Dạng 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC BẬC BA VÀ BẬC 4
Dạng 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC BẬC BA VÀ BẬC 4
Dùng máy tính nhẩm nghiệm
hoặc tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có 1 nghiệm x = 1
Tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì đa thức có 1 nghiệm là x = –\(x = -1\)1
1 số Hằng đẳng thức đáng nhớ:
1, $\left( a+b \right)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=\left( a-b \right)^{2}+4ab$
2, $\left( a-b \right)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab=\left( a+b \right)^{2}-4ab$
3, $a^{2}+b^{2}=\left( a+b \right)^{2}-2ab=\left( a-b \right)^{2}+2ab$
4, $a^{3}+b^{3}=\left( a+b \right)\left( a^{2}-ab+b^{2} \right)=\left( a+b \right)^{3}-3ab\left( a+b \right)$
5, $a^{3}-b^{3}=\left( a-b \right)\left( a^{2}+ab+b^{2} \right)=\left( a-b \right)^{3}+3ab\left( a-b \right)$
6, $2\left( a^{2}+b^{2} \right)=\left( a+b \right)^{2}+\left( a-b \right)^{2}$
7, $\left( a+b \right)^{2}-\left( a-b \right)^{2}=4ab$
8, $a^{4}+b^{4}=\left( a+b \right)\left( a-b \right)\left[ \left( a+b \right)^{2}-2ab \right]$
9, $a^{4}+b^{4}=\left[ \left( a+b \right)^{2}-2ab \right]^{2}-2\left( ab \right)^{2}$.
10, $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\left( a+b+c \right)\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right)$.
11, $a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=\left( a^{2}+ab+b^{2} \right)\left( a^{2}-ab+b^{2} \right)$.
12, $a^{4}+a^{2}+1=\left( a^{2}+a+1 \right)\left( a^{2}-a+1 \right)$.
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: $a^{3}+4a^{2}-29a+24$
HD:
Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm là 1,3 và -8, nên sẽ có chứa các nhân tử (a - 1), (a - 3) và (a + 8),
Ta có:$a^{3}+4a^{2}-29a+24=\left( a^{3}-a^{2} \right)+\left( 5a^{2}-5a \right)+\left( -24a+24 \right)$
$a^{2}\left( a-1 \right)+5a\left( a-1 \right)-24\left( a-1 \right)=\left( a-1 \right)\left( a^{2}+5a-24 \right)$=$\left( a-1 \right)\left( a-3 \right)\left( a+8 \right)$
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x+1$
HD:
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính
Và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:
Nên ta làm như sau:
$x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x+1=x^{2}\left( x^{2}+6x+7+\dfrac{-6}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right)=x^{2}\left( x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+6\left( x-\dfrac{1}{x} \right)+7 \right)$
Đặt $x-\dfrac{1}{x}=t=>x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=t^{2}+2$
Đa thức trở thành : $x^{2}\left( t^{2}+2+6t+7 \right)=x^{2}\left( t^{2}+6t+9 \right)=x^{2}\left( t+3 \right)^{2}$
Thay t trở lại ta được :$x^{2}\left( x-\dfrac{1}{x}+3 \right)^{2}=x^{2}\left( \dfrac{x^{2}-1+3x}{x} \right)^{2}=(x^{2}+3x-1)^{2}$
Vậy $x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x+1=\left( x^{2}+3x-1 \right)^{2}$
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{3}+6x^{2}+11x+6$
HD :
Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích :
$x^{3}+6x^{2}+11x+6=\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)$
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\left( x+5 \right)\left( x+7 \right)+15$
HD :
Với dạng này, ta chỉ việc lấy số nhỏ nhất nhân với số lớn nhất, để tạo ra những số hạng giống nhau :
$\left( x+1 \right)\left( x+7 \right)\left( x+3 \right)\left( x+5 \right)+15=\left( x^{2}+8x+7 \right)\left( x^{2}+8x+15 \right)+15$
Đặt $x^{2}+8x=t=>\left( t+7 \right)\left( t+15 \right)+15=t^{2}+22t+105+15=t^{2}+22t+120$
$=\left( t+10 \right)\left( t+12 \right)=\left( x^{2}+8x+10 \right)\left( x^{2}+8x+12 \right)$=$\left( x^{2}+8x+10 \right)\left( x+6 \right)\left( x+2 \right)$
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+2x^{2}+1$
HD :
Nhận thấy ngay đa thức trên là hằng đẳng thức nên ta có :
$x^{4}+2x^{2}+1=\left( x^{2}+1 \right)^{2}$
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: $3x^{3}-7x^{2}+17x-5$
HD :
Bấm máy tính cho ta có nghiệm là $x=\dfrac{1}{3}$, nên có nhân tử là : (3x - 1)
nên ta có :$3x^{3}-7x^{2}+17x-5=3x^{3}-x^{2}-6x^{2}+2x+15x-5$
$=x^{2}\left( 3x-1 \right)-2x\left( 3x-1 \right)+5\left( 3x-1 \right)=\left( 3x-1 \right)\left( x^{2}-2x+5 \right)$
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: $2x^{3}-5x^{2}+8x-3$
HD :
Bấm máy tính cho ta có nghiệm là $x=\dfrac{1}{2}$, nên có nhân tử là : (2x - 1)
Nên ta có : $2x^{3}-5x^{2}+8x-3=2x^{3}-x^{2}-4x^{2}+2x+6x-3$
$=x^{2}\left( 2x-1 \right)-2x\left( 2x-1 \right)+3\left( 2x-1 \right)=\left( 2x-1 \right)\left( x^{2}-2x+3 \right)$
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: $3x^{3}-14x^{2}+4x+3$
HD :
Bấm máy tính cho ta nghiệm là : $x=\dfrac{-1}{3}$ nên có 1 nhân tử là : (3x + 1)
Ta có : $3x^{3}-14x^{2}+4x+3=3x^{3}+x^{2}-15x^{2}-5x+9x+3$
