💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải dạng toán chứng minh chia hết này, mục tiêu của chúng ta là biến đổi biểu thức về dạng:
(Số cần chứng minh chia hết) $\times$ (Một biểu thức nguyên).
Các kiến thức trọng tâm các em cần dùng:
1.  Hằng đẳng thức Hiệu hai bình phương: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. (Đây là cách nhanh nhất).
2.  Hằng đẳng thức Bình phương của một tổng/hiệu:
    *   $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
    *   $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$
3.  Tính chất chia hết: Nếu $k$ là một số nguyên thì biểu thức $4. k$ sẽ luôn chia hết cho 4.

💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)

Câu a) Chứng minh $(n + 2)^2 - n^2$ chia hết cho 4.
*   Bước 1: Nhận thấy biểu thức có dạng $A^2 - B^2$ với $A = n+2$ và $B = n$.
*   Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức:
    $(n + 2)^2 - n^2 = [(n + 2) - n][(n + 2) + n]$
*   Bước 3: Thu gọn từng ngoặc:
    *   Ngoặc thứ nhất: $n + 2 - n = 2$
    *   Ngoặc thứ hai: $n + 2 + n = 2n + 2$
*   Bước 4: Nhân kết quả lại: $2. (2n + 2)$. Ta thấy trong ngoặc $(2n + 2)$ vẫn còn nhân tử chung là $2$, ta đặt $2$ ra ngoài tiếp:
    $2. 2. (n + 1) = 4(n + 1)$.
*   Kết luận: Vì $4(n + 1)$ có chứa thừa số 4 nên nó chắc chắn chia hết cho 4.
Câu b) Chứng minh $(n + 5)^2 - (n - 5)^2$ chia hết cho 20.
*   Bước 1: Tương tự, dùng $A^2 - B^2$ với $A = n+5$ và $B = n-5$.
*   Bước 2: Khai triển: $[(n + 5) - (n - 5)][(n + 5) + (n - 5)]$
*   Bước 3: Cẩn thận khi phá ngoặc có dấu trừ đằng trước:
    *   Ngoặc thứ nhất: $n + 5 - n + 5 = 10$ (nhớ đổi dấu $-5$ thành $+5$).
    *   Ngoặc thứ hai: $n + 5 + n - 5 = 2n$.
*   Bước 4: Nhân lại: $10. 2n = 20n$.
*   Kết luận: Vì $20n$ có thừa số 20 nên chia hết cho 20 với mọi $n$ tự nhiên.
Câu c) $(n + 3)^2 - n^2$ chia hết cho 3? Có chia hết cho 6 không?
*   Ý 1 (Chia hết cho 3): Khai triển tương tự câu a:
    $(n + 3)^2 - n^2 = (n + 3 - n)(n + 3 + n) = 3. (2n + 3)$.
    Vì có thừa số 3 nên biểu thức chia hết cho 3.
*   Ý 2 (Có chia hết cho 6 không?): Để chia hết cho 6, thì vừa chia hết cho 3, vừa chia hết cho 2 (tức là phải là số chẵn).
    Xét biểu thức thu gọn: $3(2n + 3)$.
    Ta thấy $2n$ là số chẵn, nên $2n + 3$ sẽ luôn là số lẻ.
    Số lẻ nhân với 3 sẽ ra một số lẻ. Số lẻ thì không bao giờ chia hết cho 6.
    *Ví dụ:* Nếu $n=1$, ta có $3(2\cdot1 + 3) = 3. 5 = 15$. Số 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6.
 ⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải
1.  Sai dấu khi phá ngoặc: Ở câu b, khi tính $(n+5) - (n-5)$, nhiều em viết là $n+5-n-5 = 0$ là sai. Quy tắc là: *Trước ngoặc có dấu trừ, khi bỏ ngoặc phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong.* (Đúng phải là $n+5-n+5 = 10$).
2.  Quên đặt nhân tử chung triệt để: Ở câu a, sau khi ra $2(2n+2)$, nhiều em dừng lại và lúng túng không biết số 4 ở đâu ra. Các em cần nhớ quan sát xem trong ngoặc còn rút gọn được nữa không.
3.  Lầm tưởng về tính chia hết: Nhiều em thấy biểu thức có số 3 và số 6 liên quan đến nhau nên kết luận bừa là có chia hết cho 6. Hãy luôn thử một vài số cụ thể ($n=0, n=1$) để kiểm tra trước khi kết luận.

 🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)
Bài tập: Chứng minh rằng biểu thức $A = (n + 7)^2 - (n - 7)^2$ luôn chia hết cho 28 với mọi số tự nhiên $n$.

Đáp số ngắn gọn:
$A = [(n+7)-(n-7)][(n+7)+(n-7)] = (14). (2n) = 28n$.
Vì $28n$ có thừa số 28 nên $A \vdots 28$.