Chuyên đề Tứ giác
Bài 1. TỨ GIÁC
Bài 1: Tính số đo $x$ trong các hình sau
Lời giải:
Hình $1.$ Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A\,}+\widehat{B\,}+\widehat{C\,}+\widehat{D\,}=360^{0}$
$\Rightarrow 100^{0}+x+120^{0}+50^{0}=360^{0}\Rightarrow x=90^{0}.$ Vậy $x=90^{0}.$
Hình $2\,.$ Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A\,}+\widehat{B\,}+\widehat{C\,}+\widehat{D\,}=360^{0}$
$\Rightarrow x+90^{0}+110^{0}+90^{0}=360^{0}\Rightarrow x=70^{0}.$ Vậy $x=70^{0}.$
Hình $3\,.$ Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A\,}+\widehat{B\,}+\widehat{C\,}+\widehat{D\,}=360^{0}$
$\Rightarrow 2x+2x+x+x=360^{0}\Rightarrow 6x=360^{0}\Rightarrow x=60^{0}.$ Vậy $x=60^{0},\,\,2x=120^{0}.$
Bài 2: Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A\,}=\widehat{C\,}=90^{0}.$ $BE$ là tia đối của tia
$BA\,.$ ( Hình $4)$
Lời giải:
Bài 3: Tứ giác $ABCD$ có $AC$ là tia phân giác $\widehat{BAD}$ và $\widehat{DAC}=40^{0}\,,\,\,\widehat{B\,}=\widehat{D\,}=90^{0}$ ( Hình $5)$
Tính $\widehat{BCD}\,.$
Lời giải:
Vì $AC$ là tia phân giác $\widehat{BAD}$ nên $\widehat{BAD}=2.\widehat{DAC}=2.40^{0}=80^{0}.$
Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{BAD}+\widehat{B\,}+\widehat{BCD}+\widehat{D\,}=360^{0}$
$\Rightarrow 80^{0}+90^{0}+\widehat{BCD}+90^{0}=360^{0}\Rightarrow \widehat{BCD}=100^{0}.$
Bài 4: Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A\,}=72^{0},\,\,\widehat{D\,}=68^{0}.$ Hai tia phân giác $\widehat{B\,},\,\,\widehat{C\,}$ cắt nhau tại $M\,.$
Tính $\widehat{BMC}\,.$ ( Hình $6)$
Lời giải:
Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A\,}+\widehat{B\,}+\widehat{C\,}+\widehat{D\,}=360^{0}$
$\Rightarrow 72^{0}+\widehat{B\,}+\widehat{C\,}+68^{0}=360^{0}\Rightarrow \widehat{B\,}+\widehat{C\,}=220^{0}\,.$
Lại có $BM,\,\,CM$ lần lượt là các tia phân giác $\widehat{B\,},\,\,\widehat{C\,}$
Nên $\widehat{MBC}=\dfrac{\widehat{B\,}}{2};\,\,\widehat{MCB}=\dfrac{\widehat{C\,}}{2}$
$\Rightarrow \widehat{MBC}+\widehat{MCB}=\dfrac{\widehat{B\,}+\widehat{C\,}}{2}=\dfrac{220^{0}}{2}=110^{0}.$
$\Delta MBC$ có $\widehat{M\,}+\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=180^{0}\Rightarrow \widehat{M\,}+110^{0}=180^{0}\Rightarrow \widehat{M\,}=70^{0}.$
Bài 5: Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{B\,}+\widehat{D\,}=180^{0}$ và $CB=CD.$ Trên tia đối của tia $DA$ lấy điểm $E$ sao cho $DE=AB\,.$
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta EDC$ có:
$BC=DC$ ( giả thiết)
$DE=AB$ ( giả thiết)
$\widehat{B\,}=\widehat{EDC}$ ( Chứng minh trên)
$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta EDC\,\left( c.\,g.\,c \right)$
Mà $\Delta ABC=\Delta EDC\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{E\,}$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\Rightarrow \widehat{CAB}=\widehat{CAE}$. Hay $AC$ là tia phân giác $\widehat{BAD}\,.$
Bài 6: Cho Hình $8\,.$ Biết $\widehat{B\,}=80^{0}$
$AC$ là cạnh chung
$\widehat{DCA}=\widehat{ECA}$ ( giả thiết)
$\Rightarrow \Delta ADC=\Delta AEC\,\,\left( g-c-g \right)$
$\Rightarrow \widehat{D\,}=\widehat{E\,}$ ( Hai góc tương ứng)
$\Rightarrow \widehat{DAC}+\widehat{DCA}=\dfrac{\widehat{BAC}+\widehat{BCA}}{2}=\dfrac{100^{0}}{2}=50^{0}.$
$\Delta ACD$ có $\widehat{D\,}+\widehat{DAC}+\widehat{DCA}=180^{0}\Rightarrow \widehat{D\,}+50^{0}=180^{0}\Rightarrow \widehat{D\,}=130^{0}=\widehat{E\,}.$
Khi đó tứ giác $ABCD$ có $\widehat{B\,}+\widehat{E\,}=80^{0}+130^{0}=210^{0}$
$\Rightarrow \widehat{BAE}+\widehat{BCE}=360^{0}-210^{0}=150^{0}$
Bài 7. Cho tứ giác lồi ABCD có
+ 
= 1800, CB = CD. Chứng minh AC là tia phân giác của 
.
Bài giải:
Trên tia đối tia BA lấy điểm I sao cho BI = AD.
Ta có
(cùng bù với góc
).
AD = IB, DC = BC. Từ đó ta có
.
Suy ra: và AC = IC.
Tam giác ACI cân tại C nên .
Vậy AC là phân giác trong góc
.
Trường 218 – Sách Toán 8 tâp 1
Bài 6/33. Cho tứ giác ABCD có $AB=AD;\widehat{B}=90{}^\circ ;\widehat{D}=135{}^\circ ;\widehat{A}=60{}^\circ$
a) Chứng minh BD = BC
b) Kè AE ⊥ CD tại E. Tính $\widehat{DAE}$.
