Dạng 5: HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
Dạng 5: HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-14x+3$
HD :
Ta có :$x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-14x+3=\left( x^{2}+ax+1 \right)\left( x^{2}+bx+3 \right)$
Hoặc : $x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-14x+3=\left( x^{2}+ax-1 \right)\left( x^{2}+bx-3 \right)$
Giả sử ở TH1 ta có :
$x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-14x+3=x^{4}+\left( a+b \right)x^{3}+\left( 4+ab \right)x^{2}+\left( 3a+b \right)x+3$
Đồng nhất hệ số ta có:
$\begin{cases} a + b = -6 \\ 4 + ab = 12 \\ 3a + b = -14 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = -4 \\ b = -2 \end{cases}$
Vậy $x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-14x+3=\left( x^{2}-4x+1 \right)\left( x^{2}-2x+3 \right)$
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: $2x^{4}-3x^{3}-7x^{2}+6x+8$
HD:
Ta có:$2x^{4}-3x^{3}-7x^{2}+6x+8=2x^{4}+2x^{3}-5x^{3}-5x^{2}-2x^{2}-2x+8x+8$
= $2x^{3}\left( x+1 \right)-5x^{2}\left( x+1 \right)-2x\left( x+1 \right)+8\left( x+1 \right)$
= $\left( x+1 \right)\left( 2x^{3}-5x^{2}-2x+8 \right)=\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( 2x^{2}-x-4 \right)$
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: $12x^{2}+5x-12y^{2}+12y-10xy-3$
HD:
Ta có: $12x^{2}+5x-12y^{2}+12y-10xy-3$ = $\left( ax+by+3 \right)\left( cx+dy-1 \right)$
$= 12x^{2}+5x-12y^{2}+12y-10xy-3=acx^{2}+\left( ad+bc \right)xy+bdy^{2}+\left( 3c-a \right)x+\left( 3d-b \right)y-3$
Đồng nhất hệ số ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
$\begin{cases} ac = 12 \\ ad + bc = -10 \\ bd = -12 \\ 3c - a = 5 \\ 3d - b = 12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 4 \\ b = -6 \\ c = 3 \\ d = 2 \end{cases}$
Vậy $12x^{2}+5x-12y^{2}+12y-10xy-3=\left( 4x-6y+3 \right)\left( 3x+2y-1 \right)$
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x^{2}+y^{2}+xy \right)^{2}-x^{2}y^{2}-y^{2}z^{2}-z^{2}x^{2}$
HD:
$\left( x^{2}+y^{2}+xy \right)^{2}-x^{2}y^{2}-y^{2}z^{2}-z^{2}x^{2}=x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2}+2x^{2}y^{2}+2xy^{3}+2x^{3}y-x^{2}y^{2}-y^{2}z^{2}-z^{2}x^{2}$
= $x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+2xy\left( x^{2}+y^{2} \right)-z^{2}\left( x^{2}+y^{2} \right)$
= $\left( x^{2}+y^{2} \right)^{2}+2xy\left( x^{2}+y^{2} \right)-z^{2}\left( x^{2}+y^{2} \right)$
= $\left( x^{2}+y^{2} \right)\left( x^{2}+y^{2}+2xy-z^{2} \right)=\left( x^{2}+y^{2} \right)\left[ \left( x+y^{2} \right)-z^{2} \right]$
= $\left( x^{2}+y^{2} \right)\left( x+y+z \right)\left( x+y-z \right)$
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: $81x^{4}\left( z^{2}-y^{2} \right)-z^{2}+y^{2}$
HD:
Ta có: $81x^{4}\left( z^{2}-y^{2} \right)-z^{2}+y^{2}=81x^{4}\left( z^{2}-y^{2} \right)-\left( z^{2}-y^{2} \right)$
