Chuyên đề: Hình Thang cân
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.
1. Định nghĩa.
- Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Trong hình thang cân:
- Hai góc kề một đáy bằng nhau.
- Hai cạnh bên bằng nhau.
- Hai đường chéo bằng nhau.
3. Dấu hiệu nhận biết.
- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
| Dạng 1: Tính số đo góc |
|
a) Chứng minh $BDEC$ là hình thang cân;
b) Tính góc của hình thang cân đó, biết rằng $\widehat{A}=50^{{}^\circ }$.
Lời giải
a) $\vartriangle ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{BCA}=\dfrac{180^{{}^\circ }-\widehat{A}}{2}$. (1)
Do $AD=AE$ nên $\vartriangle ADE$ cân tại $A$
$\Rightarrow \widehat{DEA}=\dfrac{180^{{}^\circ }-\widehat{A}}{2}$. (2)
Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow \widehat{BCA}=\widehat{DEA}\Rightarrow BC\parallel ED$. (3)
Lại có $\widehat{B}=\widehat{C}$. (4)
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $BCDE$ là hình thang cân.
b) Vì $BCDE$ là hình thang cân nên
$\widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{180^{{}^\circ }-\widehat{A}}{2}=\dfrac{180^{{}^\circ }-50^{{}^\circ }}{2}=65^{{}^\circ }$; $\widehat{E}=\widehat{D}=180^{{}^\circ }-\widehat{C}=115^{{}^\circ }$.
| Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng hoặc góc bằng nhau |
|
Lời giải
Do $ABCD$ là hình thang cân có $AB\parallel CD$
$\vartriangle ADC$ = $\vartriangle BCD$ do
AD=BC và $ \widehat{ADC}=\widehat{BCD} $ (tính chất hình thang cân)
$\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{BDC}$ (cặp góc tương ứng). Suy ra $\vartriangle OCD$ cân tại $O\Rightarrow OC=OD$.
Chứng minh tư tương tự với $OA=OB$.
Ví dụ 3. Cho hình thang cân $ABCD$ có $AB\parallel CD$, đường chéo $DB$ vuông góc với cạnh bên $BC$, $DB$ là tia phân giác góc $D$. Tính chu vi của hình thang, biết $BC=3$ cm.
Lời giải
Trong hình thang cân $ABCD$ có $\widehat{B}+\widehat{C}=180^{{}^\circ }$
$\Rightarrow \widehat{B_{1}}+90^{{}^\circ }+\widehat{D_{1}}+\widehat{D_{2}}=180^{{}^\circ }$
$\Leftrightarrow 3\widehat{B_{1}}=90^{{}^\circ }\Leftrightarrow \widehat{B_{1}}=30^{{}^\circ }\Leftrightarrow \widehat{C}=60^{{}^\circ }$.
Gọi $O=BC\cap AD\Rightarrow \vartriangle OCD$ đều nên $\widehat{AOB}=60^{{}^\circ }$.
$\vartriangle OAB$ có $OA=OB$, $\widehat{AOB}=60^{{}^\circ }$
$\Rightarrow \vartriangle OAB$ đều $\Rightarrow BA=AD=BC$.
Chu vi của hình thang $ABCD$ là $3+3+6+3=18$ cm.
| Dạng 3: Chứng minh tứ giác là hình thang cân |
|
a) $\vartriangle NKQ$ là tam giác cân; b) $\vartriangle MPQ=\vartriangle NQP$;
c) $MNPQ$ là hình thang cân.
Lời giải
a) Từ $N$ kẻ tia $Nx\parallel MP$, $Nx\cap QP=K$.
Do $MN\parallel PK\Rightarrow NK=MP\Rightarrow NK=NQ$ $(=MP)\Rightarrow \vartriangle NKQ$ cân tại $N$.
b) Do $\vartriangle NKQ$ cân tại $N$ nên $\widehat{NQP}=\widehat{NKQ}$. Mà $\widehat{NKQ}=\widehat{MPQ}$ (hai góc đồng vị), nên $\widehat{NQP}=\widehat{MPQ}$.