Lời giải:
a) Chứng minh $BD=BC$
Tính góc trong $\widehat{A}$ và phát hiện tam giác đều
Xét △ABD có: $AB=AD$ (gt) và $\widehat{A}=60^{{}^\circ }$ ⇒ △ABD là tam giác đều.
Nên ba cạnh bằng nhau: $BD=AB=AD$và các góc bằng $60^{{}^\circ }$: $\widehat{ABD}=\widehat{ADB}=60^{{}^\circ }$
Tính góc $\widehat{DBC}$: $\widehat{DBC}=\widehat{ABC}-\widehat{ABD}=90^{{}^\circ }-60^{{}^\circ }=30^{{}^\circ }$( Vì $\widehat{B}=90{}^\circ$)
Tính góc $\widehat{BDC}$: $\widehat{BDC}=\widehat{ADC}-\widehat{ADB}=135^{{}^\circ }-60^{{}^\circ }=75^{{}^\circ }$(Vì $\widehat{D}=135{}^\circ$)
Xét △BCD ta có: $\widehat{BCD}+\widehat{DBC}+\widehat{BDC}=180^{{}^\circ }$(tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra $\widehat{BCD}=180^{{}^\circ }-(\widehat{DBC}+\widehat{BDC})=180^{{}^\circ }-(30^{{}^\circ }+75^{{}^\circ })=75^{{}^\circ }$
Suy ra $\widehat{BDC}=\widehat{BCD}=75^{{}^\circ }$.
Do đó △BCD là tam giác cân tại B ⇒ $BD=BC$
b) Kẻ $AE\bot CD$ tại $E$. Tính $\widehat{DAE}$
Ta có: $\widehat{ADC}+\widehat{ADE}=180^{{}^\circ }$(2 góc kề bù)
Nên $\widehat{ADE}=180^{{}^\circ }-\widehat{ADC}=180^{{}^\circ }-135^{{}^\circ }=45^{{}^\circ }$(Vì $\widehat{ADC}=135^{{}^\circ }$)
Xét △AED vuông tại E nên $\widehat{ADE}+\widehat{DAE}=90^{{}^\circ }$ ⇒ $\widehat{DAE}=90^{{}^\circ }-\widehat{ADE}=90^{{}^\circ }-45^{{}^\circ }=45^{{}^\circ }$
📌 Các em chú ý:
Đề bài cho △ABD có AB = AD, $\widehat{A}=60^{{}^\circ }$. Các em cần nhớ ngay: Tam giác cân có một góc $60^{{}^\circ }$ là tam giác đều.
Khi thấy một tam giác vuông có một góc nhọn bằng $45^{{}^\circ }$, đó là tam giác vuông cân. Các em có thể chứng minh được EA = ED!
Bài 7. Cho tứ giác ABCD có góc $\widehat{A}=\widehat{C}=90^{{}^\circ }$, tia phân giác của góc B cắt đường thẳng AD ở E; tia phân giác của góc D cắt đường thẳng BC ở F. Chứng minh BE // DF.
Lời giải:
Xét tứ giác ABCD ta có:
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{{}^\circ }$ ( tổng 4 góc trong một tứ giác)
Nên $90^{{}^\circ }+\widehat{B}+90^{{}^\circ }+\widehat{D}=360^{{}^\circ }$ (vì $\widehat{A}=\widehat{C}=90^{{}^\circ }$)
$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{D}=360^{{}^\circ }-180^{{}^\circ }=180^{{}^\circ }$
Vì BE là tia phân giác của góc $B$ nên: $\widehat{ABE}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}$
Vì DF là tia phân giác của góc $D$ nên: $\widehat{ADF}=\dfrac{1}{2}\widehat{D}$
Cộng hai góc nhỏ này lại với nhau:
$\widehat{ABE}+\widehat{ADF}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}+\dfrac{1}{2}\widehat{D}=\dfrac{1}{2}(\widehat{B}+\widehat{D})$
Mà $\widehat{B}+\widehat{D}=180^{{}^\circ }$(cmt) nên:
$\widehat{ABE}+\widehat{ADF}=\dfrac{1}{2}\cdot 180^{{}^\circ }=90^{{}^\circ }\quad (1)$
Xét △ABE vuông tại $A$ (vì $\widehat{A}=90^{{}^\circ }$) ta có: $\widehat{ABE}+\widehat{AEB}=90^{{}^\circ }\quad (2)$
Từ (1) và $(2)$$\Rightarrow \widehat{ADF}=\widehat{AEB}$
Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị nên BE // DF
Bài 8. Cho tứ giác ABCD có tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại K.
a) Chứng minh rằng $\widehat{AKB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{C}+\widehat{D})$.
b) Biết $\widehat{C}=110{}^\circ$và $\widehat{D}=70{}^\circ$. Chứng minh △AKB vuông.
Lời giải:
a) Chứng minh $\widehat{AKB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{C}+\widehat{D})$
Xét △KAB, ta có: $\widehat{AKB}+\widehat{KAB}+\widehat{KBA}=180^{{}^\circ }$(Tổng 3 góc trong tam giác)
$\widehat{AKB}=180^{{}^\circ }-(\widehat{KAB}+\widehat{KBA})$
Vì AK và BK lần lượt là tia phân giác của góc $A$ và góc $B$, nên:
$\widehat{KAB}=\dfrac{1}{2}\widehat{A}\quad \text{v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\quad \widehat{KBA}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}$
$\Rightarrow \widehat{AKB}=180^{{}^\circ }-\left( \dfrac{1}{2}\widehat{A}+\dfrac{1}{2}\widehat{B} \right)=180^{{}^\circ }-\dfrac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})\quad (1)$
Xét tứ giác ABCD ta có:
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{{}^\circ }$ ( tổng 4 góc trong một tứ giác)
Nên $\widehat{A}+\widehat{B}=360^{{}^\circ }-(\widehat{C}+\widehat{D})$
Thế vào $(1)$, ta được:
$\widehat{AKB}=180^{{}^\circ }-\dfrac{1}{2}\left[ 360^{{}^\circ }-(\widehat{C}+\widehat{D}) \right]$
$\widehat{AKB}=180^{{}^\circ }-180^{{}^\circ }+\dfrac{1}{2}(\widehat{C}+\widehat{D})$
Suy ra $\widehat{AKB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{C}+\widehat{D})$
b) Chứng minh △AKB vuông.
