong chương trình Toán 8 (Kết nối tri thức).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) $x^4 - 2(a^2 + b^2).x^2 + (a^2 - b^2)^2$
2) $(ab + 1).(a + 1).(b + 1) + ab$
3) $xy.(x + y) - yz.(y + z) - zx.(z - x)$
4) $a^7 + a^2 + 1$
5) $x^3 + 5x^2 + 8x + 4$
6) $x^9 + 7x^6y^3 + 7x^3y^6 + y^9$
7) $4x^2 + y^2 + 9z^2 - 6yz + 12zx - 4xy$
8) $(x^2 - 1)(x + 3)(x + 5) + 16$
9) $(2x^2 - 4x + 1)^2 - 14x^2 + 28x + 3$
💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải các bài toán này, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các kiến thức sau:
Hằng đẳng thức đáng nhớ: $(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2$; $A^2 - B^2 = (A - B).(A + B)$.
Phương pháp tách/thêm bớt hạng tử: Nhằm tạo ra nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
Phương pháp đặt ẩn phụ: Giúp biểu thức trở nên đơn giản, dễ nhận diện cấu trúc hơn.
Phương pháp nhóm hạng tử: Nhóm các số hạng có đặc điểm chung.
💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)
Câu 1: Quan sát biểu thức có dạng $A^2 - 2AB + B^2$.
Thầy nhận thấy: $(a^2 - b^2)^2 = [(a-b).(a+b)]^2 = (a-b)^2 . (a+b)^2$.
Mà $2.(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2$. Vậy ta có thể tách hạng tử ở giữa để đưa về dạng tích hoặc nhóm.
1) $x^4 - 2(a^2 + b^2).x^2 + (a^2 - b^2)^2$
$= x^4 - [(a+b)^2 + (a-b)^2].x^2 + (a+b)^2.(a-b)^2$
$= x^4 - (a+b)^2.x^2 - (a-b)^2.x^2 + (a+b)^2.(a-b)^2$
$= x^2.[x^2 - (a+b)^2] - (a-b)^2.[x^2 - (a+b)^2]$
$= [x^2 - (a+b)^2].[x^2 - (a-b)^2]$
$= (x - a - b).(x + a + b).(x - a + b).(x + a - b)$
$= x^4 - [(a+b)^2 + (a-b)^2].x^2 + (a+b)^2.(a-b)^2$
$= x^4 - (a+b)^2.x^2 - (a-b)^2.x^2 + (a+b)^2.(a-b)^2$
$= x^2.[x^2 - (a+b)^2] - (a-b)^2.[x^2 - (a+b)^2]$
$= [x^2 - (a+b)^2].[x^2 - (a-b)^2]$
$= (x - a - b).(x + a + b).(x - a + b).(x + a - b)$
Câu 2: Nếu nhân phá toàn bộ sẽ rất dài. Thầy sẽ nhân $(a+1).(b+1)$ trước, kết quả là $ab + a + b + 1$. Khi đó biểu thức xuất hiện cụm $(ab+1)$ lặp lại. Thầy đặt $X = ab+1$ để biểu thức trở thành một đa thức bậc hai đơn giản.
2) $(ab + 1).(a + 1).(b + 1) + ab$
$= (ab + 1).(ab + a + b + 1) + ab$
Đặt $ab + 1 = X$, ta có:
$X.(X + a + b) + ab$
$= X^2 + X.a + X.b + ab$
$= X.(X + a) + b.(X + a)$
$= (X + a).(X + b)$
Thay $X = ab + 1$ vào: $(ab + 1 + a).(ab + 1 + b)$
$= (ab + 1).(ab + a + b + 1) + ab$
Đặt $ab + 1 = X$, ta có:
$X.(X + a + b) + ab$
$= X^2 + X.a + X.b + ab$
$= X.(X + a) + b.(X + a)$
$= (X + a).(X + b)$
Thay $X = ab + 1$ vào: $(ab + 1 + a).(ab + 1 + b)$
Câu 3: Đây là dạng đa thức có tính chất xoay vòng (nhưng có đổi dấu). Thầy sẽ giữ nguyên nhóm đầu tiên $xy.(x+y)$, nhân phá hai nhóm sau rồi nhóm lại sao cho xuất hiện nhân tử $(x+y)$.