$x^{2}\left( 3x+1 \right)-5x\left( 3x+1 \right)+3\left( 3x+1 \right)=\left( 3x+1 \right)\left( x^{2}-5x+3 \right)$
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{3}+5x^{2}+8x+4$
HD :
bấm máy tính cho ta nghiệm là : x= -1 và x= -2
Như vậy ta có : $x^{3}+5x^{2}+8x+4=\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)^{2}$
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+1997x^{2}+1996x+1997$
HD:
Ta có:
$\left( x^{4}+x^{2}+1 \right)+\left( 1996x^{2}+1996x+1996 \right)=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}-x+1 \right)+1996\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}-x+1997 \right)$
Bài 11: Phân tích thành nhân tử: $x^{4}+2004x^{2}+2003x+2004$
HD:
$=x^{4}+2004x^{2}+2004x-x+2004$$=\left( x^{4}-x \right)+2004\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=x\left( x^{3}-1 \right)+2004\left( x^{2}+x+1 \right)=x\left( x-1 \right)\left( x^{2}+x+1 \right)+2004\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}-x+2004 \right)$
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{2}-x-2001.2002$
HD :
Ta có:$x^{2}-x-2001\left( 2001+1 \right)=x^{2}-x+2001^{2}-2001=\left( x^{2}-2001^{2} \right)-\left( x+2001 \right)$
$\left( x-2011 \right)\left( x+2011 \right)-\left( x+2011 \right)=\left( x+2011 \right)\left( x-2012 \right)$
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x\left( x+4 \right)\left( x+6 \right)\left( x+10 \right)+128$
HD :
$x\left( x+10 \right)\left( x+4 \right)\left( x+6 \right)+128=\left( x^{2}+10x \right)\left( x^{2}+10x+24 \right)+128$
Đặt : $x^{2}+10x=t$, Khi đó đa thức trở thành : $t\left( t+24 \right)+128=t^{2}+24t+128=\left( t+8 \right)\left( t+16 \right)$
Thay t trở lại đa thức ta đươc : $\left( x^{2}+10x+8 \right)\left( x^{2}+10x+16 \right)=\left( x^{2}+10x+8 \right)\left( x+2 \right)\left( x+8 \right)$
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x+1$
HD :
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính
và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:
nên ta làm như sau:
$x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x+1=x^{2}\left( x^{2}+6x+7+\dfrac{-6}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right)=x^{2}\left( x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+6\left( x-\dfrac{1}{x} \right)+7 \right)$
Đặt $x-\dfrac{1}{x}=t=>x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=t^{2}+2$Đa thức trở thành :$x^{2}\left( t^{2}+2+6t+7 \right)=x^{2}\left( t^{2}+6t+9 \right)=x^{2}\left( t+3 \right)^{2}$
Thay t trở lại ta được :
$x^{2}\left( x-\dfrac{1}{x}+3 \right)^{2}=x^{2}\left( \dfrac{x^{2}-1+3x}{x} \right)^{2}=(x^{2}+3x-1)^{2}$
Vậy $x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x+1=\left( x^{2}+3x-1 \right)^{2}$
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}+x+2 \right)-12$
HD :
Đặt $x^{2}+x=t$ khi đó đa thức trở thành : $\left( t+1 \right)\left( t+2 \right)-12=t^{2}+3t-10=\left( t-2 \right)\left( t+5 \right)$
Thay t trở lại đa thức ta được : $\left( x^{2}+x-2 \right)\left( x^{2}+x+5 \right)=\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x^{2}+x+5 \right)$
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x^{2}-4 \right)\left( x^{2}-10 \right)-72$
HD :
Đặt $x^{2}-4=t$ khi đó đa thức trở thành :
$t\left( t-6 \right)-72=t^{2}-6t-72=\left( t-12 \right)\left( t+6 \right)=\left( x^{2}-16 \right)\left( x^{2}+2 \right)=\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( x^{2}+2 \right)$
Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+6x^{3}-11x^{2}+6x+1$
HD :
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính
và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:
nên ta làm như sau:
$x^{4}+6x^{3}+7x^{2}+6x+1=x^{2}\left( x^{2}+6x+7+\dfrac{6}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right)=x^{2}\left( x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+6\left( x+\dfrac{1}{x} \right)+7 \right)$
Đặt $x+\dfrac{1}{x}=t=>x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$. Đa thức trở thành :
$x^{2}\left( t^{2}-2+6t+7 \right)=x^{2}\left( t^{2}+6t+5 \right)=x^{2}\left( t+1 \right)\left( t+5 \right)$
Thay t trở lại ta được :
$x^{2}\left( x+\dfrac{1}{x}+1 \right)\left( x+\dfrac{1}{x}+5 \right)=x^{2}\left( \dfrac{x^{2}+1+x}{x} \right)\left( \dfrac{x^{2}+1+5x}{x} \right)=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}+5x+1 \right)$
Vậy $x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x+1=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}+5x+1 \right)$
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( a+1 \right)\left( a+2 \right)\left( a+3 \right)\left( a+4 \right)+1$
HD :
Ta có : $\left( a+1 \right)\left( a+4 \right)\left( a+2 \right)\left( a+3 \right)+1=\left( a^{2}+5a+4 \right)\left( a^{2}+5a+6 \right)+1$
Đặt $a^{2}+5a+5=t$, Khi đó đa thức trở thành : $\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)+1=t^{2}=\left( a^{2}+5a+5 \right)^{2}$
Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)\left( x+5 \right)-24$
HD :
Ta có : $\left( x+2 \right)\left( x+5 \right)\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)-24=\left( x^{2}+7x+10 \right)\left( x^{2}+7x+12 \right)-24$
Đặt : $x^{2}+7x+11=t$, Khi đó đa thức trở thành
$\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)-24=t^{2}-25=\left( t-5 \right)\left( t+5 \right)=\left( x^{2}+7x+6 \right)\left( x^{2}+7x+16 \right)=\left( x+1 \right)\left( x+6 \right)\left( x^{2}+7x+16 \right)$Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( 4x+1 \right)\left( 12x-1 \right)\left( 3x+2 \right)\left( x+1 \right)-4$
HD :
$\left( 4x+1 \right)\left( 3x+2 \right)\left( 12x-1 \right)\left( x+1 \right)-4=\left( 12x^{2}+11x+2 \right)\left( 12x^{2}+11x-1 \right)-4$
Đặt $12x^{2}+11x=t$, Khi đó đa thức trở thành : $\left( t+2 \right)\left( t-1 \right)-4=t^{2}+t-6=\left( t-2 \right)\left( t+3 \right)$
$\left( 12x^{2}+11x-2 \right)\left( 12x^{2}+11x+3 \right)$
Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: $4\left( x+5 \right)\left( x+6 \right)\left( x+10 \right)\left( x+12 \right)-3x^{2}$
HD :
Ta có :$4\left( x+5 \right)\left( x+12 \right)\left( x+6 \right)\left( x+10 \right)-3x^{2}=4\left( x^{2}+17x+60 \right)\left( x^{2}+16x+60 \right)-3x^{2}$
$x^{2}\left[ 4\left( x+17+\dfrac{60}{x} \right)\left( x+16+\dfrac{60}{x} \right)-3 \right]$, Đặt : $x+\dfrac{60}{x}=t$, Khi đó đa thức trở thành :
$x^{2}\left[ 4\left( t+17 \right)\left( t+16 \right)-3 \right]=x^{2}\left( 4t^{2}+132t+1085 \right)=x^{2}\left( 2t+31 \right)\left( 2t+35 \right)$
$=x^{2}\left( 2x+\dfrac{120}{x}+31 \right)\left( 2x+\dfrac{120}{x}+35 \right)=\left( 2x^{2}+31x+120 \right)\left( 2x^{2}+35x+120 \right)$
Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x^{2}+3x+1 \right)\left( x^{2}+3x-3 \right)-5$
HD :
Đặt : $x^{2}+3x=t$ , Khi đó đa thức trở thành :
$\left( t+1 \right)\left( t-3 \right)-5=t^{2}-2t-8=\left( t+2 \right)\left( t-4 \right)=\left( x^{2}+3x+2 \right)\left( x^{2}+3x-4 \right)$
$\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)$
Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+x^{3}+2x^{2}+x+1$
HD :
$(x^{4}+x^{3}+x^{2})+(x^{2}+x+1)=x^{2}(x^{2}+x+1)+(x^{2}+x+1)=(x^{2}+x+1)(x^{2}+1)$
Bài 24: Phân tích đa thức thành nhân tử: $6a^{4}+7a^{3}-37a^{2}-8a+12$
HD :
Nhẩm thấy đa thức có nghiệm là x=2, hay có 1 nhân tuer là x - 2
Ta có :
$6a^{4}+7a^{3}-37a^{2}-8a+12=(6a^{4}-12a^{3})+(19a^{3}-38a^{2})+\left( a^{2}-2a \right)-\left( 6a-12 \right)$
$6a^{3}\left( a-2 \right)+19a^{2}\left( a-2 \right)+a\left( a-2 \right)-6\left( a-2 \right)=\left( a-2 \right)\left( 6a^{3}+19a^{2}+a-6 \right)$
= $\left( a-2 \right)\left( a+3 \right)\left( 2a-1 \right)\left( 3a+2 \right)$
Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4$
HD :
Thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có 1 nghiệm bằng -1
Ta có : $x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4=\left( x^{4}+x^{3} \right)+\left( 5x^{3}+5x^{2} \right)+\left( 8x^{2}+8x \right)+\left( 4x+4 \right)$
= $x^{3}\left( x+1 \right)+5x^{2}\left( x+1 \right)+8x\left( x+1 \right)+4\left( x+1 \right)=\left( x+1 \right)\left( x^{3}+5x^{2}+8x+4 \right)$
= $\left( x+1 \right)^{2}\left( x+2 \right)^{2}$
Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x^{2}+4x+8 \right)^{2}+3x^{3}+14x^{2}+24x$
HD :
$\left( x^{2}+4x+8 \right)^{2}+3x\left( x^{2}+4x+8 \right)+2x^{2}$,
Đặt: $\left( x^{2}+x-2 \right)^{100}+\left( x^{2}+1-x \right)^{2017}$=>$\left( y+x \right)\left( y+2x \right)$
Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử:$x^{4}+2010x^{2}+2009x+2010$
HD :
$x^{4}+x^{2}+1+2009x^{2}+2009x+2009=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}-x+1 \right)+2009\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}-x+2010 \right)$
Bài 28: Phân tích đa thức thành nhân tử:$\left( x^{2}+3x-4 \right)\left( x^{2}+x-6 \right)-24$
HD :
Ta có : $\left( x^{2}+3x-4 \right)\left( x^{2}+x-6 \right)-24=\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)-24$
$\left( x-2 \right)\left( x+4 \right)\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)-24=\left( x^{2}+2x-8 \right)\left( x^{2}+2x-3 \right)-24$
Đặt : $x^{2}+2x=t$, khi đó đa thức trở thành : $\left( t-8 \right)\left( t-3 \right)-24=t^{2}-11t=t\left( t-11 \right)$
Thay t trở lại ta được : $\left( x^{2}+2x \right)\left( x^{2}+2x-11 \right)=x\left( x+2 \right)\left( x^{2}+2x-11 \right)$
Bài 29: Phân tích đa thức thành nhân tử:$\left( x^{2}+2x+7 \right)-\left( x^{2}+2x+4 \right)\left( x^{2}+2x+3 \right)$
HD :
Đặt : $x^{2}+2x=t$, khi đó đa thức trở thành :
$\left( t+7 \right)-\left( t+4 \right)\left( t+3 \right)=t+7-t^{2}-7t-12=-t^{2}-6t-5=-\left( t+1 \right)\left( t+5 \right)$, Thay t trở lại ta được :