Áp dụng công thức vừa chứng minh ở câu a:
$\widehat{AKB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{C}+\widehat{D})=\dfrac{1}{2}(110^{{}^\circ }+70^{{}^\circ })=\dfrac{1}{2}\cdot 180^{{}^\circ }=90^{{}^\circ }$
Vì $\widehat{AKB}=90^{{}^\circ }$ nên △AKB vuông tại $K$.
Bài 9. Cho tứ giác ABCD có tia phân giác của góc ngoài tại A và tia phân giác của góc ngoài tại B cắt nhau tại I.
a) Chứng minh rằng $\widehat{AIB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})$
b) Biết $\widehat{C}=110{}^\circ$và $\widehat{D}=70{}^\circ$. Chứng minh △AIB vuông.
Lời giải:
Bài này tương tự bài 8, nhưng thay vì góc trong, đề bài dùng góc ngoài.
Khi thấy "góc ngoài" thì các em nhớ công thức "góc ngoài" = $180^{{}^\circ }-$"góc trong"
a) Chứng minh $\widehat{AIB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})$
Gọi $\widehat{A}_{1}$ và $\widehat{B}_{1}$ lần lượt là các góc ngoài tại đỉnh $A$ và $B$.
Xét △IAB, ta có: $\widehat{AIB}+\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=180^{{}^\circ }$ (Tổng 3 góc trong tam giác)
Nên $\widehat{AIB}=180^{{}^\circ }-(\widehat{IAB}+\widehat{IBA})$
Vì AI và BI là các tia phân giác của góc ngoài, nên: $\widehat{IAB}=\dfrac{1}{2}\widehat{A}_{1}$ và $\widehat{IBA}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}_{1}$
$\Rightarrow \widehat{AIB}=180^{{}^\circ }-\left( \dfrac{1}{2}\widehat{A}_{1}+\dfrac{1}{2}\widehat{B}_{1} \right)=180^{{}^\circ }-\dfrac{1}{2}(\widehat{A}_{1}+\widehat{B}_{1})\quad (1)$
Ta biết góc ngoài và góc trong kề bù nhau nên:
$\widehat{A}_{1}=180^{{}^\circ }-\widehat{A}\quad \text{v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\quad \widehat{B}_{1}=180^{{}^\circ }-\widehat{B}$
$\Rightarrow \widehat{A}_{1}+\widehat{B}_{1}=(180^{{}^\circ }-\widehat{A})+(180^{{}^\circ }-\widehat{B})=360^{{}^\circ }-(\widehat{A}+\widehat{B})$
Thế vào (1), ta được:
$\widehat{AIB}=180^{{}^\circ }-\dfrac{1}{2}\left[ 360^{{}^\circ }-(\widehat{A}+\widehat{B}) \right]$
$\widehat{AIB}=180^{{}^\circ }-\left[ 180^{{}^\circ }-\dfrac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B}) \right]$
Do đó$\widehat{AIB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})$
b) Chứng minh △AIB vuông
Xét tứ giác ABCD ta có:
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{{}^\circ }$ ( tổng 4 góc trong một tứ giác)
Nên $\widehat{A}+\widehat{B}=360^{{}^\circ }-(\widehat{C}+\widehat{D})=360^{{}^\circ }-(110^{{}^\circ }+70^{{}^\circ })=180^{{}^\circ }$
Áp dụng công thức vừa chứng minh ở câu a:
$\widehat{AIB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})=\dfrac{1}{2}\cdot 180^{{}^\circ }=90^{{}^\circ }$
Vì $\widehat{AIB}=90^{{}^\circ }$ nên △AIB vuông tại I.
Bài 10: Cho tứ giác $ABCD$ có AB = BC (Hình A) và $\widehat{A}+\widehat{C}=180^{{}^\circ }$. Chứng minh DB là tia phân giác của $\widehat{ADC}$
Lời giải:
Kẻ BF ⊥ AD tại F, BE ⊥ DC tại E
Ta có $\widehat{A}+\widehat{C}=180^{{}^\circ }$ mà $\widehat{FAB}+\widehat{BAD}=180^{{}^\circ }$ (2 góc kề bù)
Suy ra $\widehat{FAB}=\widehat{C}$(Vì $\widehat{BAD}=\widehat{A}$)
Xét △BFA vuông tại F và △BEC vuông tại E ta có:
AB = BC ( gt)
$\widehat{FAB}=\widehat{C}$ (cmt)( Chứng minh trên)
⇒ △BFA = △BEC (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra BF = BE (2 cạnh tương ứng)
Mà BE và BF là 2 đường cao hạ từ B xuống 2 cạnh của góc ADC nên B nằm trên tia phân giác của góc ADC nên DB là tia phân giác của $\widehat{ADC}$
Cách khác:
Trên tia đối của tia $CD$ lấy điểm $E$ sao cho $CE=AD$
Ta có $\widehat{A\,}+\widehat{C\,}=180^0$ (gt)
mà $\widehat{C}+\widehat{C}_{1}=180^{0}$ (2 góc kề bù)
$\Rightarrow \widehat{A\,}=\widehat{C}_{1}$
Xét $\Delta ABD$ và $\Delta CBE$ ta có:
$AB=BC$ (gt)
$\widehat{A\,}=\widehat{C}_{1}$ (cmt)
$AD=CE$ (cách vẽ)
Suy ra $\Delta ABD=\Delta CBE\,\left( c.\,g.\,c \right)$
$\Rightarrow$ $\widehat{D}_{1}=\widehat{E}$ (2 góc tương ứng) và $BD=BE$ (2 cạnh tương ứng)
$\triangle BDE$ có $BD=BE$(cmt) $\Rightarrow \Delta BDE$ cân tại $B\,.$
$\Rightarrow \widehat{D}_{2}=\widehat{E}$ ( tính chất tam giác cân)
Mà $\widehat{D}_{1}=\widehat{E}$ (cmt) $\Rightarrow \widehat{D}_{2}=\widehat{D}_{1}$ mà tia DB nằm trong góc ADC nên DB là tia phân giác của $\widehat{ADC}$
Bài 11. Tứ giác ABCD có đường chéo AC và cạnh AD có độ dài bằng nhau (hình B). Chứng minh rằng BC < BD
Lời giải:
Xét △ACD có AC = AD (gt) nên △ACD cân tại A
$\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{ADC}$ (Hai góc ở đáy)
Nhìn vào hình vẽ B, ta thấy:
Góc $\widehat{BDC}$ là một phần nằm bên trong góc $\widehat{ADC}$ lớn: $\Rightarrow \widehat{BDC}<\widehat{ADC}$
Mà $\widehat{ADC}=\widehat{ACD}$(cmt), nên suy ra: $\widehat{BDC}<\widehat{ACD}\quad (1)$
Mặt khác, góc $\widehat{ACD}$ lại là một phần nằm bên trong góc $\widehat{BCD}$ lớn:$\Rightarrow \widehat{ACD}<\widehat{BCD}\quad (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$, bắc cầu suy ra $\widehat{BDC}<\widehat{BCD}$
Xét △BCD có:
Đối diện với góc nhỏ $\widehat{BDC}$ là cạnh BC.