3) $xy.(x + y) - yz.(y + z) - zx.(z - x)$
$= xy.(x + y) - y^2z - yz^2 - z^2x + zx^2$
$= xy.(x + y) + (zx^2 - yz^2) - (z^2x + y^2z)$ (Lỗi ở bước này thường gặp, hãy xem cách nhóm sau)
$= xy.(x + y) + z.(x^2 - y^2) - z^2.(x + y)$
$= xy.(x + y) + z.(x - y).(x + y) - z^2.(x + y)$
$= (x + y).[xy + z.(x - y) - z^2]$
$= (x + y).[xy + zx - zy - z^2]$
$= (x + y).[x.(y + z) - z.(y + z)]$
$= (x + y).(y + z).(x - z)$
$= xy.(x + y) - y^2z - yz^2 - z^2x + zx^2$
$= xy.(x + y) + (zx^2 - yz^2) - (z^2x + y^2z)$ (Lỗi ở bước này thường gặp, hãy xem cách nhóm sau)
$= xy.(x + y) + z.(x^2 - y^2) - z^2.(x + y)$
$= xy.(x + y) + z.(x - y).(x + y) - z^2.(x + y)$
$= (x + y).[xy + z.(x - y) - z^2]$
$= (x + y).[xy + zx - zy - z^2]$
$= (x + y).[x.(y + z) - z.(y + z)]$
$= (x + y).(y + z).(x - z)$
Câu 4: Đây là dạng nâng cao. Với đa thức $a^7 + a^2 + 1$, thầy sẽ thêm bớt các hạng tử $a^6, a^5, a^4, a^3$ để xuất hiện nhân tử chung là $(a^2 + a + 1)$. Các em lưu ý: $a^3 - 1 = (a-1).(a^2+a+1)$.
4) $a^7 + a^2 + 1$
$= a^7 - a + a^2 + a + 1$
$= a.(a^6 - 1) + (a^2 + a + 1)$
$= a.(a^3 - 1).(a^3 + 1) + (a^2 + a + 1)$
$= a.(a - 1).(a^2 + a + 1).(a^3 + 1) + (a^2 + a + 1)$
$= (a^2 + a + 1).[a.(a - 1).(a^3 + 1) + 1]$
$= (a^2 + a + 1).[(a^2 - a).(a^3 + 1) + 1]$
$= (a^2 + a + 1).(a^5 + a^2 - a^4 - a + 1)$
$= (a^2 + a + 1).(a^5 - a^4 + a^2 - a + 1)$
$= a^7 - a + a^2 + a + 1$
$= a.(a^6 - 1) + (a^2 + a + 1)$
$= a.(a^3 - 1).(a^3 + 1) + (a^2 + a + 1)$
$= a.(a - 1).(a^2 + a + 1).(a^3 + 1) + (a^2 + a + 1)$
$= (a^2 + a + 1).[a.(a - 1).(a^3 + 1) + 1]$
$= (a^2 + a + 1).[(a^2 - a).(a^3 + 1) + 1]$
$= (a^2 + a + 1).(a^5 + a^2 - a^4 - a + 1)$
$= (a^2 + a + 1).(a^5 - a^4 + a^2 - a + 1)$
Câu 5: Ta thấy tổng các hệ số không bằng 0, nhưng nếu thay $x = -1$ vào thì $(-1)^3 + 5.(-1)^2 + 8.(-1) + 4 = 0$. Vậy đa thức có nhân tử $(x+1)$. Ta sẽ tách $5x^2 = x^2 + 4x^2$ và $8x = 4x + 4x$.
5) $x^3 + 5x^2 + 8x + 4$
$= (x^3 + x^2) + (4x^2 + 4x) + (4x + 4)$
$= x^2.(x + 1) + 4x.(x + 1) + 4.(x + 1)$
$= (x + 1).(x^2 + 4x + 4)$
$= (x + 1).(x + 2)^2$
$= (x^3 + x^2) + (4x^2 + 4x) + (4x + 4)$
$= x^2.(x + 1) + 4x.(x + 1) + 4.(x + 1)$
$= (x + 1).(x^2 + 4x + 4)$
$= (x + 1).(x + 2)^2$
Câu 6: Nhận thấy $x^9 + y^9$ là tổng hai lập phương $(x^3)^3 + (y^3)^3$. Hai hạng tử ở giữa có $7x^3y^3$ làm nhân tử chung. Sau khi nhóm, ta sẽ thấy xuất hiện nhân tử chung lớn là $x^3 + y^3$.
