Bài 18 trang 28
Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Thầy rất vui khi được đồng hành cùng các em. Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán này bằng cách phá vỡ từng bước khó khăn nhé!
💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải các bài toán này, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ và các hệ thức biến đổi:
1. Bình phương của một tổng/hiệu:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Mối liên hệ: $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$ và $(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy$
2. Lập phương của một tổng/hiệu:
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$
3. Tổng và hiệu hai lập phương:
$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$
* $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$
4. Bình phương của bình phương: $a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2$.
💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)
Câu a: Đề cho tổng $(x+y)$ và tích $(xy)$. Để tính $(x-y)^2$, ta khai triển nó ra thành $x^2 - 2xy + y^2$. Tuy nhiên ta chưa có $x^2+y^2$. Mẹo nhỏ là ta thêm bớt $2xy$ để xuất hiện $(x+y)^2$:
$(x-y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - 4xy = (x+y)^2 - 4xy$. Bây giờ chỉ việc thay số vào. Với $x^3+y^3$, ta dùng hệ thức biến đổi từ hằng đẳng thức lập phương để tính cho nhanh.
Câu b: Tương tự câu a, nhưng ngược lại. Ta cần tính $(x+y)^2$ từ $(x-y)$ và $xy$. Ta có $(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy$.
Câu c: Nhìn biểu thức $B = x^3 + 3xy + y^3$, ta thấy nó gần giống với hằng đẳng thức $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. Nếu ta nhóm $x^3+y^3$ và thay $x+y=1$ vào công thức biến đổi, ta sẽ thấy điều kỳ diệu. Hoặc đơn giản hơn: $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$. Thay $x+y=1$ vào là xong.
Câu d: Biểu thức $M$ có 4 hạng tử, ta sẽ dùng phương pháp nhóm hạng tử: $M = (a^4 - a^3b) + (b^4 - ab^3)$. Đặt nhân tử chung là $a^3$ và $b^3$, ta sẽ đưa về dạng tích của $(a-b)$ và $(a^3-b^3)$.
Câu e: Để tính $N = a^4 + b^4$, ta cần $(a^2+b^2)^2$. Đề đã cho $a^2+b^2=6$. Nhưng ta còn thiếu giá trị $ab$. Ta tìm $ab$ từ dữ kiện $a-b=2$ và $a^2+b^2=6$ bằng cách bình phương $a-b$.
1. Nhầm dấu hằng đẳng thức: Rất nhiều em nhầm $x^3 + y^3$ thành $(x+y)^3$. Hãy nhớ $x^3+y^3$ là tổng hai lập phương, còn $(x+y)^3$ là lập phương của một tổng.
2. Quên đổi dấu khi phá ngoặc: Ở câu (d), khi nhóm $M = a^4 - a^3b - ab^3 + b^4$, nếu nhóm thành $(a^4 - a^3b) - (ab^3 - b^4)$ thì phải đổi dấu hạng tử cuối thành trừ.
3. Lỗi tính lũy thừa: $5^3 = 5 . 5 . 5 = 125$, nhiều em tính nhầm thành $5 . 3 = 15$. Hãy cẩn thận nhé!
Bài tập: Cho $x - y = 4$ và $xy = 5$. Tính:
1) $x^2 + y^2$
2) $(x + y)^2$
Lời giải nhanh:
1) $x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy = 4^2 + 2 . 5 = 16 + 10 = 26$.
2) $(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = 4^2 + 4 . 5 = 16 + 20 = 36$.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
Bài 18.
a) Cho $x + y = 5$ và $xy = 6$. Tính $(x - y)^2$ và $x^3 + y^3$
b) Cho $x - y = 3$ và $xy = 40$. Tính $(x + y)^2$ và $x^3 - y^3$
c) Cho $x + y = 1$. Tính giá trị của biểu thức $B = x^3 + 3xy + y^3$.
d) Cho biết $a - b = ab = 3$. Tính $M = a^4 - a^3b - ab^3 + b^4$
e) Cho biết $a^2 + b^2 = 6$ và $a - b = 2$. Tính $N = a^4 + b^4$.
a) Cho $x + y = 5$ và $xy = 6$. Tính $(x - y)^2$ và $x^3 + y^3$
b) Cho $x - y = 3$ và $xy = 40$. Tính $(x + y)^2$ và $x^3 - y^3$
c) Cho $x + y = 1$. Tính giá trị của biểu thức $B = x^3 + 3xy + y^3$.
d) Cho biết $a - b = ab = 3$. Tính $M = a^4 - a^3b - ab^3 + b^4$
e) Cho biết $a^2 + b^2 = 6$ và $a - b = 2$. Tính $N = a^4 + b^4$.
💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải các bài toán này, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ và các hệ thức biến đổi:
1. Bình phương của một tổng/hiệu:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Mối liên hệ: $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$ và $(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy$
2. Lập phương của một tổng/hiệu:
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$
3. Tổng và hiệu hai lập phương:
$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$
* $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$
4. Bình phương của bình phương: $a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2$.
💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)
Câu a: Đề cho tổng $(x+y)$ và tích $(xy)$. Để tính $(x-y)^2$, ta khai triển nó ra thành $x^2 - 2xy + y^2$. Tuy nhiên ta chưa có $x^2+y^2$. Mẹo nhỏ là ta thêm bớt $2xy$ để xuất hiện $(x+y)^2$:
$(x-y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - 4xy = (x+y)^2 - 4xy$. Bây giờ chỉ việc thay số vào. Với $x^3+y^3$, ta dùng hệ thức biến đổi từ hằng đẳng thức lập phương để tính cho nhanh.
a) Cho $x + y = 5$ và $xy = 6$. Tính $(x - y)^2$ và $x^3 + y^3$
Ta có: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - 4xy = (x + y)^2 - 4xy$
Thay $x + y = 5$ và $xy = 6$ vào:
$(x - y)^2 = 5^2 - 4 . 6 = 25 - 24 = 1$.
Lại có: $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$
Thay số: $x^3 + y^3 = 5^3 - 3 . 6 . 5 = 125 - 90 = 35$.
Ta có: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - 4xy = (x + y)^2 - 4xy$
Thay $x + y = 5$ và $xy = 6$ vào:
$(x - y)^2 = 5^2 - 4 . 6 = 25 - 24 = 1$.
Lại có: $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$
Thay số: $x^3 + y^3 = 5^3 - 3 . 6 . 5 = 125 - 90 = 35$.
Câu b: Tương tự câu a, nhưng ngược lại. Ta cần tính $(x+y)^2$ từ $(x-y)$ và $xy$. Ta có $(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy$.
b) Cho $x - y = 3$ và $xy = 40$. Tính $(x + y)^2$ và $x^3 - y^3$
Ta có: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x^2 - 2xy + y^2) + 4xy = (x - y)^2 + 4xy$
Thay $x - y = 3$ và $xy = 40$ vào:
$(x + y)^2 = 3^2 + 4 . 40 = 9 + 160 = 169$.
Lại có: $x^3 - y^3 = (x - y)^3 + 3xy(x - y)$
Thay số: $x^3 - y^3 = 3^3 + 3 . 40 . 3 = 27 + 360 = 387$.
Ta có: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x^2 - 2xy + y^2) + 4xy = (x - y)^2 + 4xy$
Thay $x - y = 3$ và $xy = 40$ vào:
$(x + y)^2 = 3^2 + 4 . 40 = 9 + 160 = 169$.
Lại có: $x^3 - y^3 = (x - y)^3 + 3xy(x - y)$
Thay số: $x^3 - y^3 = 3^3 + 3 . 40 . 3 = 27 + 360 = 387$.
Câu c: Nhìn biểu thức $B = x^3 + 3xy + y^3$, ta thấy nó gần giống với hằng đẳng thức $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. Nếu ta nhóm $x^3+y^3$ và thay $x+y=1$ vào công thức biến đổi, ta sẽ thấy điều kỳ diệu. Hoặc đơn giản hơn: $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$. Thay $x+y=1$ vào là xong.
c) Cho $x + y = 1$. Tính giá trị của biểu thức $B = x^3 + 3xy + y^3$.
Với $x + y = 1$, ta có:
$B = x^3 + y^3 + 3xy = (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 3xy$
$B = 1 . (x^2 - xy + y^2) + 3xy = x^2 + 2xy + y^2$
$B = (x + y)^2$. Thay $x + y = 1$ vào: $B = 1^2 = 1$.