Đối diện với góc lớn $\widehat{BCD}$ là cạnh BD.
Theo định lý góc và cạnh đối diện trong tam giác: Góc nhỏ hơn thì đối diện với cạnh ngắn hơn.
$\Rightarrow $ $BC<BD$
Bài 12.
a) Chứng minh rằng độ dài một cạnh của tứ giác nhỏ hơn tổng độ dài 3
cạnh còn lại của tứ giác.
b) Chứng minh rằng tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác:
a) Lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đổi.
β) Lớn hơn nữa chu vi tứ giác.
γ) Nhỏ hơn chu vi tứ giác.
Lời giải:
Tất cả các câu trong bài 12 đều dùng chung một mẹo: "Muốn xuất hiện tổng các cạnh, hãy vẽ đường chéo để chia tứ giác thành các tam giác, rồi áp dụng bất đẳng thức tam giác".
a) Chứng minh độ dài một cạnh nhỏ hơn tổng độ dài 3 cạnh còn lại
(Giả sử: Ta cần chứng minh cạnh AD < AB + BC + CD)
Kẻ đường chéo AC. Tứ giác ABCD được chia làm 2 tam giác: △ ABC và △ ADC.
Xét △ADC, ta có AD < AC + CD (1) (bất đẳng thức tam giác)
Xét △ABC, ta có AC < AB + BC (2) (bất đẳng thức tam giác)
Thế (2) vào (1), ta được: AD < (AB + BC) + CD
Suy ra AD < AB + BC + CD
b) Chứng minh về tổng độ dài hai đường chéo (AC + BD) của tứ giác
1. Lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối: (Chứng minh AC + BD > AB + CD)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Xét △OAB, ta có OA + OB > AB (bất đẳng thức tam giác)
Xét △OCD, ta có OC + OD > CD (bất đẳng thức tam giác)
Cộng vế theo vế: (OA + OC) + (OB + OD) > AB + CD
Mà OA + OC = AC và OB + OD = BD, nên ta có: AC + BD > AB + CD
Vậy tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác Lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối
2. Lớn hơn nửa chu vi tứ giác: (Chứng minh $AC\text{ }+\text{ }BD\text{ }>\dfrac{1}{2}\left( AB\text{ }+\text{ }BC\text{ }+\text{ }CD\text{ }+\text{ }DA \right)$)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho cả 4 tam giác nhỏ tại giao điểm O:
Xét △OAB, ta có OA + OB > AB
Xét △OCD, ta có OC + OD > CD
Xét △OBC, ta có OB + OC > BC
Xét △ODA, ta có OD + OA > DA
Cộng vế với vế của 4 bất đẳng thức ta được:
2 OA + 2 OB + 2 OC + 2 OD > AB + BC + CD + DA
2 (OA + OC) + 2 (OB + OD) > AB + BC + CD + DA
2 AC + 2 BD > AB + BC + CD + DA
Suy ra $AC\text{ }+\text{ }BD\text{ }>\dfrac{1}{2}\left( AB\text{ }+\text{ }BC\text{ }+\text{ }CD\text{ }+\text{ }DA \right)$
Vậy tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác Lớn hơn nửa chu vi tứ giác
3. Nhỏ hơn chu vi tứ giác: (Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho △ABC và △ADC
Xét △ABC, ta có AC < AB + BC
Xét △ADC, ta có AC < AD + CD
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho △ABD và △ BCD
Xét △ABD, ta có BD < AB + AD
Xét △ BCD, ta có BD < BC + CD
Cộng vế với vế của 4 bất đẳng thức trên, ta được:
2 AC + 2 BD < 2 AB + 2 BC + 2 CD + 2 AD
Suy ra AC + BD < AB + BC + CD + DA
Vậy tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác Nhỏ hơn chu vi tứ giác
Bài 1: Tính số đo $x$ trong các hình sau
Lời giải:
Hình $1.$ Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A\,}+\widehat{B\,}+\widehat{C\,}+\widehat{D\,}=360^{0}$
$\Rightarrow 100^{0}+x+120^{0}+50^{0}=360^{0}\Rightarrow x=90^{0}.$ Vậy $x=90^{0}.$
Hình $2\,.$ Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A\,}+\widehat{B\,}+\widehat{C\,}+\widehat{D\,}=360^{0}$
$\Rightarrow x+90^{0}+110^{0}+90^{0}=360^{0}\Rightarrow x=70^{0}.$ Vậy $x=70^{0}.$
Hình $3\,.$ Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A\,}+\widehat{B\,}+\widehat{C\,}+\widehat{D\,}=360^{0}$
$\Rightarrow 2x+2x+x+x=360^{0}\Rightarrow 6x=360^{0}\Rightarrow x=60^{0}.$ Vậy $x=60^{0},\,\,2x=120^{0}.$
Bài 2: Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A\,}=\widehat{C\,}=90^{0}.$ $BE$ là tia đối của tia
$BA\,.$ ( Hình $4)$
- Tính $\widehat{D\,}+\widehat{ABC}\,.$
