Chứng minh rằng: Tích của ba số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương

Xét ba số nguyên dương liên tiếp n-1, n, n + 1 (n ≥ 2).

Ta có $(n-1)n(n+1) = n(n^2 - 1).$
Ta thấy n và $n^2 –1$ là hai số nguyên tố cùng nhau
(thật vậy nếu $n \vdots d$ và $n^2-1 \vdots d$ thì $1 \vdots d$
Nên $d = \pm1$). Do đó nếu $n(n^2 – 1)$ là số chính phương thì cả hai thừa số n và $n^2 -1$ đều là số chính phương.
Ta có nhận xét : Với $n \ge 2$ thì $n^2 -1$ không là số chính phương vì $(n-1)^2 <n^2-1<n^2.$
Vậy tích của ba số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.