6) $x^9 + 7x^6y^3 + 7x^3y^6 + y^9$
$= (x^9 + y^9) + (7x^6y^3 + 7x^3y^6)$
$= [(x^3)^3 + (y^3)^3] + 7x^3y^3.(x^3 + y^3)$
$= (x^3 + y^3).(x^6 - x^3y^3 + y^6) + 7x^3y^3.(x^3 + y^3)$
$= (x^3 + y^3).(x^6 - x^3y^3 + y^6 + 7x^3y^3)$
$= (x^3 + y^3).(x^6 + 6x^3y^3 + y^6)$
$= (x + y).(x^2 - xy + y^2).(x^6 + 6x^3y^3 + y^6)$
$= (x^9 + y^9) + (7x^6y^3 + 7x^3y^6)$
$= [(x^3)^3 + (y^3)^3] + 7x^3y^3.(x^3 + y^3)$
$= (x^3 + y^3).(x^6 - x^3y^3 + y^6) + 7x^3y^3.(x^3 + y^3)$
$= (x^3 + y^3).(x^6 - x^3y^3 + y^6 + 7x^3y^3)$
$= (x^3 + y^3).(x^6 + 6x^3y^3 + y^6)$
$= (x + y).(x^2 - xy + y^2).(x^6 + 6x^3y^3 + y^6)$
Câu 7: Đa thức này có 6 hạng tử, trong đó có 3 hạng tử là bình phương ($4x^2, y^2, 9z^2$). Đây là dạng khai triển của $(A+B+C)^2$. Ta cần xác định dấu của từng số hạng dựa vào các tích chéo: $-4xy$ và $-6yz$ có chung $y$, vậy $y$ sẽ mang dấu ngược lại với $x$ và $z$.
7) $4x^2 + y^2 + 9z^2 - 6yz + 12zx - 4xy$
$= (2x)^2 + (-y)^2 + (3z)^2 + 2.(-y).(3z) + 2.(3z).(2x) + 2.(2x).(-y)$
$= (2x - y + 3z)^2$
$= (2x)^2 + (-y)^2 + (3z)^2 + 2.(-y).(3z) + 2.(3z).(2x) + 2.(2x).(-y)$
$= (2x - y + 3z)^2$
Câu 8: Trước hết tách $(x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1)$. Khi đó ta có 4 ngoặc nhân với nhau: $(x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5)$. Ta nhóm cặp có tổng hệ số tự do bằng nhau: $(-1 + 5) = (1 + 3) = 4$. Sau đó đặt ẩn phụ.
8) $(x^2 - 1)(x + 3)(x + 5) + 16$
$= (x - 1).(x + 1).(x + 3).(x + 5) + 16$
$= [(x - 1).(x + 5)].[(x + 1).(x + 3)] + 16$
$= (x^2 + 4x - 5).(x^2 + 4x + 3) + 16$
Đặt $t = x^2 + 4x - 1$. Khi đó đa thức trở thành:
$(t - 4).(t + 4) + 16 = t^2 - 16 + 16 = t^2$
Thay $t = x^2 + 4x - 1$ vào, ta được kết quả: $(x^2 + 4x - 1)^2$
$= (x - 1).(x + 1).(x + 3).(x + 5) + 16$
$= [(x - 1).(x + 5)].[(x + 1).(x + 3)] + 16$
$= (x^2 + 4x - 5).(x^2 + 4x + 3) + 16$
Đặt $t = x^2 + 4x - 1$. Khi đó đa thức trở thành:
$(t - 4).(t + 4) + 16 = t^2 - 16 + 16 = t^2$
Thay $t = x^2 + 4x - 1$ vào, ta được kết quả: $(x^2 + 4x - 1)^2$
Câu 9: Ta biến đổi $-14x^2 + 28x = -7(2x^2 - 4x)$. Đặt $t = 2x^2 - 4x + 1$, khi đó $2x^2 - 4x = t - 1$. Thay vào để giải tiếp.
