Bài 51- Trang 49
Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn chi tiết bài toán này, chỉ ra các lỗi sai các em hay gặp nhé! Đây là một bài toán rất hay kết hợp giữa tính chất của tam giác vuông, hình chữ nhật và sự biến đổi linh hoạt của các góc.
(2) Có được từ: $AD = AH$ (do $AB$ là trung trực $HD$) và $AE = AH$ (do $AC$ là trung trực $HE$).
(1) Có được từ: $\widehat{DAE} = \widehat{DAH} + \widehat{HAE} = 2\widehat{BAH} + 2\widehat{HAC} = 2(\widehat{BAH} + \widehat{HAC}) = 2 . 90^\circ = 180^\circ$.
b) Chứng minh $AM \perp FT$:
Gọi $K$ là giao điểm của $AM$ và $FT$.
$AM \perp FT \Leftarrow \widehat{AKF} = 90^\circ \Leftarrow \widehat{FAK} + \widehat{AFK} = 90^\circ$.
Trong $\Delta ABC$ vuông, trung tuyến $AM \Rightarrow AM = MC \Rightarrow \Delta AMC$ cân $\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{MCA}$.
Trong hình chữ nhật $AFHT$, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm $\Rightarrow \widehat{AF T} = \widehat{FAH}$.
Mà $\widehat{FAH} = \widehat{C}$ (cùng phụ với $\widehat{HAC}$).
💬 Lời giải chi tiết từng bước
Câu a: Chứng minh $A$ là trung điểm của $DE$.
1. Xét tứ giác $AFHT$ có: $\widehat{F AT} = 90^\circ$ (vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$), $\widehat{AFH} = 90^\circ$ (vì $HF \perp AB$), $\widehat{ATH} = 90^\circ$ (vì $HT \perp AC$). Do đó $AFHT$ là hình chữ nhật.
2. Vì $HF \perp AB$ và $F$ là trung điểm của $HD$, nên $AB$ là đường trung trực của đoạn thẳng $HD$. Suy ra $AD = AH$ và $\Delta ADH$ cân tại $A$. Khi đó, $AB$ đồng thời là đường phân giác của $\widehat{DAH}$, nên $\widehat{DAB} = \widehat{BAH}$.
3. Tương tự, $AC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $HE$, nên $AE = AH$ và $\Delta AEH$ cân tại $A$. Suy ra $\widehat{EAC} = \widehat{CAH}$.
4. Từ $AD = AH$ và $AE = AH$, ta có $AD = AE$.
5. Ta có $\widehat{DAE} = \widehat{DAB} + \widehat{BAH} + \widehat{HAC} + \widehat{CAE} = 2\widehat{BAH} + 2\widehat{HAC} = 2 . (\widehat{BAH} + \widehat{HAC}) = 2 . 90^\circ = 180^\circ$. Vậy $D, A, E$ thẳng hàng.
6. Kết hợp $AD = AE$ và $D, A, E$ thẳng hàng, ta kết luận $A$ là trung điểm của $DE$.
Câu b: Chứng minh $AM \perp FT$
1. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AH$ và $FT$ của hình chữ nhật $AFHT$. Khi đó $OA = OF$, suy ra $\Delta OAF$ cân tại $O$ $\Rightarrow \widehat{AF T} = \widehat{FAH}$.
2. Trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$, có $AH$ là đường cao nên $\widehat{FAH} = \widehat{C}$ (vì cùng phụ với $\widehat{HAC}$). Do đó $\widehat{AF T} = \widehat{C}$.
3. Mặt khác, $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AM = MB = MC = \frac{1}{2} BC$.
4. Xét $\Delta AMC$ có $AM = MC$ nên $\Delta AMC$ cân tại $M$ $\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{MCA}$ (hay $\widehat{MAC} = \widehat{C}$).
5. Gọi $K$ là giao điểm của $AM$ và $FT$. Trong $\Delta AFK$ có:
$\widehat{FAK} + \widehat{AFK} = (90^\circ - \widehat{MAC}) + \widehat{AF T} = (90^\circ - \widehat{C}) + \widehat{C} = 90^\circ$.
6. Vậy $\widehat{AKF} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \Rightarrow AM \perp FT$.
Cách khắc phục: Luôn phải chứng minh $\widehat{DAE} = 180^\circ$ trước khi kết luận trung điểm.
2. Lỗi sử dụng tính chất trung tuyến: Nhầm lẫn $AM = \frac{1}{2} BC$ chỉ đúng trong tam giác vuông.
Cách khắc phục: Phải nêu rõ "Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là trung tuyến".
3. Lỗi ký hiệu: Dùng ký hiệu $\perp$ hoặc // không đúng chỗ.
Cách khắc phục:* Kiểm tra kỹ các cặp đường thẳng vuông góc hoặc song song đề bài cho.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
Đề bài: Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, trung tuyến $AM$. Vẽ $HF \perp AB$ tại $F$, $HT \perp AC$ tại $T$. Gọi $D$ và $E$ lần lượt là các điểm sao cho $F$ và $T$ lần lượt là trung điểm của $HD$ và $HE$.
a) Chứng minh $A$ là trung điểm của $DE$.
b) Chứng minh $AM \perp FT$.
a) Chứng minh $A$ là trung điểm của $DE$.
b) Chứng minh $AM \perp FT$.
