Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn chi tiết bài toán này nhé! Đây là một bài toán hình học rất hay, giúp các em ôn luyện vững chắc kiến thức về hình thang cân và hình bình hành.  

 📌 Tóm tắt GT - KL và Cách vẽ hình

Giả thiết (GT):
Hình thang cân $ABMD$ ($AB // DM$, $AD = BM$).
$C \in DM$ sao cho $BC = BM$.
$AE \perp BD$ tại $E$, $CI \perp BD$ tại $I$.
$O$ là trung điểm $EI$.
Kết luận (KL):
a) $ABCD$ là hình bình hành.
b) $AECI$ là hình bình hành.
* c) $OB = OD$.

Cách vẽ hình:
1. Vẽ đoạn thẳng $DM$ nằm ngang.
2. Lấy điểm $C$ trên $DM$. Dùng compa vẽ cung tròn tâm $M$ bán kính $MC$ (không nên, đề cho $BC=BM$). Cách tốt nhất: Vẽ tam giác cân $BCM$ trước với $M, C$ nằm trên đường thẳng $DM$.
3. Vẽ $AB // DM$ sao cho $AD = BM$ để tạo thành hình thang cân.
4. Nối các điểm và vẽ các đường vuông góc $AE, CI$ xuống đường chéo $BD$.


💡 Sơ đồ phân tích ngược
a) Để $ABCD$ là hình bình hành:
$\uparrow$ Ta đã có $AB // CD$ (do $AB // DM$). Cần chứng minh $AD // BC$.
$\uparrow$ Cần chứng minh $\widehat{D} = \widehat{BCM}$ (hai góc ở vị trí đồng vị).
$\uparrow$ Mà $\widehat{D} = \widehat{M}$ (tính chất hình thang cân $ABMD$) và $\widehat{BCM} = \widehat{M}$ (do $\triangle BCM$ cân tại $B$).

b) Để $AECI$ là hình bình hành:
$\uparrow$ Ta có $AE // CI$ (cùng vuông góc với $BD$). Cần chứng minh $AE = CI$.
$\uparrow$ Chứng minh $\triangle AEB = \triangle CID$ (cạnh huyền - góc nhọn).
$\uparrow$ Có $AB = CD$ (cạnh đối hình bình hành $ABCD$) và $\widehat{ABE} = \widehat{CDI}$ (so le trong).

c) Để $OB = OD$:
$\uparrow$ Chứng minh $O$ là trung điểm của $BD$.
$\uparrow$ Ta biết trong hình bình hành $ABCD$, trung điểm của $AC$ cũng là trung điểm của $BD$.
$\uparrow$ Cần chứng minh $O$ là trung điểm của $AC$.
$\uparrow$ Điều này đúng vì $O$ là trung điểm đường chéo $EI$ của hình bình hành $AECI$.
 

💬 Lời giải giảng chi tiết từng bước

Ý a: Các em quan sát hình thang cân $ABMD$. Theo tính chất, hai góc ở đáy bằng nhau nên $\widehat{D} = \widehat{M}$. Đề bài cho $BC = BM$ nên tam giác $BCM$ cân tại $B$, dẫn đến góc ở đáy $\widehat{BCM} = \widehat{M}$. Từ đó suy ra $\widehat{D} = \widehat{BCM}$. Vì hai góc này ở vị trí đồng vị nên $AD // BC$. Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.

Ý b: Để chứng minh $AECI$ là hình bình hành, ta thấy ngay $AE$ và $CI$ cùng vuông góc với $BD$ nên chúng song song với nhau. Bây giờ chỉ cần chứng minh $AE = CI$ bằng cách xét hai tam giác vuông $AEB$ và $CID$. Hai tam giác này có cạnh huyền $AB = CD$ (do $ABCD$ là hình bình hành) và hai góc so le trong bằng nhau.

Ý c: Đây là tính chất về tâm đối xứng của hình bình hành. $O$ là trung điểm của $EI$ (đường chéo thứ nhất của $AECI$), suy ra $O$ cũng phải là trung điểm của $AC$ (đường chéo thứ hai). Mà $AC$ lại là đường chéo của hình bình hành lớn $ABCD$. Do đó, trung điểm $O$ của $AC$ cũng chính là trung điểm của đường chéo còn lại $BD$. Vậy $OB = OD$.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!