- So sánh $\widehat{D\,}$ và $\widehat{B_{1}}\,.$
Lời giải:
- Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A\,}+\widehat{ABC}+\widehat{C\,}+\widehat{D\,}=360^{0}$
- Ta có $\widehat{ABC}+\widehat{B_{1}}=180^{0}$ ( Kề bù)
Bài 3: Tứ giác $ABCD$ có $AC$ là tia phân giác $\widehat{BAD}$ và $\widehat{DAC}=40^{0}\,,\,\,\widehat{B\,}=\widehat{D\,}=90^{0}$ ( Hình $5)$
Tính $\widehat{BCD}\,.$
Lời giải:
Vì $AC$ là tia phân giác $\widehat{BAD}$ nên $\widehat{BAD}=2.\widehat{DAC}=2.40^{0}=80^{0}.$
Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{BAD}+\widehat{B\,}+\widehat{BCD}+\widehat{D\,}=360^{0}$
$\Rightarrow 80^{0}+90^{0}+\widehat{BCD}+90^{0}=360^{0}\Rightarrow \widehat{BCD}=100^{0}.$
Bài 4: Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A\,}=72^{0},\,\,\widehat{D\,}=68^{0}.$ Hai tia phân giác $\widehat{B\,},\,\,\widehat{C\,}$ cắt nhau tại $M\,.$
Tính $\widehat{BMC}\,.$ ( Hình $6)$
Lời giải:
Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A\,}+\widehat{B\,}+\widehat{C\,}+\widehat{D\,}=360^{0}$
$\Rightarrow 72^{0}+\widehat{B\,}+\widehat{C\,}+68^{0}=360^{0}\Rightarrow \widehat{B\,}+\widehat{C\,}=220^{0}\,.$
Lại có $BM,\,\,CM$ lần lượt là các tia phân giác $\widehat{B\,},\,\,\widehat{C\,}$
Nên $\widehat{MBC}=\dfrac{\widehat{B\,}}{2};\,\,\widehat{MCB}=\dfrac{\widehat{C\,}}{2}$
$\Rightarrow \widehat{MBC}+\widehat{MCB}=\dfrac{\widehat{B\,}+\widehat{C\,}}{2}=\dfrac{220^{0}}{2}=110^{0}.$
$\Delta MBC$ có $\widehat{M\,}+\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=180^{0}\Rightarrow \widehat{M\,}+110^{0}=180^{0}\Rightarrow \widehat{M\,}=70^{0}.$
Bài 5: Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{B\,}+\widehat{D\,}=180^{0}$ và $CB=CD.$ Trên tia đối của tia $DA$ lấy điểm $E$ sao cho $DE=AB\,.$
- Chứng minh$\Delta ABC=\Delta EDC$ ( Hình $7)$
- Chứng minh $AC$ là tia phân giác $\widehat{BAD}\,.$
- Ta có $\widehat{B\,}+\widehat{D\,}=180^{0}$ mà $\widehat{ADC}+\widehat{EDC}=180^{0}$ ( kề bù)
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta EDC$ có:
$BC=DC$ ( giả thiết)
$DE=AB$ ( giả thiết)
$\widehat{B\,}=\widehat{EDC}$ ( Chứng minh trên)
$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta EDC\,\left( c.\,g.\,c \right)$
- Vì $\Delta ABC=\Delta EDC\Rightarrow CA=CE$ ( hai cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta CAE$ cân tại $C\,.$
Mà $\Delta ABC=\Delta EDC\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{E\,}$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\Rightarrow \widehat{CAB}=\widehat{CAE}$. Hay $AC$ là tia phân giác $\widehat{BAD}\,.$
Bài 6: Cho Hình $8\,.$ Biết $\widehat{B\,}=80^{0}$
- Chứng minh $\widehat{D\,}=\widehat{E\,}.$
- Tính tổng số đo hai góc đối nhau của tứ giác $ABCE\,.$
- Xét $\Delta ADC$ và $\Delta AEC$ có:
$AC$ là cạnh chung
$\widehat{DCA}=\widehat{ECA}$ ( giả thiết)
$\Rightarrow \Delta ADC=\Delta AEC\,\,\left( g-c-g \right)$
$\Rightarrow \widehat{D\,}=\widehat{E\,}$ ( Hai góc tương ứng)
- $\Delta ABC$ có $\widehat{B\,}+\widehat{BAC}+\widehat{BCA}=180^{0}\Rightarrow \widehat{BAC}+\widehat{BCA}=100^{0}.$
$\Rightarrow \widehat{DAC}+\widehat{DCA}=\dfrac{\widehat{BAC}+\widehat{BCA}}{2}=\dfrac{100^{0}}{2}=50^{0}.$
$\Delta ACD$ có $\widehat{D\,}+\widehat{DAC}+\widehat{DCA}=180^{0}\Rightarrow \widehat{D\,}+50^{0}=180^{0}\Rightarrow \widehat{D\,}=130^{0}=\widehat{E\,}.$
Khi đó tứ giác $ABCD$ có $\widehat{B\,}+\widehat{E\,}=80^{0}+130^{0}=210^{0}$
$\Rightarrow \widehat{BAE}+\widehat{BCE}=360^{0}-210^{0}=150^{0}$
Bài 7. Cho tứ giác lồi ABCD có
+ = 1800, CB = CD. Chứng minh AC là tia phân giác của .Bài giải:
Trên tia đối tia BA lấy điểm I sao cho BI = AD.
Ta có
(cùng bù với góc).AD = IB, DC = BC. Từ đó ta có
. Suy ra: và AC = IC.