$-\left( x^{2}+2x+1 \right)\left( x^{2}+2x+5 \right)=-\left( x+1 \right)^{2}\left( x^{2}+2x+5 \right)$
Bài 30: Phân tích đa thức thành nhân tử:$x^{4}+10x^{3}+26x^{2}+10x+1$
HD :
$x^{4}+10x^{3}+26x^{2}+10x+1=x^{2}\left( x^{2}+10x+26+\dfrac{10}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right)=x^{2}\left( x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+10\left( x-\dfrac{1}{x} \right)+26 \right)$
Đặt $x+\dfrac{1}{x}=t=>x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$Đa thức trở thành :
$x^{2}\left( t^{2}-2+10t+26 \right)=x^{2}\left( t^{2}+10t+24 \right)=x^{2}\left( t+4 \right)\left( t+6 \right)$
Thay t trở lại ta được :
$x^{2}\left( x+\dfrac{1}{x}+4 \right)\left( x+\dfrac{1}{x}+6 \right)=x^{2}\left( \dfrac{x^{2}+4x+1}{x} \right)\left( \dfrac{x^{2}+6x+1}{x} \right)=\left( x^{2}+4x+1 \right)\left( x^{2}+6x+1 \right)$
Vậy $x^{4}+10x^{3}+26x^{2}+10x+1=\left( x^{2}+4x+1 \right)\left( x^{2}+6x+1 \right)$
Bài 31: Phân tích đa thức thành nhân tử:$\left( x-4 \right)\left( x-5 \right)\left( x-6 \right)\left( x-7 \right)-1680$
HD :
$\left( x-4 \right)\left( x-7 \right)\left( x-5 \right)\left( x-6 \right)-1689=\left( x^{2}-11x+28 \right)\left( x^{2}-11x+30 \right)-1680$
Đặt $x^{2}-11x+29=t$, Khi đó đa thức trở thành : $\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)-1680=t^{2}-1681=\left( t-41 \right)\left( t+41 \right)$
Thay t trở lại đa thức ta được : $\left( x^{2}-11x-12 \right)\left( x^{2}-11x+70 \right)=\left( x-12 \right)\left( x+1 \right)\left( x^{2}-11x+70 \right)$
Bài 32: Phân tích đa thức thành nhân tử:$x^{4}+x^{3}-4x^{2}+x+1$
HD :
$x^{4}+x^{3}-4x^{2}+x+1=x^{2}\left( x^{2}+x-4+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right)=x^{2}\left( x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+\left( x+\dfrac{1}{x} \right)-4 \right)$
Đặt $x+\dfrac{1}{x}=t=>x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$Đa thức trở thành :
$x^{2}\left( t^{2}-2+t-4 \right)=x^{2}\left( t^{2}+t-6 \right)=x^{2}\left( t-2 \right)\left( t+3 \right)$
Thay t trở lại ta được :
$x^{2}\left( x+\dfrac{1}{x}-2 \right)\left( x+\dfrac{1}{x}+3 \right)=x^{2}\left( \dfrac{x^{2}-2x+1}{x} \right)\left( \dfrac{x^{2}+3x+1}{x} \right)=\left( x-1 \right)^{2}.\left( x^{2}+3x+1 \right)$
Vậy $x^{4}+x^{3}-4x^{2}+x+1=\left( x-1 \right)^{2}\left( x^{2}+3x+1 \right)$
Bài 33: Phân tích đa thức thành nhân tử:$x^{4}-7x^{3}+14x^{2}-7x+1$
HD :
$x^{4}-7x^{3}+14x^{2}-7x+1=x^{2}\left( x^{2}-7x+14+\dfrac{-7}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right)=x^{2}\left( x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-7\left( x+\dfrac{1}{x} \right)+14 \right)$
Đặt $x+\dfrac{1}{x}=t=>x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$Đa thức trở thành :
$x^{2}\left( t^{2}-2-7t+14 \right)=x^{2}\left( t^{2}-7t+12 \right)=x^{2}\left( t-3 \right)\left( t-4 \right)$
Thay t trở lại ta được :
$x^{2}\left( x+\dfrac{1}{x}-3 \right)\left( x+\dfrac{1}{x}-4 \right)=x^{2}\left( \dfrac{x^{2}-3x+1}{x} \right)\left( \dfrac{x^{2}-4x+1}{x} \right)=\left( x^{2}-3x+1 \right).\left( x^{2}-4x+1 \right)$
Vậy $x^{4}-7x^{3}+14x^{2}-7x+1=\left( x^{2}-3x+1 \right)\left( x^{2}-4x+1 \right)$
Bài 34: Cho biểu thức: $A=\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right)^{2}-4b^{2}c^{2}$
a, Phân tích A thành nhân tử
b, Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì A< 0
HD:
a) Ta có: $A=\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right)^{2}-4b^{2}c^{2}=\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right)^{2}-\left( 2bc \right)^{2}$
$=\left( b^{2}+c^{2}-a^{2}-2bc \right)\left( b^{2}+c^{2}-a^{2}+2bc \right)=\left( b+c-a \right)\left( b+c+a \right)\left( b-c-a \right)\left( b-c+a \right)$
b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên:
$b+c-a>0,b+c+a>0,b-c-a<0,b-c+a>0=>A<0$
LÝ THUYẾT
Phương pháp:Dùng máy tính nhẩm nghiệm
hoặc tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có 1 nghiệm x = 1
Tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì đa thức có 1 nghiệm là x = –\(x = -1\)1
1 số Hằng đẳng thức đáng nhớ:
1, $\left( a+b \right)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=\left( a-b \right)^{2}+4ab$
2, $\left( a-b \right)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab=\left( a+b \right)^{2}-4ab$
3, $a^{2}+b^{2}=\left( a+b \right)^{2}-2ab=\left( a-b \right)^{2}+2ab$
4, $a^{3}+b^{3}=\left( a+b \right)\left( a^{2}-ab+b^{2} \right)=\left( a+b \right)^{3}-3ab\left( a+b \right)$
5, $a^{3}-b^{3}=\left( a-b \right)\left( a^{2}+ab+b^{2} \right)=\left( a-b \right)^{3}+3ab\left( a-b \right)$
6, $2\left( a^{2}+b^{2} \right)=\left( a+b \right)^{2}+\left( a-b \right)^{2}$
7, $\left( a+b \right)^{2}-\left( a-b \right)^{2}=4ab$
8, $a^{4}+b^{4}=\left( a+b \right)\left( a-b \right)\left[ \left( a+b \right)^{2}-2ab \right]$
9, $a^{4}+b^{4}=\left[ \left( a+b \right)^{2}-2ab \right]^{2}-2\left( ab \right)^{2}$.
