các em cần quan sát, nhận xét để có hướng giải:

• Khi thấy $BD = BA$, ngay lập tức nhớ đến tam giác cân ($\Delta BAD$ cân tại $B$). Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau: $\widehat{BAD} = \widehat{BDA}$.

• Muốn chứng minh tia phân giác, ta cần chứng minh hai góc bằng nhau.

• Muốn chứng minh hình thang, ta cần chứng minh hai cạnh đối song song.

LỜI GIẢI VÀ GIẢI THÍCH CHI TIẾT CHO CÁC EM DỄ HIỂU NHÉ

a) Chứng minh $AD$ là tia phân giác của $\widehat{HAC}$

Để chứng minh $AD$ là phân giác của $\widehat{HAC}$, ta cần chứng minh: $\widehat{HAD} = \widehat{DAC}$.

Xét $\Delta ABD$ có $BA = BD$ (gt) $\Rightarrow \Delta ABD\text{ cân tại } B \Rightarrow \widehat{BAD} = \widehat{D_1}$

$\widehat{BAC} = \widehat{BAD} + \widehat{A_1} = 90^\circ $ ( $\Delta ABC$ vuông tại $A$)
Xét $\Delta AHD$ vuông tại $H$ ta có: $ \widehat{D_1} + \widehat{A_2} = 90^\circ $
Mà $\widehat{BAD} = \widehat{D_1}$ (cmt)
Suy ra $\widehat{A_1} = \widehat{A_2}$

Mà tia $AD$ nằm trong góc $HAC$ nên $AD$ là tia phân giác của $\widehat{HAC}$

b) Chứng minh tứ giác $HKED$ là hình thang

Để chứng minh $HKED$ là hình thang, ta cần chứng minh: $ED // HK$.
Các em chú ý mình đã có 1 đường vuông góc HK $\perp$ AC, vậy cần chứng minh DE $\perp$ AC, ta lại có AH  $\perp$ BC, vậy bài toán trở thành chứng minh 2 tam giác bằng nhau rồi suy ra 2 góc tương ứng bằng nhau và bằng $90^\circ $ mình làm nhiều ở lớp 7 rồi

Xét $\Delta AHD$ và $\Delta AED$ ta có

$AH = AE$ (gt).

$\widehat{A_2} = \widehat{A_1}$ (cmt).

$AD$ là cạnh chung.

$\Rightarrow \Delta AHD = \Delta AED \text{ (c.g.c)}$

Suy ra $\widehat{AHD} = \widehat{AED}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{AHD} = 90^\circ$ (do $AH \perp BC$).

$\Rightarrow \widehat{AED} = 90^\circ \Rightarrow ED \perp AC$

mà $HK \perp AC$ $\Rightarrow ED // HK$ (từ vuông góc đến song song)
(Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.)

Tứ giác $HKED$ có $ED // HK$ (cmt) nên Tứ giác $HKED$ là hình thang

c) Chứng minh tứ giác $HFEC$ là hình thang

Để chứng minh $HFEC$ là hình thang, ta cần chứng minh: $FE // BC$ (hay $FE // HC$).
Các em chú ý mình đã có 1 đường vuông góc CH $\perp$ AH, vậy cần chứng minh EF $\perp$ AH, ta lại có HK  $\perp$ AC, vậy bài toán trở thành chứng minh I là trực tâm của tam giác AHE, việc chứng minh AD $\perp$ HE dựa vào tính chất đường trung trực mình làm nhiều ở lớp 7 rồi

Ta có $\Delta AHD = \Delta AED$ (cmt) suy ra $DH = DE$ (2 cạnh tương ứng) suy ra D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng HE.
$AH = AE$ (gt) suy ra A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng HE.
Do đó AD là đường trung trực của đoạn thẳng HE $\Rightarrow$ AD $\perp$ HE
 $\Delta AHE$ có đường cao HK (HK $\perp$ AC) và đường cao AD (AD $\perp$ HE) cắt nhau tại I suy ra I là trực tâm của $\Delta AHE$ nên đường thẳng đi qua đỉnh E và trực tâm I phải vuông góc với cạnh đối diện AH, do đó EF $\perp$ AH
Mà CH $\perp$ AH nên $\Rightarrow EF // CH$ (từ vuông góc đến song song)
(Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.)

Tứ giác $HFEC$ có $EF // CH$ (cmt) nên Tứ giác $HFEC$ là hình thang