Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Thầy rất vui khi được đồng hành cùng các em. Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán này bằng cách phá vỡ từng bước khó khăn nhé!

Đây là một bài toán rất hay thuộc chương Hằng đẳng thức đáng nhớ trong chương trình Toán 8 (Kết nối tri thức). Để giải tốt các bài này, chúng ta cần sự quan sát tinh tế để nhận ra các hằng đẳng thức ẩn giấu.
 

 📌 Đề bài nhận diện

Bài 17.
a) Cho $x = 99$. Tính giá trị của biểu thức: $A = x^3 + 3x^2 + 3x$.
b) Cho $x - y = 7$. Tính giá trị của biểu thức: $B = x^2 - 2xy + y^2 - 5x + 5y + 6$.
c) Cho $x + y = 1$. Tính giá trị của biểu thức: $C = 3(x^2 + y^2) - 2(x^3 + y^3)$.
d) Cho $x + y = 101$. Tính giá trị của biểu thức: $D = x^3 - 3x^2 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - 3y^2 - 6xy + 3x + 3y + 2012$.


💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức sau:
1. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3. $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
4. $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
5. $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ hoặc $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$

Chiến thuật chung: Không nên thay số trực tiếp ngay từ đầu vì sẽ rất lẻ và khó tính. Hãy nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc xuất hiện các cụm $(x+y)$ hay $(x-y)$ mà đề bài đã cho.


💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)
Câu a: Quan sát biểu thức $x^3 + 3x^2 + 3x$, ta thấy nó rất giống với hằng đẳng thức $(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$. Tuy nhiên nó đang thiếu số $1$. Ta sẽ dùng "chiêu" thêm $1$ và bớt $1$ vào biểu thức.

Câu b: Ta thấy $x^2 - 2xy + y^2$ chính là $(x-y)^2$. Phần còn lại $-5x + 5y$, nếu ta đặt $-5$ ra ngoài làm nhân tử chung, ta sẽ được $-5(x-y)$. Cả hai phần đều xuất hiện $(x-y)$ là giả thiết đề cho.

Câu c: (Thầy lưu ý đề bài trong ảnh chỗ $x^3 + x^3$ thường là lỗi đánh máy, đúng chuẩn phải là $x^3 + y^3$ để khớp với giả thiết $x+y=1$, Thầy sẽ giải theo hướng $x^3+y^3$ nhé).
Ta biến đổi $x^2+y^2$ thành $(x+y)^2 - 2xy$ và $x^3+y^3$ thành $(x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Sau đó thay $x+y=1$ vào để triệt tiêu các hạng tử phức tạp.

Câu d: Biểu thức này nhìn rất dài nhưng nếu biết nhóm lại sẽ rất đẹp:
- Nhóm các bậc 3: $x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = (x+y)^3$.
- Nhóm các bậc 2: $-3x^2 - 6xy - 3y^2 = -3(x^2 + 2xy + y^2) = -3(x+y)^2$.
- Nhóm các bậc 1: $3x + 3y = 3(x+y)$.
Sau khi nhóm, biểu thức trở thành một dạng của hằng đẳng thức $(A-1)^3$ mở rộng.
 

 ✍️ Trình bày chuẩn (Nội dung các em ghi vào vở)

a) Tính $A = x^3 + 3x^2 + 3x$ với $x = 99$
Ta có: $A = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 1$
$A = (x + 1)^3 - 1$
Thay $x = 99$ vào biểu thức, ta được:
$A = (99 + 1)^3 - 1$
$A = 100^3 - 1 = 1.000.000 - 1$
$A = 999.999$.

b) Tính $B = x^2 - 2xy + y^2 - 5x + 5y + 6$ với $x - y = 7$
Ta có: $B = (x^2 - 2xy + y^2) - (5x - 5y) + 6$
$B = (x - y)^2 - 5.(x - y) + 6$
Thay $x - y = 7$ vào biểu thức, ta được:
$B = 7^2 - 5 . 7 + 6$
$B = 49 - 35 + 6 = 20$.

c) Tính $C = 3(x^2 + y^2) - 2(x^3 + y^3)$ với $x + y = 1$
Ta có: $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 1^2 - 2xy = 1 - 2xy$
$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 1 . (x^2 + y^2 - xy) = (1 - 2xy - xy) = 1 - 3xy$
Thay vào $C$:
$C = 3.(1 - 2xy) - 2.(1 - 3xy)$
$C = 3 - 6xy - 2 + 6xy$
$C = 1$.

d) Tính $D$ với $x + y = 101$
$D = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (3x^2 + 6xy + 3y^2) + (3x + 3y) + 2012$
$D = (x + y)^3 - 3(x + y)^2 + 3(x + y) + 2012$
Đặt $t = x + y = 101$, biểu thức trở thành:
$D = t^3 - 3t^2 + 3t + 2012$
$D = (t^3 - 3t^2 + 3t - 1) + 2013$
$D = (t - 1)^3 + 2013$
Thay $t = 101$ vào:
$D = (101 - 1)^3 + 2013 = 100^3 + 2013$
$D = 1.000.000 + 2013 = 1.002.013$.
 

 ⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải

1. Lỗi đổi dấu khi đặt nhân tử chung: Ở câu (b), khi nhóm $-5x + 5y$, nhiều em viết thành $-5(x+y)$ là sai. Phải là $-5(x-y)$ vì khi phá ngoặc $(-5) . (-y) = +5y$.
2. Lỗi tính lũy thừa: $100^3$ nhiều em tính nhầm thành $10.000$ hoặc $300$. Nhớ rằng $100^3$ có $2 . 3 = 6$ chữ số không.
3. Lỗi không nhận diện được hằng đẳng thức mở rộng: Ở câu (d), nếu không thấy được dạng $(t-1)^3$ thì việc tính $101^3$ sẽ rất mất thời gian và dễ sai sót.
 

 🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)

Bài tập 1: Cho $x = 11$. Tính giá trị của biểu thức $M = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.
Lời giải nhanh: $M = (x-1)^3 = (11-1)^3 = 10^3 = 1000$.

Bài tập 2: Cho $x + y = 5$. Tính $N = x^2 + 2xy + y^2 - 4x - 4y + 1$.
Lời giải nhanh: $N = (x+y)^2 - 4(x+y) + 1 = 5^2 - 4 . 5 + 1 = 25 - 20 + 1 = 6$.

Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!