10, $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\left( a+b+c \right)\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right)$.
11, $a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=\left( a^{2}+ab+b^{2} \right)\left( a^{2}-ab+b^{2} \right)$.
12, $a^{4}+a^{2}+1=\left( a^{2}+a+1 \right)\left( a^{2}-a+1 \right)$.
- LUYỆN TẬP
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: $a^{3}+4a^{2}-29a+24$
HD:
Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm là 1,3 và -8, nên sẽ có chứa các nhân tử (a - 1), (a - 3) và (a + 8),
Ta có:$a^{3}+4a^{2}-29a+24=\left( a^{3}-a^{2} \right)+\left( 5a^{2}-5a \right)+\left( -24a+24 \right)$
$a^{2}\left( a-1 \right)+5a\left( a-1 \right)-24\left( a-1 \right)=\left( a-1 \right)\left( a^{2}+5a-24 \right)$=$\left( a-1 \right)\left( a-3 \right)\left( a+8 \right)$
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x+1$
HD:
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính
Và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:
Nên ta làm như sau:
$x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x+1=x^{2}\left( x^{2}+6x+7+\dfrac{-6}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right)=x^{2}\left( x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+6\left( x-\dfrac{1}{x} \right)+7 \right)$
Đặt $x-\dfrac{1}{x}=t=>x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=t^{2}+2$
Đa thức trở thành : $x^{2}\left( t^{2}+2+6t+7 \right)=x^{2}\left( t^{2}+6t+9 \right)=x^{2}\left( t+3 \right)^{2}$
Thay t trở lại ta được :$x^{2}\left( x-\dfrac{1}{x}+3 \right)^{2}=x^{2}\left( \dfrac{x^{2}-1+3x}{x} \right)^{2}=(x^{2}+3x-1)^{2}$
Vậy $x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x+1=\left( x^{2}+3x-1 \right)^{2}$
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{3}+6x^{2}+11x+6$
HD :
Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích :
$x^{3}+6x^{2}+11x+6=\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)$
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\left( x+5 \right)\left( x+7 \right)+15$
HD :
Với dạng này, ta chỉ việc lấy số nhỏ nhất nhân với số lớn nhất, để tạo ra những số hạng giống nhau :
$\left( x+1 \right)\left( x+7 \right)\left( x+3 \right)\left( x+5 \right)+15=\left( x^{2}+8x+7 \right)\left( x^{2}+8x+15 \right)+15$
Đặt $x^{2}+8x=t=>\left( t+7 \right)\left( t+15 \right)+15=t^{2}+22t+105+15=t^{2}+22t+120$
$=\left( t+10 \right)\left( t+12 \right)=\left( x^{2}+8x+10 \right)\left( x^{2}+8x+12 \right)$=$\left( x^{2}+8x+10 \right)\left( x+6 \right)\left( x+2 \right)$
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+2x^{2}+1$
HD :
Nhận thấy ngay đa thức trên là hằng đẳng thức nên ta có :
$x^{4}+2x^{2}+1=\left( x^{2}+1 \right)^{2}$
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: $3x^{3}-7x^{2}+17x-5$
HD :
Bấm máy tính cho ta có nghiệm là $x=\dfrac{1}{3}$, nên có nhân tử là : (3x - 1)
nên ta có :$3x^{3}-7x^{2}+17x-5=3x^{3}-x^{2}-6x^{2}+2x+15x-5$
$=x^{2}\left( 3x-1 \right)-2x\left( 3x-1 \right)+5\left( 3x-1 \right)=\left( 3x-1 \right)\left( x^{2}-2x+5 \right)$
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: $2x^{3}-5x^{2}+8x-3$
HD :
Bấm máy tính cho ta có nghiệm là $x=\dfrac{1}{2}$, nên có nhân tử là : (2x - 1)
Nên ta có : $2x^{3}-5x^{2}+8x-3=2x^{3}-x^{2}-4x^{2}+2x+6x-3$
$=x^{2}\left( 2x-1 \right)-2x\left( 2x-1 \right)+3\left( 2x-1 \right)=\left( 2x-1 \right)\left( x^{2}-2x+3 \right)$
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: $3x^{3}-14x^{2}+4x+3$
HD :
Bấm máy tính cho ta nghiệm là : $x=\dfrac{-1}{3}$ nên có 1 nhân tử là : (3x + 1)
Ta có : $3x^{3}-14x^{2}+4x+3=3x^{3}+x^{2}-15x^{2}-5x+9x+3$
$x^{2}\left( 3x+1 \right)-5x\left( 3x+1 \right)+3\left( 3x+1 \right)=\left( 3x+1 \right)\left( x^{2}-5x+3 \right)$
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{3}+5x^{2}+8x+4$
HD :
bấm máy tính cho ta nghiệm là : x= -1 và x= -2
Như vậy ta có : $x^{3}+5x^{2}+8x+4=\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)^{2}$
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+1997x^{2}+1996x+1997$
HD:
Ta có:
$\left( x^{4}+x^{2}+1 \right)+\left( 1996x^{2}+1996x+1996 \right)=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}-x+1 \right)+1996\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}-x+1997 \right)$
Bài 11: Phân tích thành nhân tử: $x^{4}+2004x^{2}+2003x+2004$