📌 Tóm tắt GT - KL và Dạng toán
Giả thiết (GT):
$\Delta ABC$, $\widehat{A} = 90^\circ$, $AH \perp BC$, $M \in BC$ sao cho $MB = MC$.
$HF \perp AB$ tại $F$, $HT \perp AC$ tại $T$.
$F$ là trung điểm $HD$, $T$ là trung điểm $HE$.
Kết luận (KL):
a) $A$ là trung điểm của $DE$.
b) $AM \perp FT$.
Dạng toán: Chứng minh trung điểm và chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa trên tính chất đối xứng và góc của tam giác vuông.
$\Delta ABC$, $\widehat{A} = 90^\circ$, $AH \perp BC$, $M \in BC$ sao cho $MB = MC$.
$HF \perp AB$ tại $F$, $HT \perp AC$ tại $T$.
$F$ là trung điểm $HD$, $T$ là trung điểm $HE$.
Kết luận (KL):
a) $A$ là trung điểm của $DE$.
b) $AM \perp FT$.
Dạng toán: Chứng minh trung điểm và chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa trên tính chất đối xứng và góc của tam giác vuông.
💡 Sơ đồ phân tích ngược
a) Chứng minh $A$ là trung điểm của $DE$:$A$ là trung điểm $DE$ $\Leftarrow \begin{cases} D, A, E \text{ thẳng hàng (1)} \\ AD = AE \text{ (2)} \end{cases}$(2) Có được từ: $AD = AH$ (do $AB$ là trung trực $HD$) và $AE = AH$ (do $AC$ là trung trực $HE$).
(1) Có được từ: $\widehat{DAE} = \widehat{DAH} + \widehat{HAE} = 2\widehat{BAH} + 2\widehat{HAC} = 2(\widehat{BAH} + \widehat{HAC}) = 2 . 90^\circ = 180^\circ$.
b) Chứng minh $AM \perp FT$:
Gọi $K$ là giao điểm của $AM$ và $FT$.
$AM \perp FT \Leftarrow \widehat{AKF} = 90^\circ \Leftarrow \widehat{FAK} + \widehat{AFK} = 90^\circ$.
Trong $\Delta ABC$ vuông, trung tuyến $AM \Rightarrow AM = MC \Rightarrow \Delta AMC$ cân $\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{MCA}$.
Trong hình chữ nhật $AFHT$, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm $\Rightarrow \widehat{AF T} = \widehat{FAH}$.
Mà $\widehat{FAH} = \widehat{C}$ (cùng phụ với $\widehat{HAC}$).
💬 Lời giải chi tiết từng bước
Câu a: Chứng minh $A$ là trung điểm của $DE$.
1. Xét tứ giác $AFHT$ có: $\widehat{F AT} = 90^\circ$ (vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$), $\widehat{AFH} = 90^\circ$ (vì $HF \perp AB$), $\widehat{ATH} = 90^\circ$ (vì $HT \perp AC$). Do đó $AFHT$ là hình chữ nhật.
2. Vì $HF \perp AB$ và $F$ là trung điểm của $HD$, nên $AB$ là đường trung trực của đoạn thẳng $HD$. Suy ra $AD = AH$ và $\Delta ADH$ cân tại $A$. Khi đó, $AB$ đồng thời là đường phân giác của $\widehat{DAH}$, nên $\widehat{DAB} = \widehat{BAH}$.
3. Tương tự, $AC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $HE$, nên $AE = AH$ và $\Delta AEH$ cân tại $A$. Suy ra $\widehat{EAC} = \widehat{CAH}$.
4. Từ $AD = AH$ và $AE = AH$, ta có $AD = AE$.
5. Ta có $\widehat{DAE} = \widehat{DAB} + \widehat{BAH} + \widehat{HAC} + \widehat{CAE} = 2\widehat{BAH} + 2\widehat{HAC} = 2 . (\widehat{BAH} + \widehat{HAC}) = 2 . 90^\circ = 180^\circ$. Vậy $D, A, E$ thẳng hàng.
6. Kết hợp $AD = AE$ và $D, A, E$ thẳng hàng, ta kết luận $A$ là trung điểm của $DE$.
a) Chứng minh $A$ là trung điểm của $DE$.
Ta có $HF \perp AB$ tại $F$ và $F$ là trung điểm $HD$ (gt) $\Rightarrow AB$ là trung trực $HD \Rightarrow AD = AH$.
Tương tự $AC$ là trung trực $HE \Rightarrow AE = AH$. Do đó $AD = AE$.
Vì $\Delta ADH$ cân tại $A$ nên $AB$ là phân giác $\Rightarrow \widehat{DAH} = 2 . \widehat{BAH}$.
Vì $\Delta AEH$ cân tại $A$ nên $AC$ là phân giác $\Rightarrow \widehat{HAE} = 2 . \widehat{HAC}$.
