Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn chi tiết bài toán này ! Đây là một bài toán hình học rất hay giúp các em ôn tập vững chắc kiến thức về hình bình hành và tính chất của tam giác cân.  

📌 Tóm tắt GT - KL và Cách vẽ hình

Giả thiết (GT):
$\Delta ABC, AB = AC, \widehat{A} > 90^\circ$.
$AF \perp AB$ tại $A, F \in BC$.
$DF // AC, D \in AB$.
$E \in AC, CE = AD$.
Kết luận (KL):
a) $ADFE$ là hình bình hành.
b) Tính $S_{ADFE}$ khi $AD = 2$ cm, $AF = 5$ cm.

Cách vẽ hình:
1. Vẽ tam giác $ABC$ có góc $A$ tù và $AB = AC$.
2. Tại $A$, dùng ê-ke kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$, cắt $BC$ tại $F$.
3. Từ $F$, kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt cạnh $AB$ (hoặc phần kéo dài) tại $D$.
4. Trên cạnh $AC$, lấy điểm $E$ sao cho đoạn $CE$ có độ dài bằng đoạn $AD$.
5. Nối các đỉnh để hoàn thiện tứ giác $ADFE$.

💡 Sơ đồ phân tích ngược
Để chứng minh $ADFE$ là hình bình hành (ý a):
$ADFE$ là hình bình hành $\Leftarrow DF // AE$ và $DF = AE$.
$DF // AE$ đã có vì $DF // AC$ (giả thiết) và $E \in AC$.
Để chứng minh $DF = AE$:
Ta có $AE = AC - CE$ và $DF = DB$ (cần chứng minh $\Delta DBF$ cân).
$DB = AB - AD$.
Vì $AB = AC$ và $AD = CE$ (giả thiết) nên $AB - AD = AC - CE \Rightarrow DB = AE$.
Vậy chỉ cần chứng minh $DF = DB \Leftrightarrow \Delta DBF$ cân tại $D$.
$\Delta DBF$ cân $\Leftrightarrow \widehat{B} = \widehat{DFB}$.
Có $\widehat{B} = \widehat{C}$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$).
Có $\widehat{DFB} = \widehat{C}$ (hai góc đồng vị do $DF // AC$).
* Suy ra $\widehat{B} = \widehat{DFB} \Rightarrow$ Xong!


💬 Lời giải giảng chi tiết từng bước
Câu a:
Trước hết, các em quan sát tam giác $ABC$ cân tại $A$, nên hai góc ở đáy bằng nhau là $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$. Đề bài cho đường thẳng $DF // AC$, đây là chìa khóa để ta tìm các cặp góc bằng nhau. Theo tính chất góc đồng vị, ta thấy $\widehat{DFB} = \widehat{ACB}$. Từ đó suy ra $\widehat{ABC} = \widehat{DFB}$, dẫn đến tam giác $DBF$ cân tại $D$. Khi tam giác này cân, ta có ngay $DF = DB$.
Mặt khác, vì $AB = AC$ và đề bài cho $AD = CE$, khi thực hiện phép trừ đoạn thẳng ($AB - AD = AC - CE$), ta sẽ thấy $DB = AE$. Kết hợp lại, ta có $DF = AE$. Một tứ giác có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau thì chắc chắn là hình bình hành rồi!


Câu b:
Để tính diện tích hình bình hành, ta lấy cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng ($S = a . h$). Trong tứ giác $ADFE$, ta chọn $AD$ là cạnh đáy. Đề bài đã cho $AF \perp AB$ tại $A$. Vì $D$ nằm trên đường thẳng $AB$ nên $AF \perp AD$. Điều này nghĩa là $AF$ chính là đường cao tương ứng với cạnh đáy $AD$. Công việc còn lại chỉ là thay số và tính toán thôi.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!