Tam giác ACI cân tại C nên .
Vậy AC là phân giác trong góc
.Trường 218 – Sách Toán 8 tâp 1
Bài 6/33. Cho tứ giác ABCD có $AB=AD;\widehat{B}=90{}^\circ ;\widehat{D}=135{}^\circ ;\widehat{A}=60{}^\circ$
a) Chứng minh BD = BC
b) Kè AE ⊥ CD tại E. Tính $\widehat{DAE}$.
Lời giải:
a) Chứng minh $BD=BC$
Tính góc trong $\widehat{A}$ và phát hiện tam giác đều
Xét △ABD có: $AB=AD$ (gt) và $\widehat{A}=60^{{}^\circ }$ ⇒ △ABD là tam giác đều.
Nên ba cạnh bằng nhau: $BD=AB=AD$và các góc bằng $60^{{}^\circ }$: $\widehat{ABD}=\widehat{ADB}=60^{{}^\circ }$
Tính góc $\widehat{DBC}$: $\widehat{DBC}=\widehat{ABC}-\widehat{ABD}=90^{{}^\circ }-60^{{}^\circ }=30^{{}^\circ }$( Vì $\widehat{B}=90{}^\circ$)
Tính góc $\widehat{BDC}$: $\widehat{BDC}=\widehat{ADC}-\widehat{ADB}=135^{{}^\circ }-60^{{}^\circ }=75^{{}^\circ }$(Vì $\widehat{D}=135{}^\circ$)
Xét △BCD ta có: $\widehat{BCD}+\widehat{DBC}+\widehat{BDC}=180^{{}^\circ }$(tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra $\widehat{BCD}=180^{{}^\circ }-(\widehat{DBC}+\widehat{BDC})=180^{{}^\circ }-(30^{{}^\circ }+75^{{}^\circ })=75^{{}^\circ }$
Suy ra $\widehat{BDC}=\widehat{BCD}=75^{{}^\circ }$.
Do đó △BCD là tam giác cân tại B ⇒ $BD=BC$
b) Kẻ $AE\bot CD$ tại $E$. Tính $\widehat{DAE}$
Ta có: $\widehat{ADC}+\widehat{ADE}=180^{{}^\circ }$(2 góc kề bù)
Nên $\widehat{ADE}=180^{{}^\circ }-\widehat{ADC}=180^{{}^\circ }-135^{{}^\circ }=45^{{}^\circ }$(Vì $\widehat{ADC}=135^{{}^\circ }$)
Xét △AED vuông tại E nên $\widehat{ADE}+\widehat{DAE}=90^{{}^\circ }$ ⇒ $\widehat{DAE}=90^{{}^\circ }-\widehat{ADE}=90^{{}^\circ }-45^{{}^\circ }=45^{{}^\circ }$
📌 Các em chú ý:
Đề bài cho △ABD có AB = AD, $\widehat{A}=60^{{}^\circ }$. Các em cần nhớ ngay: Tam giác cân có một góc $60^{{}^\circ }$ là tam giác đều.
Khi thấy một tam giác vuông có một góc nhọn bằng $45^{{}^\circ }$, đó là tam giác vuông cân. Các em có thể chứng minh được EA = ED!
Bài 7. Cho tứ giác ABCD có góc $\widehat{A}=\widehat{C}=90^{{}^\circ }$, tia phân giác của góc B cắt đường thẳng AD ở E; tia phân giác của góc D cắt đường thẳng BC ở F. Chứng minh BE // DF.
Lời giải:
Xét tứ giác ABCD ta có:
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{{}^\circ }$ ( tổng 4 góc trong một tứ giác)
Nên $90^{{}^\circ }+\widehat{B}+90^{{}^\circ }+\widehat{D}=360^{{}^\circ }$ (vì $\widehat{A}=\widehat{C}=90^{{}^\circ }$)
$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{D}=360^{{}^\circ }-180^{{}^\circ }=180^{{}^\circ }$
Vì BE là tia phân giác của góc $B$ nên: $\widehat{ABE}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}$
Vì DF là tia phân giác của góc $D$ nên: $\widehat{ADF}=\dfrac{1}{2}\widehat{D}$
Cộng hai góc nhỏ này lại với nhau:
$\widehat{ABE}+\widehat{ADF}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}+\dfrac{1}{2}\widehat{D}=\dfrac{1}{2}(\widehat{B}+\widehat{D})$
Mà $\widehat{B}+\widehat{D}=180^{{}^\circ }$(cmt) nên:
$\widehat{ABE}+\widehat{ADF}=\dfrac{1}{2}\cdot 180^{{}^\circ }=90^{{}^\circ }\quad (1)$
Xét △ABE vuông tại $A$ (vì $\widehat{A}=90^{{}^\circ }$) ta có: $\widehat{ABE}+\widehat{AEB}=90^{{}^\circ }\quad (2)$
Từ (1) và $(2)$$\Rightarrow \widehat{ADF}=\widehat{AEB}$
Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị nên BE // DF
Bài 8. Cho tứ giác ABCD có tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại K.
a) Chứng minh rằng $\widehat{AKB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{C}+\widehat{D})$.
b) Biết $\widehat{C}=110{}^\circ$và $\widehat{D}=70{}^\circ$. Chứng minh △AKB vuông.