$\widehat{DAE} = \widehat{DAH} + \widehat{HAE} = 2 . (\widehat{BAH} + \widehat{HAC}) = 2 . 90^\circ = 180^\circ$.
Vậy $D, A, E$ thẳng hàng và $AD = AE$ nên $A$ là trung điểm $DE$.
Ta có $HF \perp AB$ tại $F$ và $F$ là trung điểm $HD$ (gt) $\Rightarrow AB$ là trung trực $HD \Rightarrow AD = AH$.
Tương tự $AC$ là trung trực $HE \Rightarrow AE = AH$. Do đó $AD = AE$.
Vì $\Delta ADH$ cân tại $A$ nên $AB$ là phân giác $\Rightarrow \widehat{DAH} = 2 . \widehat{BAH}$.
Vì $\Delta AEH$ cân tại $A$ nên $AC$ là phân giác $\Rightarrow \widehat{HAE} = 2 . \widehat{HAC}$.
$\widehat{DAE} = \widehat{DAH} + \widehat{HAE} = 2 . (\widehat{BAH} + \widehat{HAC}) = 2 . 90^\circ = 180^\circ$.
Vậy $D, A, E$ thẳng hàng và $AD = AE$ nên $A$ là trung điểm $DE$.
Câu b: Chứng minh $AM \perp FT$
1. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AH$ và $FT$ của hình chữ nhật $AFHT$. Khi đó $OA = OF$, suy ra $\Delta OAF$ cân tại $O$ $\Rightarrow \widehat{AF T} = \widehat{FAH}$.
2. Trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$, có $AH$ là đường cao nên $\widehat{FAH} = \widehat{C}$ (vì cùng phụ với $\widehat{HAC}$). Do đó $\widehat{AF T} = \widehat{C}$.
3. Mặt khác, $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AM = MB = MC = \frac{1}{2} BC$.
4. Xét $\Delta AMC$ có $AM = MC$ nên $\Delta AMC$ cân tại $M$ $\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{MCA}$ (hay $\widehat{MAC} = \widehat{C}$).
5. Gọi $K$ là giao điểm của $AM$ và $FT$. Trong $\Delta AFK$ có:
$\widehat{FAK} + \widehat{AFK} = (90^\circ - \widehat{MAC}) + \widehat{AF T} = (90^\circ - \widehat{C}) + \widehat{C} = 90^\circ$.
6. Vậy $\widehat{AKF} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \Rightarrow AM \perp FT$.
b) Chứng minh $AM \perp FT$
Gọi $K$ là giao điểm của $AM$ và $FT$
Tứ giác $AFHT$ là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) $\Rightarrow \widehat{AFT} = \widehat{FAH}$.
Mà $\widehat{FAH} = \widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$). Suy ra $\widehat{AFT} = \widehat{ACB}$.
$\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là trung tuyến $\Rightarrow AM = MC \Rightarrow \Delta MAC$ cân tại $M \Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{ACB}$.
Ta có: $\widehat{KAF} + \widehat{AFK} = \widehat{KAF} + \widehat{ACB} = \widehat{KAF} + \widehat{MAC} = \widehat{FAC} = 90^\circ$.
Vậy $\Delta AKF$ vuông tại $K$ $\Rightarrow AM \perp FT$.
Gọi $K$ là giao điểm của $AM$ và $FT$
Tứ giác $AFHT$ là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) $\Rightarrow \widehat{AFT} = \widehat{FAH}$.
Mà $\widehat{FAH} = \widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$). Suy ra $\widehat{AFT} = \widehat{ACB}$.
$\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là trung tuyến $\Rightarrow AM = MC \Rightarrow \Delta MAC$ cân tại $M \Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{ACB}$.
Ta có: $\widehat{KAF} + \widehat{AFK} = \widehat{KAF} + \widehat{ACB} = \widehat{KAF} + \widehat{MAC} = \widehat{FAC} = 90^\circ$.
Vậy $\Delta AKF$ vuông tại $K$ $\Rightarrow AM \perp FT$.
⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải & Cách phòng tránh
1. Lỗi chưa chứng minh thẳng hàng: Rất nhiều bạn chỉ chứng minh $AD = AE$ rồi kết luận ngay $A$ là trung điểm. Điều này sai vì $D, A, E$ có thể tạo thành một tam giác cân tại $A$.Cách khắc phục: Luôn phải chứng minh $\widehat{DAE} = 180^\circ$ trước khi kết luận trung điểm.
2. Lỗi sử dụng tính chất trung tuyến: Nhầm lẫn $AM = \frac{1}{2} BC$ chỉ đúng trong tam giác vuông.
Cách khắc phục: Phải nêu rõ "Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là trung tuyến".
3. Lỗi ký hiệu: Dùng ký hiệu $\perp$ hoặc // không đúng chỗ.
Cách khắc phục:* Kiểm tra kỹ các cặp đường thẳng vuông góc hoặc song song đề bài cho.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
Đang được quan tâm nhất Khối 8
Tài liệu mới cập nhật
Bài 17. Hằng đẳng thức đáng nhớ
22/09/2026
4
Bài 16. Tìm x
17/09/2026
9
Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức
08/09/2026
41