Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán này bằng cách phá vỡ từng bước khó khăn nhé!  

 💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ

Để giải bài toán này, các em cần sử dụng thành thạo hai hằng đẳng thức về lập phương:
1. Tổng hai lập phương: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - A . B + B^2)$
2. Hiệu hai lập phương: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + A . B + B^2)$
3.Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: $A.(B + C) = A.B + A.C$.
Nhóm các hạng tử đồng dạng: Các hạng tử có cùng phần biến sẽ được cộng hoặc trừ hệ số với nhau.

Lưu ý về dấu: Khi nhân một đơn thức âm với một đa thức, ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong ngoặc.

Lưu ý về lũy thừa:
$(a^m)^n = a^{m . n}$ (Ví dụ: $y^6 = (y^2)^3$)
$(a . b)^n = a^n . b^n$ (Ví dụ: $8y^3 = (2y)^3$)
 

💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)

Câu a: Ta thấy $8 = 2^3$. Đa thức có dạng $A^3 + B^3$ với $A = x$ và $B = 2$.
Câu b: Ta thấy $27 = 3^3$ và $8y^3 = (2y)^3$. Đa thức có dạng hiệu hai lập phương.
Câu c: $y^6$ có thể viết là $(y^2)^3$. Vậy đây là tổng hai lập phương với $A = y^2$ và $B = 1$.
 
Câu d: Phân số thường làm các em lúng túng, nhưng hãy nhớ $64 = 4^3$ và $8 = 2^3$. Vậy $64x^3 = (4x)^3$ và $\displaystyle \frac{1}{8}y^3 = \left(\frac{1}{2}y\right)^3$.
Câu e: Tương tự câu c, $x^6 = (x^2)^3$ và $y^9 = (y^3)^3$. Ta đưa về $(5x^2)^3 - (3y^3)^3$.
 
Câu f: Đây là câu khó vì có dấu trừ ở cả hai hạng tử. Thầy sẽ đặt dấu "$-$" ra ngoài để bên trong ngoặc là một tổng: $\displaystyle -\left( \frac{x^6}{125} + \frac{y^3}{64} \right)$. Sau đó áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương.  
Câu g: Đây là câu khó nhất
Bước 1: Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức để phá ngoặc.
Ở cụm thứ nhất: Ta lấy $16x^2$ nhân với từng hạng tử trong ngoặc $(4x - y)$.
$16x^2 . 4x = 64x^3$
$16x^2 . (-y) = -16x^2y$
Ở cụm thứ hai: Các em lưu ý đây là $-8y^2$ nhân với $(x + y)$. Phải cẩn thận với dấu trừ!
$-8y^2 . x = -8xy^2$
$-8y^2 . y = -8y^3$
Ở cụm thứ ba: Ta lấy $xy$ nhân với $(16x + 8y)$.
$xy . 16x = 16x^2y$
$xy . 8y = 8xy^2$

Bước 2: Viết lại biểu thức tổng và thu gọn các hạng tử đồng dạng.
Sau khi nhân xong, ta có biểu thức:
$64x^3 - 16x^2y - 8xy^2 - 8y^3 + 16x^2y + 8xy^2$
Các em quan sát thấy $-16x^2y$ và $+16x^2y$ là hai hạng tử đối nhau nên tổng bằng $0$.
Tương tự, $-8xy^2$ và $+8xy^2$ cũng là hai hạng tử đối nhau nên tổng bằng $0$.
Kết quả còn lại chỉ là: $64x^3 - 8y^3$.

Bước 3: Phân tích kết quả thành nhân tử (nếu cần).
Ta thấy $64x^3 = (4x)^3$ và $8y^3 = (2y)^3$. Đây chính là dạng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương. Tuy nhiên, đơn giản hơn ta có thể đặt nhân tử chung là $8$ ra ngoài trước: $8(8x^3 - y^3) = 8[(2x)^3 - y^3]$.
 

⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải

1. Nhầm dấu trong hằng đẳng thức: Rất nhiều em nhầm dấu ở "bình phương thiếu". Nhớ rằng: Nếu là $(A+B)$ thì bên kia là $(A^2 - AB + B^2)$, nếu là $(A-B)$ thì bên kia là $(A^2 + AB + B^2)$. (Dấu ở tích $AB$ luôn ngược với dấu ở ngoặc đầu tiên).
2. Quên bình phương hệ số: Ví dụ ở câu (b), $(2y)^2$ phải bằng $4y^2$, nhiều em chỉ viết là $2y^2$.
3. Lúng túng với số mũ lớn: Khi gặp $y^6$ hay $y^9$, các em cần bình tĩnh đưa về dạng lập phương: $y^6 = (y^2)^3$.
4. Sai dấu khi phá ngoặc: Rất nhiều bạn khi nhân $-8y^2$ với $(x + y)$ vẫn viết là $-8xy^2 + 8y^3$. Các em nhớ nhé, "trừ của một tổng" thì phải đổi dấu cả hai hạng tử bên trong.
5. Quên lũy thừa: Khi nhân $x^2 . x$, kết quả phải là $x^3$. Nhiều bạn sơ suất viết thành $x^2$ dẫn đến không triệt tiêu được các hạng tử đồng dạng.
6. Nhầm hằng đẳng thức: Khi khai triển $(4x)^3$, một số bạn chỉ nâng lũy thừa cho $x$ mà quên nâng lũy thừa cho số $4$ (dẫn đến viết $4x^3$ thay vì $64x^3$).

 🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)

Bài A: Phân tích $27x^3 + 1$ thành nhân tử.
Đáp án: $\displaystyle 27x^3 + 1 = (3x + 1)(9x^2 - 3x + 1)$

Bài B: Phân tích $y^3 - 64$ thành nhân tử.
Đáp án: $\displaystyle y^3 - 64 = (y - 4)(y^2 + 4y + 16)$

Bài C: Phân tích $x^3 + 8y^3$ thành nhân tử.
Đáp án: $\displaystyle x^3 + 8y^3 = (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

Bài D: Rút gọn biểu thức sau: $A = 9x^2(3x - y) - 27y^2(x + y) + 3xy(9x + 9y)$

Lời giải nhanh:
$A = 27x^3 - 9x^2y - 27xy^2 - 27y^3 + 27x^2y + 27xy^2$
$A = 27x^3 - 27y^3 + (-9x^2y + 27x^2y) + (-27xy^2 + 27xy^2)$
Lưu ý: Ở bài này các hạng tử không triệt tiêu hết hoàn toàn như bài trên, các em hãy tính toán cẩn thận nhé!
Kết quả rút gọn cuối cùng: $A = 27x^3 + 18x^2y - 27y^3$.

Các em hãy thử sức với 3 câu sau để khắc sâu kiến thức nhé:
1. $8x^3 + 27$
2. $\displaystyle x^3 - \frac{1}{27}$
3. $x^6 - y^6$ (Gợi ý: Coi là $(x^2)^3 - (y^2)^3$)

Để giải tốt bài toán này, các em cần nắm vững hai hằng đẳng thức sau:

• Tổng hai lập phương: $\displaystyle A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - A \cdot B + B^2)$
• Hiệu hai lập phương: $\displaystyle A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + A \cdot B + B^2)$
• Lưu ý về lũy thừa: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ và $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

 💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)

Câu 1: $8x^3 + 27$

• Bước 1: Đưa các số hạng về dạng lập phương. Ta thấy $8 = 2^3$ nên $8x^3 = (2x)^3$. Số $27 = 3^3$.
• Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương với $A = 2x$ và $B = 3$.
• Bước 3: Khai triển biểu thức trong ngoặc thứ hai. Lưu ý $(2x)^2 = 4x^2$ (phải bình phương cả số 2 và biến $x$).

Câu 2: $\displaystyle x^3 - \frac{1}{27}$

• Bước 1: Đưa $\displaystyle \frac{1}{27}$ về dạng lập phương: $\displaystyle \frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$.
• Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương với $A = x$ và $\displaystyle B = \frac{1}{3}$.
• Bước 3: Tính toán các giá trị: $\displaystyle A \cdot B = x \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}x$ và $\displaystyle B^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.

Câu 3: $x^6 - y^6$

• Bước 1: Sử dụng gợi ý của đề bài, ta viết $x^6 = (x^2)^3$ và $y^6 = (y^2)^3$.
• Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương với $A = x^2$ và $B = y^2$.
• Bước 3: Tiếp tục nhận xét: Sau khi biến đổi, ta xuất hiện nhân tử $(x^2 - y^2)$. Đây là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta nên phân tích tiếp thành $(x - y)(x + y)$ để kết quả được triệt để nhất.

(Lưu ý: Đối với bài 3, biểu thức $x^4 + x^2y^2 + y^4$ còn có thể phân tích tiếp ở chương trình nâng cao, nhưng với lớp 8 cơ bản, dừng lại ở đây là đạt điểm tối đa).
 

 ⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải

1. Quên đóng ngoặc khi bình phương: Ví dụ ghi $(2x)^2 = 2x^2$ là SAI. Phải là $4x^2$.
2. Nhầm dấu giữa hai hằng đẳng thức:
   • Tổng lập phương ($A^3+B^3$) thì ngoặc nhỏ là dấu $(+)$, ngoặc lớn chứa dấu $(-)$.
   • Hiệu lập phương ($A^3-B^3$) thì ngoặc nhỏ là dấu $(-)$, ngoặc lớn chứa toàn dấu $(+)$.
3. Nhầm với bình phương của một tổng/hiệu: Nhiều em nhầm ngoặc lớn là $(A^2 - 2AB + B^2)$. Các em nhớ nhé, ở hằng đẳng thức lập phương, chỗ đó chỉ là $A \cdot B$ (tích thiếu), không có số 2.

Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!