Lời giải:
a) Chứng minh $\widehat{AKB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{C}+\widehat{D})$
Xét △KAB, ta có: $\widehat{AKB}+\widehat{KAB}+\widehat{KBA}=180^{{}^\circ }$(Tổng 3 góc trong tam giác)
$\widehat{AKB}=180^{{}^\circ }-(\widehat{KAB}+\widehat{KBA})$
Vì AK và BK lần lượt là tia phân giác của góc $A$ và góc $B$, nên:
$\widehat{KAB}=\dfrac{1}{2}\widehat{A}\quad \text{v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\quad \widehat{KBA}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}$
$\Rightarrow \widehat{AKB}=180^{{}^\circ }-\left( \dfrac{1}{2}\widehat{A}+\dfrac{1}{2}\widehat{B} \right)=180^{{}^\circ }-\dfrac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})\quad (1)$
Xét tứ giác ABCD ta có:
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{{}^\circ }$ ( tổng 4 góc trong một tứ giác)
Nên $\widehat{A}+\widehat{B}=360^{{}^\circ }-(\widehat{C}+\widehat{D})$
Thế vào $(1)$, ta được:
$\widehat{AKB}=180^{{}^\circ }-\dfrac{1}{2}\left[ 360^{{}^\circ }-(\widehat{C}+\widehat{D}) \right]$
$\widehat{AKB}=180^{{}^\circ }-180^{{}^\circ }+\dfrac{1}{2}(\widehat{C}+\widehat{D})$
Suy ra $\widehat{AKB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{C}+\widehat{D})$
b) Chứng minh △AKB vuông.
Áp dụng công thức vừa chứng minh ở câu a:
$\widehat{AKB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{C}+\widehat{D})=\dfrac{1}{2}(110^{{}^\circ }+70^{{}^\circ })=\dfrac{1}{2}\cdot 180^{{}^\circ }=90^{{}^\circ }$
Vì $\widehat{AKB}=90^{{}^\circ }$ nên △AKB vuông tại $K$.
Bài 9. Cho tứ giác ABCD có tia phân giác của góc ngoài tại A và tia phân giác của góc ngoài tại B cắt nhau tại I.
a) Chứng minh rằng $\widehat{AIB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})$
b) Biết $\widehat{C}=110{}^\circ$và $\widehat{D}=70{}^\circ$. Chứng minh △AIB vuông.
Lời giải:
Bài này tương tự bài 8, nhưng thay vì góc trong, đề bài dùng góc ngoài.
Khi thấy "góc ngoài" thì các em nhớ công thức "góc ngoài" = $180^{{}^\circ }-$"góc trong"
a) Chứng minh $\widehat{AIB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})$
Gọi $\widehat{A}_{1}$ và $\widehat{B}_{1}$ lần lượt là các góc ngoài tại đỉnh $A$ và $B$.
Xét △IAB, ta có: $\widehat{AIB}+\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=180^{{}^\circ }$ (Tổng 3 góc trong tam giác)
Nên $\widehat{AIB}=180^{{}^\circ }-(\widehat{IAB}+\widehat{IBA})$
Vì AI và BI là các tia phân giác của góc ngoài, nên: $\widehat{IAB}=\dfrac{1}{2}\widehat{A}_{1}$ và $\widehat{IBA}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}_{1}$
$\Rightarrow \widehat{AIB}=180^{{}^\circ }-\left( \dfrac{1}{2}\widehat{A}_{1}+\dfrac{1}{2}\widehat{B}_{1} \right)=180^{{}^\circ }-\dfrac{1}{2}(\widehat{A}_{1}+\widehat{B}_{1})\quad (1)$
Ta biết góc ngoài và góc trong kề bù nhau nên:
$\widehat{A}_{1}=180^{{}^\circ }-\widehat{A}\quad \text{v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\quad \widehat{B}_{1}=180^{{}^\circ }-\widehat{B}$
$\Rightarrow \widehat{A}_{1}+\widehat{B}_{1}=(180^{{}^\circ }-\widehat{A})+(180^{{}^\circ }-\widehat{B})=360^{{}^\circ }-(\widehat{A}+\widehat{B})$
Thế vào (1), ta được:
$\widehat{AIB}=180^{{}^\circ }-\dfrac{1}{2}\left[ 360^{{}^\circ }-(\widehat{A}+\widehat{B}) \right]$
$\widehat{AIB}=180^{{}^\circ }-\left[ 180^{{}^\circ }-\dfrac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B}) \right]$
Do đó$\widehat{AIB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})$
b) Chứng minh △AIB vuông
Xét tứ giác ABCD ta có:
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{{}^\circ }$ ( tổng 4 góc trong một tứ giác)
Nên $\widehat{A}+\widehat{B}=360^{{}^\circ }-(\widehat{C}+\widehat{D})=360^{{}^\circ }-(110^{{}^\circ }+70^{{}^\circ })=180^{{}^\circ }$
Áp dụng công thức vừa chứng minh ở câu a:
$\widehat{AIB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})=\dfrac{1}{2}\cdot 180^{{}^\circ }=90^{{}^\circ }$
Vì $\widehat{AIB}=90^{{}^\circ }$ nên △AIB vuông tại I.