Xét $\vartriangle MQP$ và $\vartriangle NPQ$ có
- $MP=NQ$ (giả thiết);
- $\widehat{MPQ}=\widehat{NQP}$ (chứng minh trên);
- $QP$ là cạnh chung.
c) Do $\vartriangle MPQ=\vartriangle NQP$ nên $\widehat{MQP}=\widehat{NPQ}$
$\Rightarrow MNPQ$ là hình thang cân.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, các đường phân giác $BD$, $CE$ ($D\in AC$, $E\in AB$).
a) Chứng minh $BEDC$ là hình thang cân;
b) Tính các góc của hình thang cân $BEDC$, biết $\widehat{C}=50^{{}^\circ }$.
Lời giải
a) Do $\vartriangle ABC$ cân tại $A$ và $BD$, $CE$ là các đường phân giác suy ra hai tam giác $BCE$ và $CDB$ có
- $\widehat{EBC}=\widehat{DCB}$,
- $BC$ chung,
- $\widehat{BCE}=\widehat{DBC}$.
$\Rightarrow \widehat{B_{2}}=\widehat{C_{2}}$, $BD=EC$, $BE=DC$;
$\Rightarrow \vartriangle ADE$ cân tại A $\Rightarrow BEDC$ là hình thang cân.
b) Do $BCDE$ là hình thang cân có $\widehat{C}=50^{{}^\circ }$
nên suy ra $ \widehat{B}=\widehat{C}=50^{{}^{\circ}} $
và $ \widehat{E}=\widehat{D}=180^{{}^{\circ}}-\widehat{C}=130^{{}^{\circ}}. $
Bài 2. Cho hình thang cân $ABCD$ có $AB\parallel CD$, $O$ là giao điểm của hai đường chéo, $E$ là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên $AD$ và $BC$. Chứng minh
a) $OA=OB$, $OC=OD$;
b) $EO$ là đường trung trực của hai đáy hình thang $ABCD$.
Lời giải
a) Do $ABCD$ là hình thang cân $AB\parallel CD$
$\Rightarrow$ AD=BC và $ \widehat{BAD}=\widehat{ABC} $
$\vartriangle ABD$ = $\vartriangle BAC$ do
- $AD=BC$ ($ABCD$ là hình thang cân);
- $\widehat{BAD}=\widehat{ABC}$ ($ABCD$ là hình thang cân);
- $AB$ là cạnh chung.
Suy ra $\vartriangle OAB$ cân tại $O\Rightarrow OA=OB$.
Chứng minh tư tương tự với $OC=OD$.
b) $\vartriangle EBA$, $\vartriangle EDC$ cân tại $E$
$\Rightarrow AE=BE$, $ED=EC\Rightarrow E$ thuộc trung trực $AB$, $DC$. (1)
Mà $OA=OB$; $OC=OD$ (cmt) $\Rightarrow O$ thuộc trung trực $AB$, $DC$. (2)
Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow OE$ là đường trung trực của $AB$, $CD$.
Bài 3. Cho hình thang $ABCD$ ($AD\parallel BC$, $AD>BC$) có đường chéo $AC$ vuông góc với cạnh bên $CD$, $AC$ là tia phân giác góc $\widehat{BAD}$ và $\widehat{D}=60^{{}^\circ }$.
a) Chứng minh $ABCD$ là hình thang cân;
b) Tính độ dài cạnh $AD$, biết chu vi hình thang bằng $20$ cm.
Lời giải
a) Gọi $O=BD\cap DC$. Tam giác $OAD$ có $AC$ vừa là phân giác vừa là đường cao nên $\vartriangle OAD$ cân tại $A$.
Lại có $\widehat{D}=60^{{}^\circ }$ nên $\vartriangle OAD$ là tam giác đều. Suy ra $ABCD$ là hình thang cân.
b) Theo phần $a)$ $C$ là trung điểm $OD$, $BC\parallel AD\Rightarrow BC$ là đường trung bình trong $\vartriangle OAD\Rightarrow AD=2BC$.
Lại có $ABCD$ là hình thang cân $\Rightarrow AB=CD$.
Mà $AD=DO=2CD\Rightarrow AB=CD=BC$.
Do chu vi hình thang $ABCD$ là
$AD+DC+CB+BA=20\Leftrightarrow 5BC=20\Rightarrow BC=4\Rightarrow AD=8$ cm.