HD:
$=x^{4}+2004x^{2}+2004x-x+2004$$=\left( x^{4}-x \right)+2004\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=x\left( x^{3}-1 \right)+2004\left( x^{2}+x+1 \right)=x\left( x-1 \right)\left( x^{2}+x+1 \right)+2004\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}-x+2004 \right)$
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{2}-x-2001.2002$
HD :
Ta có:$x^{2}-x-2001\left( 2001+1 \right)=x^{2}-x+2001^{2}-2001=\left( x^{2}-2001^{2} \right)-\left( x+2001 \right)$
$\left( x-2011 \right)\left( x+2011 \right)-\left( x+2011 \right)=\left( x+2011 \right)\left( x-2012 \right)$
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x\left( x+4 \right)\left( x+6 \right)\left( x+10 \right)+128$
HD :
$x\left( x+10 \right)\left( x+4 \right)\left( x+6 \right)+128=\left( x^{2}+10x \right)\left( x^{2}+10x+24 \right)+128$
Đặt : $x^{2}+10x=t$, Khi đó đa thức trở thành : $t\left( t+24 \right)+128=t^{2}+24t+128=\left( t+8 \right)\left( t+16 \right)$
Thay t trở lại đa thức ta đươc : $\left( x^{2}+10x+8 \right)\left( x^{2}+10x+16 \right)=\left( x^{2}+10x+8 \right)\left( x+2 \right)\left( x+8 \right)$
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x+1$
HD :
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính
và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:
nên ta làm như sau:
$x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x+1=x^{2}\left( x^{2}+6x+7+\dfrac{-6}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right)=x^{2}\left( x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+6\left( x-\dfrac{1}{x} \right)+7 \right)$
Đặt $x-\dfrac{1}{x}=t=>x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=t^{2}+2$Đa thức trở thành :$x^{2}\left( t^{2}+2+6t+7 \right)=x^{2}\left( t^{2}+6t+9 \right)=x^{2}\left( t+3 \right)^{2}$
Thay t trở lại ta được :
$x^{2}\left( x-\dfrac{1}{x}+3 \right)^{2}=x^{2}\left( \dfrac{x^{2}-1+3x}{x} \right)^{2}=(x^{2}+3x-1)^{2}$
Vậy $x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x+1=\left( x^{2}+3x-1 \right)^{2}$
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}+x+2 \right)-12$
HD :
Đặt $x^{2}+x=t$ khi đó đa thức trở thành : $\left( t+1 \right)\left( t+2 \right)-12=t^{2}+3t-10=\left( t-2 \right)\left( t+5 \right)$
Thay t trở lại đa thức ta được : $\left( x^{2}+x-2 \right)\left( x^{2}+x+5 \right)=\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x^{2}+x+5 \right)$
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x^{2}-4 \right)\left( x^{2}-10 \right)-72$
HD :
Đặt $x^{2}-4=t$ khi đó đa thức trở thành :
$t\left( t-6 \right)-72=t^{2}-6t-72=\left( t-12 \right)\left( t+6 \right)=\left( x^{2}-16 \right)\left( x^{2}+2 \right)=\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( x^{2}+2 \right)$
Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+6x^{3}-11x^{2}+6x+1$
HD :
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính
và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:
nên ta làm như sau:
$x^{4}+6x^{3}+7x^{2}+6x+1=x^{2}\left( x^{2}+6x+7+\dfrac{6}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right)=x^{2}\left( x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+6\left( x+\dfrac{1}{x} \right)+7 \right)$
Đặt $x+\dfrac{1}{x}=t=>x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$. Đa thức trở thành :
$x^{2}\left( t^{2}-2+6t+7 \right)=x^{2}\left( t^{2}+6t+5 \right)=x^{2}\left( t+1 \right)\left( t+5 \right)$
Thay t trở lại ta được :
$x^{2}\left( x+\dfrac{1}{x}+1 \right)\left( x+\dfrac{1}{x}+5 \right)=x^{2}\left( \dfrac{x^{2}+1+x}{x} \right)\left( \dfrac{x^{2}+1+5x}{x} \right)=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}+5x+1 \right)$
Vậy $x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x+1=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}+5x+1 \right)$
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( a+1 \right)\left( a+2 \right)\left( a+3 \right)\left( a+4 \right)+1$
HD :
Ta có : $\left( a+1 \right)\left( a+4 \right)\left( a+2 \right)\left( a+3 \right)+1=\left( a^{2}+5a+4 \right)\left( a^{2}+5a+6 \right)+1$
Đặt $a^{2}+5a+5=t$, Khi đó đa thức trở thành : $\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)+1=t^{2}=\left( a^{2}+5a+5 \right)^{2}$
Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)\left( x+5 \right)-24$
HD :
