Dạng 4: ĐA THỨC ĐA ẨN
Dạng 4: ĐA THỨC ĐA ẨN
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{2}+y^{2}-z^{2}+2xy-2z-1$
HD:
Ta có: $x^{2}+y^{2}-z^{2}+2xy-2z-1=\left( x^{2}+2xy+y^{2} \right)-\left( z^{2}+2z+1 \right)=\left( x+y \right)^{2}-\left( z+1 \right)^{2}$
$=\left( x+y+z+1 \right)\left( x+y-z-1 \right)$
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{2}-y^{2}+z^{2}-2xz+2y-1$
HD:
Ta có: $x^{2}-y^{2}+z^{2}-2xz+2y-1=\left( x^{2}-2xz+z^{2} \right)-\left( y^{2}-2y+1 \right)=\left( x-z \right)^{2}-\left( y-1 \right)^{2}$
$\left( x-z+y-1 \right)\left( x-z-y+1 \right)$
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{6}-2x^{4}-x^{3}y^{3}+2xy^{3}$
HD:
Ta có: $x^{6}-2x^{4}-x^{3}y^{3}+2xy^{3}=$$x\left( x^{5}-2x^{3}-x^{2}y^{3}+2y^{3} \right)$
= $x\left[ x^{3}\left( x^{2}-2 \right)-y^{3}\left( x^{2}-2 \right) \right]=x\left( x^{3}-y^{3} \right)\left( x^{2}-2 \right)$= $x\left( x-y \right)\left( x^{2}-2 \right)\left( x^{2}+xy+y^{2} \right)$
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{6}-x^{4}-9x^{3}+9x^{2}$
HD:
Ta có: $x^{6}-x^{4}-9x^{3}+9x^{2}$ = $x^{2}\left( x^{4}-x^{2}-9x+9 \right)$
= $x^{2}\left[ x^{2}\left( x^{2}-1 \right)-9\left( x-1 \right) \right]=x^{2}\left[ x^{2}\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)-9\left( x-1 \right) \right]$= $x^{2}\left( x-1 \right)\left( x^{3}+x^{2}-9 \right)$
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( a+b+c \right)^{2}+\left( a-b+c \right)^{2}-4b^{2}$
HD:
Ta có: $\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca \right)+\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc+2ac \right)-4b^{2}$
$=\left( 2a^{2}+2c^{2}-2b^{2}+4ac \right)=2\left( a^{2}+2ac+c^{2}-b^{2} \right)=2\left[ \left( a+c \right)^{2}-b^{2} \right]$
$=2\left( a+c+b \right)\left( a+c-b \right)$
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: $a\left( b^{2}-c^{2} \right)-b\left( c^{2}-a^{2} \right)+c\left( a^{2}-b^{2} \right)$
HD:
Ta có:$ab^{2}-ac^{2}-bc^{2}+a^{2}b+a^{2}c-b^{2}c=a^{2}\left( b+c \right)+b^{2}\left( a-c \right)-c^{2}\left( a+b \right)$
= $a^{2}\left( b+c \right)+b^{2}\left[ \left( a+b \right)-\left( b+c \right) \right]-c^{2}\left( a+b \right)$
= $a^{2}\left( b+c \right)+b^{2}\left( a+b \right)-b^{2}\left( b+c \right)-c^{2}\left( a+b \right)$
= $\left( b+c \right)\left( a^{2}-b^{2} \right)+\left( a+b \right)\left( b^{2}-c^{2} \right)=\left( b+c \right)\left( a-b \right)\left( a+b \right)+\left( a+b \right)\left( b-c \right)\left( b+c \right)$
= $\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( a-b+b-c \right)=\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( a-c \right)$
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: $xy\left( x+y \right)+yz\left( y+z \right)+zx\left( x+z \right)+3xyz$
HD:
Ta có:= $\left[ xy\left( x+y \right)+xyz \right]+\left[ yz\left( y+z \right)+xyz \right]+\left[ zx\left( z+x \right)+xyz \right]$
= $xy\left( x+y+z \right)+yz\left( x+y+z \right)+zx\left( x+y+z \right)=\left( x+y+z \right)\left( xy+yz+zx \right)$
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: $xy\left( x+y \right)-yz\left( y+z \right)-zx\left( z-x \right)$
HD:
Ta có: = $xy\left( x+y \right)-yz\left( y+z \right)-zx\left[ \left( y+z \right)-\left( x+y \right) \right]$
= $xy\left( x+y \right)-yz\left( y+z \right)-zx\left( y+z \right)+zx\left( x+y \right)$
= $x\left( x+y \right)\left( y+z \right)-z\left( y+z \right)\left( x+y \right)=\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( x-z \right)$
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}\left( y-z \right)+y^{4}\left( z-x \right)+z^{4}\left( x-y \right)$
HD:
Ta có: $x^{4}\left( y-z \right)+y^{4}\left[ -\left( y-z \right)-\left( x-y \right) \right]+z^{4}\left( x-y \right)$
= $x^{4}\left( y-z \right)-y^{4}\left( y-z \right)-y^{4}\left( x-y \right)+z^{4}\left( x-y \right)$