9) $(2x^2 - 4x + 1)^2 - 14x^2 + 28x + 3$
$= (2x^2 - 4x + 1)^2 - 7.(2x^2 - 4x) + 3$
Đặt $a = 2x^2 - 4x$. Đa thức trở thành:
$(a + 1)^2 - 7a + 3 = a^2 + 2a + 1 - 7a + 3$
$= a^2 - 5a + 4 = (a^2 - a) - (4a - 4)$
$= a.(a - 1) - 4.(a - 1) = (a - 1).(a - 4)$
Thay $a = 2x^2 - 4x$ vào:
$= (2x^2 - 4x - 1).(2x^2 - 4x - 4)$
$= 2.(2x^2 - 4x - 1).(x^2 - 2x - 2)$
$= (2x^2 - 4x + 1)^2 - 7.(2x^2 - 4x) + 3$
Đặt $a = 2x^2 - 4x$. Đa thức trở thành:
$(a + 1)^2 - 7a + 3 = a^2 + 2a + 1 - 7a + 3$
$= a^2 - 5a + 4 = (a^2 - a) - (4a - 4)$
$= a.(a - 1) - 4.(a - 1) = (a - 1).(a - 4)$
Thay $a = 2x^2 - 4x$ vào:
$= (2x^2 - 4x - 1).(2x^2 - 4x - 4)$
$= 2.(2x^2 - 4x - 1).(x^2 - 2x - 2)$
⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải
1. Sai dấu khi phá ngoặc: Ở câu 3, khi có dấu " - " trước ngoặc, các em rất hay quên đổi dấu các hạng tử bên trong.2. Chưa phân tích triệt để: Ở câu 1, sau khi ra đến bước $(x^2 - (a+b)^2)$ nhiều bạn dừng lại mà quên rằng đây là hằng đẳng thức $A^2 - B^2$ cần phân tích tiếp.
3. Lúng túng với bậc cao: Ở câu 4, nếu không biết kỹ thuật thêm bớt để xuất hiện $a^2+a+1$, các em thường sẽ bị tắc. Hãy nhớ các "đa thức nhân tử mẫu" như $x^2+x+1$ hay $x^2-x+1$.
Câu 5: Không nhẩm được nghiệm nên loay hoay không biết tách hạng tử nào. Mẹo: Thử các ước của hệ số tự do (ở đây là $\pm 1, \pm 2, \pm 4$).
Câu 7: Xác định sai dấu của các hạng tử trong bình phương. Nhớ kiểm tra lại bằng cách khai triển ngược.
Câu 8: Nhóm sai cặp (ví dụ nhóm $(x-1)(x+1)$) dẫn đến không đặt được ẩn phụ chung.
Câu 9: Quên không rút gọn nhân tử chung cuối cùng (số 2 ở ngoặc thứ hai).
🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)
Bài 1: Phân tích thành nhân tử: $x^4 + 4$Lời giải nhanh: $x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2 - 2x).(x^2 + 2 + 2x)$
Bài 2: Phân tích thành nhân tử: $a.(b+c)^2 + b.(c+a)^2 + c.(a+b)^2 - 4abc$
Lời giải nhanh: $(a+b).(b+c).(c+a)$
Bài 3: Phân tích đa thức $x^3 - 7x - 6$ thành nhân tử.
Giải nhanh:
$= x^3 - x - 6x - 6 = x(x-1)(x+1) - 6(x+1) = (x+1)(x^2 - x - 6) = (x+1)(x+2)(x-3)$.
Bài 4: Phân tích đa thức $x^2 + 4y^2 + z^2 + 4xy - 4yz - 2zx$ thành nhân tử.
Giải nhanh:
$= (x + 2y)^2 - 2z(x + 2y) + z^2 = (x + 2y - z)^2$.
Bài 5: Phân tích đa thức $x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1$ thành nhân tử.
Giải nhanh:
$= [x(x+3)].[(x+1)(x+2)] + 1 = (x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) + 1$. Đặt $t = x^2 + 3x + 1 \implies (t-1)(t+1) + 1 = t^2 = (x^2 + 3x + 1)^2$.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
Đang được quan tâm nhất Khối 8
Tài liệu mới cập nhật
Bài 17. Hằng đẳng thức đáng nhớ
22/09/2026
4
Bài 16. Tìm x
17/09/2026
10
Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức
08/09/2026
41