Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Thầy rất vui khi được đồng hành cùng các em. Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán này bằng cách phá vỡ từng bước khó khăn nhé!

 

💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải bài toán này, chúng ta cần vận dụng các kiến thức sau:
Biểu diễn số dư: Nếu số tự nhiên $a$ chia $m$ dư $r$ thì ta có thể viết: $a = m . k + r$ (với $k \in \mathbb{N}$ và $0 \le r < m$).
Hằng đẳng thức đáng nhớ: Lập phương của một tổng:
$(A + B)^3 = A^3 + 3 . A^2 . B + 3 . A . B^2 + B^3$
Tính chất chia hết của một tổng: Nếu mỗi số hạng trong một tổng đều chia hết cho $m$ thì tổng đó chia hết cho $m$.
Kỹ thuật tách số: Tách số hạng cuối cùng sao cho xuất hiện số chia và số dư theo yêu cầu đề bài.

💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)
Câu a)
Đầu tiên, vì $a$ chia $6$ dư $5$, ta viết $a$ dưới dạng $a = 6k + 5$ (trong đó $k$ là thương, là một số tự nhiên).
Bây giờ, chúng ta cần tính $a^3$. Nghĩa là ta phải tính $(6k + 5)^3$.
Áp dụng hằng đẳng thức $(A+B)^3$, ta có:
$a^3 = (6k)^3 + 3 . (6k)^2 . 5 + 3 . 6k . 5^2 + 5^3$
Các em hãy quan sát:
$(6k)^3$ chắc chắn chia hết cho $6$.
$3 . (6k)^2 . 5$ cũng chứa thừa số $6$ nên chia hết cho $6$.
$3 . 6k . 5^2$ cũng chứa thừa số $6$ nên chia hết cho $6$.
Vậy phần còn lại là $5^3 = 125$. Ta cần xem $125$ chia $6$ dư bao nhiêu.
Ta thấy $125 = 120 + 5$. Mà $120 = 6 . 20$ (chia hết cho $6$). Vậy $125$ chia $6$ dư $5$.
Kết hợp lại, toàn bộ biểu thức $a^3$ sẽ chia $6$ dư $5$.
Câu b)
Tương tự câu a, ta gọi $a = 6k + 4$.
Tính $a^3 = (6k + 4)^3$.
Khai triển: $a^3 = (6k)^3 + 3 . (6k)^2 . 4 + 3 . 6k . 4^2 + 4^3$.
Ba hạng tử đầu đều chứa thừa số $6$, nên chúng chia hết cho $6$.
Hạng tử cuối là $4^3 = 64$.
Ta tách $64 = 60 + 4$. Vì $60$ chia hết cho $6$ nên $64$ chia $6$ dư $4$.
* Vậy $a^3$ chia $6$ dư $4$.  

⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải

1. Quên điều kiện của $k$: Khi đặt $a = 6k + r$, các em cần ghi rõ $k \in \mathbb{N}$ (số tự nhiên).
2. Khai triển hằng đẳng thức sai: Rất nhiều bạn quên số $3$ trong công thức $3A^2B$ và $3AB^2$, hoặc tính nhầm giá trị của $5^3$ và $4^3$.
3. Chưa tối giản số dư: Ví dụ ở câu a, sau khi tính ra số dư là $125$, các em dừng lại là chưa đúng. Số dư luôn phải nhỏ hơn số chia (nhỏ hơn $6$). Do đó phải thực hiện bước chia $125$ cho $6$ để tìm số dư cuối cùng là $5$.
 

 🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)

Đề bài: Biết số tự nhiên $n$ chia $3$ dư $2$. Chứng minh rằng $n^3$ chia $3$ dư $2$.

Lời giải nhanh:
Vì $n$ chia $3$ dư $2$ nên $n = 3k + 2$ ($k \in \mathbb{N}$).
Ta có: $n^3 = (3k + 2)^3$
$n^3 = (3k)^3 + 3 . (3k)^2 . 2 + 3 . 3k . 2^2 + 2^3$
$n^3 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8$
$n^3 = 3 . (9k^3 + 18k^2 + 12k) + 6 + 2$
$n^3 = 3 . (9k^3 + 18k^2 + 12k + 2) + 2$
Vì $3 . (9k^3 + 18k^2 + 12k + 2)$ chia hết cho $3$ nên $n^3$ chia $3$ dư $2$.

Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!