= $\left( z^{2}-y^{2} \right)\left( 81x^{4}-1 \right)=\left( z-y \right)\left( z+y \right)\left( 9x^{2}-1 \right)\left( 9x^{2}+1 \right)$
= $\left( z-y \right)\left( z+y \right)\left( 3x+1 \right)\left( 3x-1 \right)\left( 9x^{2}+1 \right)$
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{6}+x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}-y^{6}$
HD:
Ta có: $x^{6}+x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}-y^{6}$
= $x^{6}-y^{6}+x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{2}y^{2}=\left( x^{3} \right)^{2}-\left( y^{3} \right)^{2}+\left( x^{2}+y^{2} \right)^{2}-x^{2}y^{2}$
= $\left( x^{3}-y^{3} \right)\left( x^{3}+y^{3} \right)+\left( x^{2}+y^{2}-xy \right)\left( x^{2}+y^{2}+xy \right)$
= $\left( x-y \right)\left( x^{2}+xy+y^{2} \right)\left( x+y \right)\left( x^{2}-xy+y^{2} \right)+\left( x^{2}+y^{2}-xy \right)\left( x^{2}+y^{2}+xy \right)$
= $\left( x^{2}+y^{2}+xy \right)\left( x^{2}+y^{2}-xy \right)\left( x^{2}-y^{2}+1 \right)$
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: $4x^{4}+4x^{3}+5x^{2}+2x+1$
HD:
Ta có: $4x^{4}+4x^{3}+5x^{2}+2x+1=\left( ax^{2}+bx+1 \right)\left( cx^{2}+dx+1 \right)$
Đồng nhất hết số ta có:
$4x^{4}+4x^{3}+5x^{2}+2x+1=\left( 2x^{2}+x+1 \right)^{2}$
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+8x+63$
HD:
Ta có: $x^{4}+8x+63=\left( x^{2}+ax+b \right)\left( x^{2}+cx+d \right)$
Đồng nhất hệ số ta có:
$x^{4}+8x+63=$$\left( x^{2}-4x+7 \right)\left( x^{2}+4x+9 \right)$
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x+1 \right)^{4}+\left( x^{2}+x+1 \right)^{2}$
HD:
Ta có: $\left( x+1 \right)^{4}+\left( x^{2}+x+1 \right)^{2}=\left( x+1 \right)^{4}+\left[ x\left( x+1 \right)+1 \right]^{2}$
= $\left( x+1 \right)^{4}+x^{2}\left( x+1 \right)^{2}+2x\left( x+1 \right)+1$
= $\left( x+1 \right)^{2}\left[ \left( x+1 \right)^{2}+x^{2} \right]+\left( 2x^{2}+2x+1 \right)$
= $\left( 2x^{2}+2x+1 \right)\left[ \left( x+1 \right)^{2}+1 \right]$
= $\left( x^{2}+2x+2 \right)\left( 2x^{2}+2x+1 \right)$
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x+y \right)^{5}-x^{5}-y^{5}$
HD:
Ta có:$\left( x+y \right)^{5}=$$x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}-x^{5}-y^{5}$
$=5xy\left( x^{3}+2x^{2}y+2xy^{2}+y^{3} \right)$
= $5xy\left[ \left( x+y \right)\left( x^{2}-xy+y^{2} \right)+2xy\left( x+y \right) \right]$
= $5xy\left( x+y \right)\left( x^{2}+y^{2}+xy \right)$
Bài 11: Tìm tổng hệ số của đa thức sau khi khai triển:
a, $\left( 4x-3 \right)^{4}$ b, $\left( 5x-2 \right)^{5}$ c, $\left( x^{2}+x-2 \right)^{100}+\left( x^{2}+1-x \right)^{2017}$
HD :
Tổng hệ số của đa thức chính là giá trị của đa thức tại x = 1
Bài 12: Tìm hệ số của hạng tử bậc cao nhất và tổng các hệ số của đa thức:
$\left( 3-6x+4x^{2} \right)^{2005}\left( 1-x^{2} \right)^{2004}.\left( 1-2x+3x^{2}-x^{3} \right)^{2003}$
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-14x+3$