= $\left( y-z \right)\left( x^{4}-y^{4} \right)-\left( x-y \right)\left( y^{4}-z^{4} \right)$
= $\left( y-z \right)\left( x-y \right)\left( x+y \right)\left( x^{2}+y^{2} \right)-\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( y+z \right)\left( y^{2}+z^{2} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left[ \left( x+y \right)\left( x^{2}+y^{2} \right)-\left( y+z \right)\left( y^{2}+z^{2} \right) \right]$
= $\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( x^{3}+xy^{2}+x^{2}y+y^{3}-y^{3}-yz^{2}-y^{2}z-z^{3} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( x^{3}-z^{3}+y^{2}\left( x-z \right)+y\left( x^{2}-z^{2} \right) \right)$
= $\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left[ \left( x-z \right)\left( x^{2}+xz+z^{2} \right)+y^{2}\left( x-z \right)+y\left( x-z \right)\left( x+z \right) \right]$
= $\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( x-z \right)\left( x^{2}+xz+z^{2}+y^{2}+xy+yz \right)$
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( a+b+c \right)\left( ab+bc+ca \right)-abc$
HD:
Ta có: $a^{2}b+abc+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+abc+abc+bc^{2}+ac^{2}-abc$
= $\left( a^{2}b+ab^{2}+abc \right)+\left( b^{2}c+bc^{2}+abc \right)+a^{2}c+ca^{2}$
= $ab\left( a+b+c \right)+bc\left( a+b+c \right)+ac\left( a+c \right)$
= $b\left( a+b+c \right)\left( a+c \right)+ac\left( a+c \right)$
= $\left( a+c \right)\left( ab+b^{2}+bc+ac \right)=\left( a+c \right)\left( b+c \right)\left( a+b \right)$
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( a+b+c \right)^{3}-\left( a+b-c \right)^{3}-\left( b+c-a \right)^{3}-\left( c+a-b \right)^{3}$
HD:
Ta có:$\left( a+b+c \right)^{3}-\left[ \left( a+b-c \right)^{3}+\left( b+c-a \right)^{3}+\left( c+a-b \right)^{3} \right]$
$\begin{cases} x = a + b - c \\ y = b + c - a \Rightarrow x + y + z = a + b + c \\ z = c + a - b \end{cases}$
= $\left( x+y+z \right)^{3}-\left( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right)=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)-x^{3}-y^{3}-z^{3}$
= $3\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)=3.2a.2b.2c=24abc$
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: $a^{2}\left( b-c \right)+b^{2}\left( c-a \right)+c^{2}\left( a-b \right)$
HD:
Ta có:$a^{2}\left( b-c \right)+b^{2}\left[ -\left( b-c \right)-\left( a-b \right) \right]+c^{2}\left( a-b \right)$
= $a^{2}\left( b-c \right)-b^{2}\left( b-c \right)-b^{2}\left( a-b \right)+c^{2}\left( a-b \right)$
= $\left( b-c \right)\left( a-b \right)\left( a+b \right)-\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( b+c \right)$
= $\left( b-c \right)\left( a-b \right)\left( a+b-b-c \right)=\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( a-c \right)$
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x\left( y^{3}-z^{3} \right)+y\left( z^{3}-x^{3} \right)+z\left( x^{3}-y^{3} \right)$
HD:
Ta có:$xy^{3}-xz^{3}+yz^{3}-x^{3}y+x^{3}z-y^{3}z$
= $x^{3}\left( z-y \right)+y^{3}\left( x-z \right)+z^{3}\left( y-x \right)$
= $x^{3}\left( z-y \right)+y^{3}\left[ -\left( z-y \right)-\left( y-x \right) \right]+z^{3}\left( y-x \right)$
= $x^{3}\left( z-y \right)-y^{3}\left( z-y \right)-y^{3}\left( y-x \right)+z^{3}\left( y-x \right)$
= $\left( z-y \right)\left( x^{3}-y^{3} \right)+\left( y-x \right)\left( z^{3}-y^{3} \right)$
= $\left( z-y \right)\left( x-y \right)\left( x^{2}+xy+y^{2} \right)+\left( y-x \right)\left( z-y \right)\left( z^{2}+yz+y^{2} \right)$
= $\left( z-y \right)\left( x-y \right)\left( x^{2}+xy+y^{2}-z^{2}-yz-y^{2} \right)$
= $\left( z-y \right)\left( x-y \right)\left( x^{2}-z^{2}+xy-yz \right)=\left( z-y \right)\left( x-y \right)\left( x-z \right)\left( x+y+z \right)$