Với $x + y = 1$, ta có:
$B = x^3 + y^3 + 3xy = (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 3xy$
$B = 1 . (x^2 - xy + y^2) + 3xy = x^2 + 2xy + y^2$
$B = (x + y)^2$. Thay $x + y = 1$ vào: $B = 1^2 = 1$.
Câu d: Biểu thức $M$ có 4 hạng tử, ta sẽ dùng phương pháp nhóm hạng tử: $M = (a^4 - a^3b) + (b^4 - ab^3)$. Đặt nhân tử chung là $a^3$ và $b^3$, ta sẽ đưa về dạng tích của $(a-b)$ và $(a^3-b^3)$.
d) Cho biết $a - b = ab = 3$. Tính $M = a^4 - a^3b - ab^3 + b^4$
Ta có: $M = a^3(a - b) - b^3(a - b) = (a - b)(a^3 - b^3)$
Mặt khác: $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$
Thay $a - b = 3$ và $ab = 3$ vào:
$a^3 - b^3 = 3^3 + 3 . 3 . 3 = 27 + 27 = 54$.
Vậy $M = 3 . 54 = 162$.
Ta có: $M = a^3(a - b) - b^3(a - b) = (a - b)(a^3 - b^3)$
Mặt khác: $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$
Thay $a - b = 3$ và $ab = 3$ vào:
$a^3 - b^3 = 3^3 + 3 . 3 . 3 = 27 + 27 = 54$.
Vậy $M = 3 . 54 = 162$.
Câu e: Để tính $N = a^4 + b^4$, ta cần $(a^2+b^2)^2$. Đề đã cho $a^2+b^2=6$. Nhưng ta còn thiếu giá trị $ab$. Ta tìm $ab$ từ dữ kiện $a-b=2$ và $a^2+b^2=6$ bằng cách bình phương $a-b$.
e) Cho biết $a^2 + b^2 = 6$ và $a - b = 2$. Tính $N = a^4 + b^4$.
Ta có: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \Rightarrow 2^2 = 6 - 2ab \Rightarrow 4 = 6 - 2ab \Rightarrow 2ab = 2 \Rightarrow ab = 1$.
Khi đó: $N = a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2 - 2(ab)^2$
Thay $a^2 + b^2 = 6$ và $ab = 1$ vào:
$N = 6^2 - 2 . 1^2 = 36 - 2 = 34$.
Ta có: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \Rightarrow 2^2 = 6 - 2ab \Rightarrow 4 = 6 - 2ab \Rightarrow 2ab = 2 \Rightarrow ab = 1$.
Khi đó: $N = a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2 - 2(ab)^2$
Thay $a^2 + b^2 = 6$ và $ab = 1$ vào:
$N = 6^2 - 2 . 1^2 = 36 - 2 = 34$.
⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải
1. Nhầm dấu hằng đẳng thức: Rất nhiều em nhầm $x^3 + y^3$ thành $(x+y)^3$. Hãy nhớ $x^3+y^3$ là tổng hai lập phương, còn $(x+y)^3$ là lập phương của một tổng.
2. Quên đổi dấu khi phá ngoặc: Ở câu (d), khi nhóm $M = a^4 - a^3b - ab^3 + b^4$, nếu nhóm thành $(a^4 - a^3b) - (ab^3 - b^4)$ thì phải đổi dấu hạng tử cuối thành trừ.
3. Lỗi tính lũy thừa: $5^3 = 5 . 5 . 5 = 125$, nhiều em tính nhầm thành $5 . 3 = 15$. Hãy cẩn thận nhé!
🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)
Bài tập: Cho $x - y = 4$ và $xy = 5$. Tính:
1) $x^2 + y^2$
2) $(x + y)^2$
Lời giải nhanh:
1) $x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy = 4^2 + 2 . 5 = 16 + 10 = 26$.
2) $(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = 4^2 + 4 . 5 = 16 + 20 = 36$.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
Đang được quan tâm nhất Khối 8
Tài liệu mới cập nhật
Bài 17. Hằng đẳng thức đáng nhớ
22/09/2026
4
Bài 16. Tìm x
17/09/2026
10
Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức
08/09/2026
41