Ta có : $\left( x+2 \right)\left( x+5 \right)\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)-24=\left( x^{2}+7x+10 \right)\left( x^{2}+7x+12 \right)-24$
Đặt : $x^{2}+7x+11=t$, Khi đó đa thức trở thành
$\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)-24=t^{2}-25=\left( t-5 \right)\left( t+5 \right)=\left( x^{2}+7x+6 \right)\left( x^{2}+7x+16 \right)=\left( x+1 \right)\left( x+6 \right)\left( x^{2}+7x+16 \right)$Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( 4x+1 \right)\left( 12x-1 \right)\left( 3x+2 \right)\left( x+1 \right)-4$
HD :
$\left( 4x+1 \right)\left( 3x+2 \right)\left( 12x-1 \right)\left( x+1 \right)-4=\left( 12x^{2}+11x+2 \right)\left( 12x^{2}+11x-1 \right)-4$
Đặt $12x^{2}+11x=t$, Khi đó đa thức trở thành : $\left( t+2 \right)\left( t-1 \right)-4=t^{2}+t-6=\left( t-2 \right)\left( t+3 \right)$
$\left( 12x^{2}+11x-2 \right)\left( 12x^{2}+11x+3 \right)$
Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: $4\left( x+5 \right)\left( x+6 \right)\left( x+10 \right)\left( x+12 \right)-3x^{2}$
HD :
Ta có :$4\left( x+5 \right)\left( x+12 \right)\left( x+6 \right)\left( x+10 \right)-3x^{2}=4\left( x^{2}+17x+60 \right)\left( x^{2}+16x+60 \right)-3x^{2}$
$x^{2}\left[ 4\left( x+17+\dfrac{60}{x} \right)\left( x+16+\dfrac{60}{x} \right)-3 \right]$, Đặt : $x+\dfrac{60}{x}=t$, Khi đó đa thức trở thành :
$x^{2}\left[ 4\left( t+17 \right)\left( t+16 \right)-3 \right]=x^{2}\left( 4t^{2}+132t+1085 \right)=x^{2}\left( 2t+31 \right)\left( 2t+35 \right)$
$=x^{2}\left( 2x+\dfrac{120}{x}+31 \right)\left( 2x+\dfrac{120}{x}+35 \right)=\left( 2x^{2}+31x+120 \right)\left( 2x^{2}+35x+120 \right)$
Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x^{2}+3x+1 \right)\left( x^{2}+3x-3 \right)-5$
HD :
Đặt : $x^{2}+3x=t$ , Khi đó đa thức trở thành :
$\left( t+1 \right)\left( t-3 \right)-5=t^{2}-2t-8=\left( t+2 \right)\left( t-4 \right)=\left( x^{2}+3x+2 \right)\left( x^{2}+3x-4 \right)$
$\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)$
Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+x^{3}+2x^{2}+x+1$
HD :
$(x^{4}+x^{3}+x^{2})+(x^{2}+x+1)=x^{2}(x^{2}+x+1)+(x^{2}+x+1)=(x^{2}+x+1)(x^{2}+1)$
Bài 24: Phân tích đa thức thành nhân tử: $6a^{4}+7a^{3}-37a^{2}-8a+12$
HD :
Nhẩm thấy đa thức có nghiệm là x=2, hay có 1 nhân tuer là x - 2
Ta có :
$6a^{4}+7a^{3}-37a^{2}-8a+12=(6a^{4}-12a^{3})+(19a^{3}-38a^{2})+\left( a^{2}-2a \right)-\left( 6a-12 \right)$
$6a^{3}\left( a-2 \right)+19a^{2}\left( a-2 \right)+a\left( a-2 \right)-6\left( a-2 \right)=\left( a-2 \right)\left( 6a^{3}+19a^{2}+a-6 \right)$
= $\left( a-2 \right)\left( a+3 \right)\left( 2a-1 \right)\left( 3a+2 \right)$
Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4$
HD :
Thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có 1 nghiệm bằng -1
Ta có : $x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4=\left( x^{4}+x^{3} \right)+\left( 5x^{3}+5x^{2} \right)+\left( 8x^{2}+8x \right)+\left( 4x+4 \right)$
= $x^{3}\left( x+1 \right)+5x^{2}\left( x+1 \right)+8x\left( x+1 \right)+4\left( x+1 \right)=\left( x+1 \right)\left( x^{3}+5x^{2}+8x+4 \right)$
= $\left( x+1 \right)^{2}\left( x+2 \right)^{2}$
Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x^{2}+4x+8 \right)^{2}+3x^{3}+14x^{2}+24x$
HD :
$\left( x^{2}+4x+8 \right)^{2}+3x\left( x^{2}+4x+8 \right)+2x^{2}$,
Đặt: $\left( x^{2}+x-2 \right)^{100}+\left( x^{2}+1-x \right)^{2017}$=>$\left( y+x \right)\left( y+2x \right)$
Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử:$x^{4}+2010x^{2}+2009x+2010$
HD :
$x^{4}+x^{2}+1+2009x^{2}+2009x+2009=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}-x+1 \right)+2009\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}-x+2010 \right)$
Bài 28: Phân tích đa thức thành nhân tử:$\left( x^{2}+3x-4 \right)\left( x^{2}+x-6 \right)-24$
HD :
Ta có : $\left( x^{2}+3x-4 \right)\left( x^{2}+x-6 \right)-24=\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)-24$
$\left( x-2 \right)\left( x+4 \right)\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)-24=\left( x^{2}+2x-8 \right)\left( x^{2}+2x-3 \right)-24$
Đặt : $x^{2}+2x=t$, khi đó đa thức trở thành : $\left( t-8 \right)\left( t-3 \right)-24=t^{2}-11t=t\left( t-11 \right)$
Thay t trở lại ta được : $\left( x^{2}+2x \right)\left( x^{2}+2x-11 \right)=x\left( x+2 \right)\left( x^{2}+2x-11 \right)$