HD :
Ta có :$x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-14x+3=\left( x^{2}+ax+1 \right)\left( x^{2}+bx+3 \right)$
Hoặc : $x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-14x+3=\left( x^{2}+ax-1 \right)\left( x^{2}+bx-3 \right)$
Giả sử ở TH1 ta có :
$x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-14x+3=x^{4}+\left( a+b \right)x^{3}+\left( 4+ab \right)x^{2}+\left( 3a+b \right)x+3$
Đồng nhất hệ số ta có:
$\begin{cases} a + b = -6 \\ 4 + ab = 12 \\ 3a + b = -14 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = -4 \\ b = -2 \end{cases}$
Vậy $x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-14x+3=\left( x^{2}-4x+1 \right)\left( x^{2}-2x+3 \right)$
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: $2x^{4}-3x^{3}-7x^{2}+6x+8$
HD:
Ta có:$2x^{4}-3x^{3}-7x^{2}+6x+8=2x^{4}+2x^{3}-5x^{3}-5x^{2}-2x^{2}-2x+8x+8$
= $2x^{3}\left( x+1 \right)-5x^{2}\left( x+1 \right)-2x\left( x+1 \right)+8\left( x+1 \right)$
= $\left( x+1 \right)\left( 2x^{3}-5x^{2}-2x+8 \right)=\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( 2x^{2}-x-4 \right)$
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: $12x^{2}+5x-12y^{2}+12y-10xy-3$
HD:
Ta có: $12x^{2}+5x-12y^{2}+12y-10xy-3$ = $\left( ax+by+3 \right)\left( cx+dy-1 \right)$
$= 12x^{2}+5x-12y^{2}+12y-10xy-3=acx^{2}+\left( ad+bc \right)xy+bdy^{2}+\left( 3c-a \right)x+\left( 3d-b \right)y-3$
Đồng nhất hệ số ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
$\begin{cases} ac = 12 \\ ad + bc = -10 \\ bd = -12 \\ 3c - a = 5 \\ 3d - b = 12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 4 \\ b = -6 \\ c = 3 \\ d = 2 \end{cases}$
Vậy $12x^{2}+5x-12y^{2}+12y-10xy-3=\left( 4x-6y+3 \right)\left( 3x+2y-1 \right)$
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x^{2}+y^{2}+xy \right)^{2}-x^{2}y^{2}-y^{2}z^{2}-z^{2}x^{2}$
HD:
$\left( x^{2}+y^{2}+xy \right)^{2}-x^{2}y^{2}-y^{2}z^{2}-z^{2}x^{2}=x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2}+2x^{2}y^{2}+2xy^{3}+2x^{3}y-x^{2}y^{2}-y^{2}z^{2}-z^{2}x^{2}$
= $x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+2xy\left( x^{2}+y^{2} \right)-z^{2}\left( x^{2}+y^{2} \right)$
= $\left( x^{2}+y^{2} \right)^{2}+2xy\left( x^{2}+y^{2} \right)-z^{2}\left( x^{2}+y^{2} \right)$
= $\left( x^{2}+y^{2} \right)\left( x^{2}+y^{2}+2xy-z^{2} \right)=\left( x^{2}+y^{2} \right)\left[ \left( x+y^{2} \right)-z^{2} \right]$
= $\left( x^{2}+y^{2} \right)\left( x+y+z \right)\left( x+y-z \right)$
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: $81x^{4}\left( z^{2}-y^{2} \right)-z^{2}+y^{2}$
HD:
Ta có: $81x^{4}\left( z^{2}-y^{2} \right)-z^{2}+y^{2}=81x^{4}\left( z^{2}-y^{2} \right)-\left( z^{2}-y^{2} \right)$
= $\left( z^{2}-y^{2} \right)\left( 81x^{4}-1 \right)=\left( z-y \right)\left( z+y \right)\left( 9x^{2}-1 \right)\left( 9x^{2}+1 \right)$
