Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Thầy rất vui khi được đồng hành cùng các em. Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán này bằng cách phá vỡ từng bước khó khăn nhé!

Đây là các bài toán tìm $x$ áp dụng kiến thức về hằng đẳng thức đáng nhớ và nhân đa thức. Chúng ta cùng bắt đầu nào!
 

1. 📌 Đề bài nhận diện

Bài 16. Tìm $x$, biết:
a) $2(x - 1)^2 + (x + 3)^2 = 3(x - 2)(x + 1)$
b) $(x + 2)^2 - 2(x - 3) = (x + 1)^2$
c) $(x - 1)^2 + (x - 2)^2 = 2(x + 4)^2 - (22x + 27)$
d) $5x(x - 3)(x + 3) - (2x - 3)^2 - 5(x + 2)^3 + 34x(x + 2) = 1$
e) $(x - 2)^3 + 6(x + 1)^2 - (x - 3)(x^2 + 3x + 9) = 97$


💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải các bài toán này, các em cần thuộc lòng các hằng đẳng thức:
1. $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
2. $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$
3. $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$
4. $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$
5. $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$
6. $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$

Quy tắc cần lưu ý:
Khi phá ngoặc có dấu "-" đằng trước: Phải đổi dấu toàn bộ các hạng tử bên trong.
Nhân đơn thức với đa thức: $A.(B + C) = A.B + A.C$.


💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)
Câu a: Ta khai triển các hằng đẳng thức $(x-1)^2$ và $(x+3)^2$, sau đó nhân hai đa thức $(x-2)(x+1)$. Gom các số hạng chứa $x^2$, $x$ và hằng số về một vế. Lưu ý $3(x-2)(x+1) = 3(x^2 + x - 2x - 2)$.
Câu b: Tương tự câu a, nhưng cẩn thận chỗ $-2(x-3)$, khi nhân vào phải thành $-2.x + 6$ (âm nhân âm bằng dương).
Câu c: Khai triển vế trái và vế phải. Ở vế phải, cụm $-(22x+27)$ khi bỏ ngoặc phải đổi dấu thành $-22x - 27$.
Câu d: Đây là câu phức tạp nhất.
$5x(x-3)(x+3) = 5x(x^2 - 9)$.
$(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$. Lưu ý dấu trừ đằng trước.
$5(x+2)^3$ khai triển lập phương rồi nhân 5.
Câu e: Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương cho cụm $(x-3)(x^2+3x+9) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$.
 

✍️ Trình bày chuẩn (Nội dung các em ghi vào vở)

a) $2(x - 1)^2 + (x + 3)^2 = 3(x - 2)(x + 1)$
$2(x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 6x + 9) = 3(x^2 + x - 2x - 2)$
$2x^2 - 4x + 2 + x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 3x - 6$
$3x^2 + 2x + 11 = 3x^2 - 3x - 6$
$2x + 3x = -6 - 11$
$5x = -17$
$x = -\frac{17}{5}$
Vậy $x = -\frac{17}{5}$.

b) $(x + 2)^2 - 2(x - 3) = (x + 1)^2$
$x^2 + 4x + 4 - 2x + 6 = x^2 + 2x + 1$
$x^2 + 2x + 10 = x^2 + 2x + 1$
$10 = 1$ (Vô lý)
Vậy phương trình vô nghiệm (không có giá trị $x$ thỏa mãn).

c) $(x - 1)^2 + (x - 2)^2 = 2(x + 4)^2 - (22x + 27)$
$x^2 - 2x + 1 + x^2 - 4x + 4 = 2(x^2 + 8x + 16) - 22x - 27$
$2x^2 - 6x + 5 = 2x^2 + 16x + 32 - 22x - 27$
$2x^2 - 6x + 5 = 2x^2 - 6x + 5$
$0x = 0$ (Luôn đúng với mọi $x$)
Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

d) $5x(x - 3)(x + 3) - (2x - 3)^2 - 5(x + 2)^3 + 34x(x + 2) = 1$
$5x(x^2 - 9) - (4x^2 - 12x + 9) - 5(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) + 34x^2 + 68x = 1$
$5x^3 - 45x - 4x^2 + 12x - 9 - 5x^3 - 30x^2 - 60x - 40 + 34x^2 + 68x = 1$
$(5x^3 - 5x^3) + (-4x^2 - 30x^2 + 34x^2) + (-45x + 12x - 60x + 68x) - 49 = 1$
$-25x - 49 = 1$
$-25x = 50$
$x = -2$
Vậy $x = -2$.

e) $(x - 2)^3 + 6(x + 1)^2 - (x - 3)(x^2 + 3x + 9) = 97$
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 + 6(x^2 + 2x + 1) - (x^3 - 27) = 97$
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 + 6x^2 + 12x + 6 - x^3 + 27 = 97$
$(x^3 - x^3) + (-6x^2 + 6x^2) + (12x + 12x) + (-8 + 6 + 27) = 97$
$24x + 25 = 97$
$24x = 72$
$x = 3$
Vậy $x = 3$.
 

⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải

1. Quên đổi dấu: Đặc biệt là ở câu d và e khi có dấu trừ trước ngoặc của một hằng đẳng thức hoặc tích đa thức.
Sai: $-(2x-3)^2 = -4x^2 - 12x + 9$
Đúng: $-(4x^2 - 12x + 9) = -4x^2 + 12x - 9$
2. Khai triển sai hằng đẳng thức: Nhiều em hay quên số 2 ở $2AB$ hoặc số 3 ở $3A^2B$.
3. Tính toán lũy thừa của đơn thức: $(2x)^2$ phải là $4x^2$, nhiều em chỉ ghi $2x^2$.
 

 🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)

Bài tập: Tìm $x$, biết:
1) $(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 4$
2) $(x + 2)^3 - x^2(x + 6) = 2$

Lời giải nhanh:
1) $(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 4 \implies 4x = 4 \implies x = 1$.
2) $x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - x^3 - 6x^2 = 2 \implies 12x + 8 = 2 \implies 12x = -6 \implies x = -0,5$.

Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!