Bài 10: Cho tứ giác $ABCD$ có AB = BC (Hình A) và $\widehat{A}+\widehat{C}=180^{{}^\circ }$. Chứng minh DB là tia phân giác của $\widehat{ADC}$
Lời giải:
Kẻ BF ⊥ AD tại F, BE ⊥ DC tại E
Ta có $\widehat{A}+\widehat{C}=180^{{}^\circ }$ mà $\widehat{FAB}+\widehat{BAD}=180^{{}^\circ }$ (2 góc kề bù)
Suy ra $\widehat{FAB}=\widehat{C}$(Vì $\widehat{BAD}=\widehat{A}$)
Xét △BFA vuông tại F và △BEC vuông tại E ta có:
AB = BC ( gt)
$\widehat{FAB}=\widehat{C}$ (cmt)( Chứng minh trên)
⇒ △BFA = △BEC (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra BF = BE (2 cạnh tương ứng)
Mà BE và BF là 2 đường cao hạ từ B xuống 2 cạnh của góc ADC nên B nằm trên tia phân giác của góc ADC nên DB là tia phân giác của $\widehat{ADC}$
Cách khác:
Trên tia đối của tia $CD$ lấy điểm $E$ sao cho $CE=AD$
Ta có $\widehat{A\,}+\widehat{C\,}=180^0$ (gt)
mà $\widehat{C}+\widehat{C}_{1}=180^{0}$ (2 góc kề bù)
$\Rightarrow \widehat{A\,}=\widehat{C}_{1}$
Xét $\Delta ABD$ và $\Delta CBE$ ta có:
$AB=BC$ (gt)
$\widehat{A\,}=\widehat{C}_{1}$ (cmt)
$AD=CE$ (cách vẽ)
Suy ra $\Delta ABD=\Delta CBE\,\left( c.\,g.\,c \right)$
$\Rightarrow$ $\widehat{D}_{1}=\widehat{E}$ (2 góc tương ứng) và $BD=BE$ (2 cạnh tương ứng)
$\triangle BDE$ có $BD=BE$(cmt) $\Rightarrow \Delta BDE$ cân tại $B\,.$
$\Rightarrow \widehat{D}_{2}=\widehat{E}$ ( tính chất tam giác cân)
Mà $\widehat{D}_{1}=\widehat{E}$ (cmt) $\Rightarrow \widehat{D}_{2}=\widehat{D}_{1}$ mà tia DB nằm trong góc ADC nên DB là tia phân giác của $\widehat{ADC}$
Bài 11. Tứ giác ABCD có đường chéo AC và cạnh AD có độ dài bằng nhau (hình B). Chứng minh rằng BC < BD
Lời giải:
Xét △ACD có AC = AD (gt) nên △ACD cân tại A
$\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{ADC}$ (Hai góc ở đáy)
Nhìn vào hình vẽ B, ta thấy:
Góc $\widehat{BDC}$ là một phần nằm bên trong góc $\widehat{ADC}$ lớn: $\Rightarrow \widehat{BDC}<\widehat{ADC}$
Mà $\widehat{ADC}=\widehat{ACD}$(cmt), nên suy ra: $\widehat{BDC}<\widehat{ACD}\quad (1)$
Mặt khác, góc $\widehat{ACD}$ lại là một phần nằm bên trong góc $\widehat{BCD}$ lớn:$\Rightarrow \widehat{ACD}<\widehat{BCD}\quad (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$, bắc cầu suy ra $\widehat{BDC}<\widehat{BCD}$
Xét △BCD có:
Đối diện với góc nhỏ $\widehat{BDC}$ là cạnh BC.
Đối diện với góc lớn $\widehat{BCD}$ là cạnh BD.
Theo định lý góc và cạnh đối diện trong tam giác: Góc nhỏ hơn thì đối diện với cạnh ngắn hơn.
$\Rightarrow $ $BC<BD$
Bài 12.
a) Chứng minh rằng độ dài một cạnh của tứ giác nhỏ hơn tổng độ dài 3
cạnh còn lại của tứ giác.
b) Chứng minh rằng tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác:
a) Lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đổi.
β) Lớn hơn nữa chu vi tứ giác.
γ) Nhỏ hơn chu vi tứ giác.
Lời giải:
Tất cả các câu trong bài 12 đều dùng chung một mẹo: "Muốn xuất hiện tổng các cạnh, hãy vẽ đường chéo để chia tứ giác thành các tam giác, rồi áp dụng bất đẳng thức tam giác".
a) Chứng minh độ dài một cạnh nhỏ hơn tổng độ dài 3 cạnh còn lại
(Giả sử: Ta cần chứng minh cạnh AD < AB + BC + CD)
Kẻ đường chéo AC. Tứ giác ABCD được chia làm 2 tam giác: △ ABC và △ ADC.
Xét △ADC, ta có AD < AC + CD (1) (bất đẳng thức tam giác)
Xét △ABC, ta có AC < AB + BC (2) (bất đẳng thức tam giác)
Thế (2) vào (1), ta được: AD < (AB + BC) + CD
Suy ra AD < AB + BC + CD
b) Chứng minh về tổng độ dài hai đường chéo (AC + BD) của tứ giác
1. Lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối: (Chứng minh AC + BD > AB + CD)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Xét △OAB, ta có OA + OB > AB (bất đẳng thức tam giác)
Xét △OCD, ta có OC + OD > CD (bất đẳng thức tam giác)
Cộng vế theo vế: (OA + OC) + (OB + OD) > AB + CD
Mà OA + OC = AC và OB + OD = BD, nên ta có: AC + BD > AB + CD
Vậy tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác Lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối
2. Lớn hơn nửa chu vi tứ giác: (Chứng minh $AC\text{ }+\text{ }BD\text{ }>\dfrac{1}{2}\left( AB\text{ }+\text{ }BC\text{ }+\text{ }CD\text{ }+\text{ }DA \right)$)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho cả 4 tam giác nhỏ tại giao điểm O:
Xét △OAB, ta có OA + OB > AB
Xét △OCD, ta có OC + OD > CD
Xét △OBC, ta có OB + OC > BC
Xét △ODA, ta có OD + OA > DA
Cộng vế với vế của 4 bất đẳng thức ta được:
2 OA + 2 OB + 2 OC + 2 OD > AB + BC + CD + DA
2 (OA + OC) + 2 (OB + OD) > AB + BC + CD + DA
2 AC + 2 BD > AB + BC + CD + DA
Suy ra $AC\text{ }+\text{ }BD\text{ }>\dfrac{1}{2}\left( AB\text{ }+\text{ }BC\text{ }+\text{ }CD\text{ }+\text{ }DA \right)$
Vậy tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác Lớn hơn nửa chu vi tứ giác
3. Nhỏ hơn chu vi tứ giác: (Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho △ABC và △ADC
Xét △ABC, ta có AC < AB + BC
Xét △ADC, ta có AC < AD + CD
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho △ABD và △ BCD
Xét △ABD, ta có BD < AB + AD
Xét △ BCD, ta có BD < BC + CD
Cộng vế với vế của 4 bất đẳng thức trên, ta được:
2 AC + 2 BD < 2 AB + 2 BC + 2 CD + 2 AD
Suy ra AC + BD < AB + BC + CD + DA
Vậy tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác Nhỏ hơn chu vi tứ giác
Đang được quan tâm nhất Khối 8
Tài liệu mới cập nhật
Bài 17. Hằng đẳng thức đáng nhớ
22/09/2026
4
Bài 16. Tìm x
17/09/2026
10
Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức
08/09/2026
41