Bài 29: Phân tích đa thức thành nhân tử:$\left( x^{2}+2x+7 \right)-\left( x^{2}+2x+4 \right)\left( x^{2}+2x+3 \right)$
HD :
Đặt : $x^{2}+2x=t$, khi đó đa thức trở thành :
$\left( t+7 \right)-\left( t+4 \right)\left( t+3 \right)=t+7-t^{2}-7t-12=-t^{2}-6t-5=-\left( t+1 \right)\left( t+5 \right)$, Thay t trở lại ta được :
$-\left( x^{2}+2x+1 \right)\left( x^{2}+2x+5 \right)=-\left( x+1 \right)^{2}\left( x^{2}+2x+5 \right)$
Bài 30: Phân tích đa thức thành nhân tử:$x^{4}+10x^{3}+26x^{2}+10x+1$
HD :
$x^{4}+10x^{3}+26x^{2}+10x+1=x^{2}\left( x^{2}+10x+26+\dfrac{10}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right)=x^{2}\left( x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+10\left( x-\dfrac{1}{x} \right)+26 \right)$
Đặt $x+\dfrac{1}{x}=t=>x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$Đa thức trở thành :
$x^{2}\left( t^{2}-2+10t+26 \right)=x^{2}\left( t^{2}+10t+24 \right)=x^{2}\left( t+4 \right)\left( t+6 \right)$
Thay t trở lại ta được :
$x^{2}\left( x+\dfrac{1}{x}+4 \right)\left( x+\dfrac{1}{x}+6 \right)=x^{2}\left( \dfrac{x^{2}+4x+1}{x} \right)\left( \dfrac{x^{2}+6x+1}{x} \right)=\left( x^{2}+4x+1 \right)\left( x^{2}+6x+1 \right)$
Vậy $x^{4}+10x^{3}+26x^{2}+10x+1=\left( x^{2}+4x+1 \right)\left( x^{2}+6x+1 \right)$
Bài 31: Phân tích đa thức thành nhân tử:$\left( x-4 \right)\left( x-5 \right)\left( x-6 \right)\left( x-7 \right)-1680$
HD :
$\left( x-4 \right)\left( x-7 \right)\left( x-5 \right)\left( x-6 \right)-1689=\left( x^{2}-11x+28 \right)\left( x^{2}-11x+30 \right)-1680$
Đặt $x^{2}-11x+29=t$, Khi đó đa thức trở thành : $\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)-1680=t^{2}-1681=\left( t-41 \right)\left( t+41 \right)$
Thay t trở lại đa thức ta được : $\left( x^{2}-11x-12 \right)\left( x^{2}-11x+70 \right)=\left( x-12 \right)\left( x+1 \right)\left( x^{2}-11x+70 \right)$
Bài 32: Phân tích đa thức thành nhân tử:$x^{4}+x^{3}-4x^{2}+x+1$
HD :
$x^{4}+x^{3}-4x^{2}+x+1=x^{2}\left( x^{2}+x-4+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right)=x^{2}\left( x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+\left( x+\dfrac{1}{x} \right)-4 \right)$
Đặt $x+\dfrac{1}{x}=t=>x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$Đa thức trở thành :
$x^{2}\left( t^{2}-2+t-4 \right)=x^{2}\left( t^{2}+t-6 \right)=x^{2}\left( t-2 \right)\left( t+3 \right)$
Thay t trở lại ta được :
$x^{2}\left( x+\dfrac{1}{x}-2 \right)\left( x+\dfrac{1}{x}+3 \right)=x^{2}\left( \dfrac{x^{2}-2x+1}{x} \right)\left( \dfrac{x^{2}+3x+1}{x} \right)=\left( x-1 \right)^{2}.\left( x^{2}+3x+1 \right)$
Vậy $x^{4}+x^{3}-4x^{2}+x+1=\left( x-1 \right)^{2}\left( x^{2}+3x+1 \right)$
Bài 33: Phân tích đa thức thành nhân tử:$x^{4}-7x^{3}+14x^{2}-7x+1$
HD :
$x^{4}-7x^{3}+14x^{2}-7x+1=x^{2}\left( x^{2}-7x+14+\dfrac{-7}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right)=x^{2}\left( x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-7\left( x+\dfrac{1}{x} \right)+14 \right)$
Đặt $x+\dfrac{1}{x}=t=>x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$Đa thức trở thành :
$x^{2}\left( t^{2}-2-7t+14 \right)=x^{2}\left( t^{2}-7t+12 \right)=x^{2}\left( t-3 \right)\left( t-4 \right)$
Thay t trở lại ta được :
$x^{2}\left( x+\dfrac{1}{x}-3 \right)\left( x+\dfrac{1}{x}-4 \right)=x^{2}\left( \dfrac{x^{2}-3x+1}{x} \right)\left( \dfrac{x^{2}-4x+1}{x} \right)=\left( x^{2}-3x+1 \right).\left( x^{2}-4x+1 \right)$
Vậy $x^{4}-7x^{3}+14x^{2}-7x+1=\left( x^{2}-3x+1 \right)\left( x^{2}-4x+1 \right)$
Bài 34: Cho biểu thức: $A=\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right)^{2}-4b^{2}c^{2}$
a, Phân tích A thành nhân tử
b, Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì A< 0
HD:
a) Ta có: $A=\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right)^{2}-4b^{2}c^{2}=\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right)^{2}-\left( 2bc \right)^{2}$
$=\left( b^{2}+c^{2}-a^{2}-2bc \right)\left( b^{2}+c^{2}-a^{2}+2bc \right)=\left( b+c-a \right)\left( b+c+a \right)\left( b-c-a \right)\left( b-c+a \right)$
b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên:
$b+c-a>0,b+c+a>0,b-c-a<0,b-c+a>0=>A<0$
Đang được quan tâm nhất Khối 8
Tài liệu mới cập nhật
Bài 17. Hằng đẳng thức đáng nhớ
22/09/2026
4
Bài 16. Tìm x
17/09/2026
9
Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức
08/09/2026
41