= $\left( z-y \right)\left( z+y \right)\left( 3x+1 \right)\left( 3x-1 \right)\left( 9x^{2}+1 \right)$
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{6}+x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}-y^{6}$
HD:
Ta có: $x^{6}+x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}-y^{6}$
= $x^{6}-y^{6}+x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{2}y^{2}=\left( x^{3} \right)^{2}-\left( y^{3} \right)^{2}+\left( x^{2}+y^{2} \right)^{2}-x^{2}y^{2}$
= $\left( x^{3}-y^{3} \right)\left( x^{3}+y^{3} \right)+\left( x^{2}+y^{2}-xy \right)\left( x^{2}+y^{2}+xy \right)$
= $\left( x-y \right)\left( x^{2}+xy+y^{2} \right)\left( x+y \right)\left( x^{2}-xy+y^{2} \right)+\left( x^{2}+y^{2}-xy \right)\left( x^{2}+y^{2}+xy \right)$
= $\left( x^{2}+y^{2}+xy \right)\left( x^{2}+y^{2}-xy \right)\left( x^{2}-y^{2}+1 \right)$
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: $4x^{4}+4x^{3}+5x^{2}+2x+1$
HD:
Ta có: $4x^{4}+4x^{3}+5x^{2}+2x+1=\left( ax^{2}+bx+1 \right)\left( cx^{2}+dx+1 \right)$
Đồng nhất hết số ta có:
$4x^{4}+4x^{3}+5x^{2}+2x+1=\left( 2x^{2}+x+1 \right)^{2}$
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}+8x+63$
HD:
Ta có: $x^{4}+8x+63=\left( x^{2}+ax+b \right)\left( x^{2}+cx+d \right)$
Đồng nhất hệ số ta có:
$x^{4}+8x+63=$$\left( x^{2}-4x+7 \right)\left( x^{2}+4x+9 \right)$
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x+1 \right)^{4}+\left( x^{2}+x+1 \right)^{2}$
HD:
Ta có: $\left( x+1 \right)^{4}+\left( x^{2}+x+1 \right)^{2}=\left( x+1 \right)^{4}+\left[ x\left( x+1 \right)+1 \right]^{2}$
= $\left( x+1 \right)^{4}+x^{2}\left( x+1 \right)^{2}+2x\left( x+1 \right)+1$
= $\left( x+1 \right)^{2}\left[ \left( x+1 \right)^{2}+x^{2} \right]+\left( 2x^{2}+2x+1 \right)$
= $\left( 2x^{2}+2x+1 \right)\left[ \left( x+1 \right)^{2}+1 \right]$
= $\left( x^{2}+2x+2 \right)\left( 2x^{2}+2x+1 \right)$
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x+y \right)^{5}-x^{5}-y^{5}$
HD:
Ta có:$\left( x+y \right)^{5}=$$x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}-x^{5}-y^{5}$
$=5xy\left( x^{3}+2x^{2}y+2xy^{2}+y^{3} \right)$
= $5xy\left[ \left( x+y \right)\left( x^{2}-xy+y^{2} \right)+2xy\left( x+y \right) \right]$
= $5xy\left( x+y \right)\left( x^{2}+y^{2}+xy \right)$
Bài 11: Tìm tổng hệ số của đa thức sau khi khai triển:
a, $\left( 4x-3 \right)^{4}$ b, $\left( 5x-2 \right)^{5}$ c, $\left( x^{2}+x-2 \right)^{100}+\left( x^{2}+1-x \right)^{2017}$
HD :
Tổng hệ số của đa thức chính là giá trị của đa thức tại x = 1
Bài 12: Tìm hệ số của hạng tử bậc cao nhất và tổng các hệ số của đa thức:
$\left( 3-6x+4x^{2} \right)^{2005}\left( 1-x^{2} \right)^{2004}.\left( 1-2x+3x^{2}-x^{3} \right)^{2003}$
Đang được quan tâm nhất Khối 8
Tài liệu mới cập nhật
Bài 17. Hằng đẳng thức đáng nhớ
22/09/2026
4
Bài 16. Tìm x
17/09/2026
9
Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức
08/09/2026
41