Bài 4. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Lấy điểm $D$ trên cạnh $AB$, điểm $E$ trên cạnh $AC$ sao cho $AD=AE$.
a) Tứ giác $BDEC$ là hình gì? Vì sao?
b) Các điểm $D$, $E$ ở vị trí nào thì $BD=DE=EC$?
Lời giải
a) $\vartriangle ABC$ cân tại $A\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{180^{{}^\circ }-\widehat{A}}{2}$. (1)
$\vartriangle ADE$ cân tại $A\Rightarrow \widehat{D}=\widehat{E}=\dfrac{180^{{}^\circ }-\widehat{A}}{2}$. (2)
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $BDEC$ là hình thang cân do $BC\parallel DE$ và $\widehat{B}=\widehat{C}$.
b) Giả sử $BD=DE=EC\Rightarrow BDE$ cân tại $D$
$\Rightarrow \widehat{B_{1}}=\widehat{E_{1}}=\widehat{B_{2}}$.
Tương tự $\vartriangle DEC$ cân tại $E\Rightarrow \widehat{C_{1}}=\widehat{C_{2}}$.
Vậy $BE$, $DC$ là các đường phân giác của $\vartriangle ABC$ thì $BD=DE=EC$.
Bài 5. Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng $40^{{}^\circ }$.
Lời giải
Giả sử $ABCD$ là hình thang cân có $\widehat{C}=\widehat{D}=40^{{}^\circ }$, suy ra $\widehat{A}=\widehat{B}=180^{{}^\circ }-\widehat{C}=140^{{}^\circ }$.
Bài 6. Cho hình thang cân $ABCD$ có $AB\parallel CD$ ($AB<CD)$. Kẻ các đường cao $AH$, $BK$. Chứng minh $DH=CK$.
Lời giải
Xét hai tam giác vuông $HAD$ và $KBC$ có $AD=BC$, $\widehat{HDA}=\widehat{KCB}$ $\Rightarrow \vartriangle HAD=\vartriangle KBC\Rightarrow DH=CK$.
Bài 7. Cho hình thang cân $ABCD$ có $AB\parallel CD$, $C=60^{{}^\circ }$. $DB$ là tia phân giác của góc $D$. Tính các cạnh của hình thang biết chu vi hình thang bằng $20$ cm.
Lời giải
Gọi $O=CB\cap DA\Rightarrow \vartriangle OCD$ đều.
$\Rightarrow AB=OA=OB$, $\widehat{BAD}=120^{{}^\circ }$.
Có $DB$ là tia phân giác của góc D
$\Rightarrow \widehat{D_{1}}=30^{{}^\circ }\Rightarrow \widehat{B_{1}}=30^{{}^\circ }$
$\Rightarrow \vartriangle ABD$ cân tại A.
$\Rightarrow AB=AD=BC$; $CD=2AB$.
Chu vi hình thang là $CD+DA+AB+BC=5AB=20\Rightarrow AB=4$.
Vậy $BC=AD=AB=4$ cm, $CD=8$ cm.
Bài 8. Cho hình thang $ABCD$ ($AB\parallel CD$), có $AC=BD$. Chứng minh $ABCD$ là hình thang cân.
Lời giải
Từ $A$ kẻ tia $Ax\parallel BD$, $Ax\cap CD=K$.
Do $AB\parallel KD\Rightarrow AK=BD$
$\Rightarrow \vartriangle ACK$ cân tại A $\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{AKC}$.
Lại có $\widehat{AKC}=\widehat{BDC}$ (hai góc đồng vị)
$\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{BDC}$.
Xét hai tam giác $BCD$ và $ADC$ có
- $BD=AC$ (giả thiết);
- $\widehat{BDC}=\widehat{ACD}$ (chứng minh trên);
- $CD$ là cạnh chung.
$\Rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{ADC}$
$\Rightarrow ABCD$ là hình thang cân.
Đang được quan tâm nhất Khối 8
Tài liệu mới cập nhật
Bài 17. Hằng đẳng thức đáng nhớ
22/09/2026
4
Bài 16. Tìm x
17/09/2026
10
Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức
08/09/2026
41