Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ IN  ⊥ BC tại N (N Î  BC).

a) Chứng minh: . Từ đó suy ra .

b) Giả sử ; . Tính BN

c) Chứng minh

d) Chứng minh .

a) Chứng minh  và

Xét  và  có:

 (vì  vuông tại  và ).

 là góc chung.

 (g.g).

Từ hai tam giác đồng dạng, ta có tỉ số đồng dạng:

 (đpcm).

b) Tính BN khi ,

Tính AB: Áp dụng định lý Pythagore vào  vuông tại :

.

Tính BI: Vì  là trung điểm của AB nên:

Tính BN:  Ta có BA. BI = BC .BN (cmt)

.

c) Chứng minh

Từ tỉ số đồng dạng ở câu (a), ta có .

Xét  và :

 (chứng minh trên).

 là góc chung.

 (c.g.c).

 (hai góc tương ứng).

d) Chứng minh

Xét vế phải (VP

Ta có BC. BN = BA .BI (cmt)

Mà , nên .

Thay vào biểu thức:

Theo định lý Pythagore trong  vuông tại , ta có .

Vậy .