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)\left( x+y+z \right)^{2}+\left( xy+yz+zx \right)^{2}$
HD:
Ta có: $\left( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)\left[ \left( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)+2\left( xy+yz+zx \right) \right]+\left( xy+yz+zx \right)^{2}$
Đặt: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a,xy+yz+zx=b$ khi đó đa thức:
$a\left( a+2b \right)+b^{2}$
$=a^{2}+2ab+b^{2}=\left( a+b \right)^{2}=\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx \right)^{2}$
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: $2\left( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right)-\left( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)^{2}-2\left( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)\left( x+y+z \right)^{2}+\left( x+y+z \right)^{4}$
HD:
Đặt: $x^{4}+y^{4}+z^{4}=a,x^{2}+y^{2}+z^{2}=b,x+y+z=c$,
Khi đó ta có:
$2a-b^{2}-2bc^{2}+c^{4}=2a-2b^{2}+b^{2}-2bc^{2}+c^{4}=2\left( a-b^{2} \right)+\left( b-c^{2} \right)^{2}$,
Lại có :
$a-b^{2}=-2\left( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2} \right)$ và $b-c^{2}=-2\left( xy+yz+zx \right)$,
Thay vào ta được : $-4\left( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2} \right)+4\left( xy+yz+zx \right)^{2}=8xyz\left( x+y+z \right)$
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: $-c^{2}\left( a-b \right)+b^{2}\left( a-c \right)-a^{2}\left( b-c \right)$
HD :
Ta có : $-c^{2}\left( a-b \right)+b^{2}\left[ \left( a-b \right)+\left( b-c \right) \right]-a^{2}\left( b-c \right)$
= $-c^{2}\left( a-b \right)+b^{2}\left( a-b \right)+b^{2}\left( b-c \right)-a^{2}\left( b-c \right)$
= $\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( b+c \right)+\left( b-c \right)\left( b-a \right)\left( b+a \right)$
= $\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( b+c-a-b \right)=\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)$
Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x-y \right)z^{3}+\left( y-z \right)x^{3}+\left( z-x \right)y^{3}$
HD :
Ta có :$z^{3}\left( x-y \right)+x^{3}\left[ -\left( x-y \right)-\left( z-x \right) \right]+y^{3}\left( z-x \right)$
= $z^{3}\left( x-y \right)-x^{3}\left( x-y \right)+y^{3}\left( z-x \right)-x^{3}\left( z-x \right)$
= $\left( x-y \right)\left( z^{3}-x^{3} \right)+\left( z-x \right)\left( y^{3}-x^{3} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( z-x \right)\left( z^{2}+zx+x^{2} \right)+\left( z-x \right)\left( y-x \right)\left( y^{2}+xy+x^{2} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( z-x \right)\left( z^{2}+zx+x^{2}-y^{2}-xy-x^{2} \right)=\left( x-y \right)\left( z-x \right)\left( z-y \right)\left( z+y-x \right)$
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: $ab\left( a+b \right)-bc\left( b+c \right)-ac\left( c-a \right)$
HD :
Ta có : $ab\left( a+b \right)-bc\left[ \left( a+b \right)+\left( c-a \right) \right]-ac\left( c-a \right)$
= $ab\left( a+b \right)-bc\left( a+b \right)-bc\left( c-a \right)-ac\left( c-a \right)$
= $b\left( a+b \right)\left( a-c \right)-c\left( c-a \right)\left( b+a \right)=\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( a-c \right)$
Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x-y \right)-x^{3}\left( 1-y \right)+y^{3}\left( 1-x \right)$
HD :
Ta có :$\left( x-y \right)-x^{3}\left[ \left( x-y \right)+\left( 1-x \right) \right]+y^{3}\left( 1-x \right)$
= $\left( x-y \right)-x^{3}\left( x-y \right)-x^{3}\left( 1-x \right)+y^{3}\left( 1-x \right)$
= $\left( x-y \right)\left( 1-x^{3} \right)-\left( 1-x \right)\left( x^{3}-y^{3} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x+x^{2} \right)-\left( 1-x \right)\left( x-y \right)\left( x^{2}+xy+y^{2} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x+x^{2}-x^{2}-xy-y^{2} \right)=\left( x-y \right)\left( 1-x \right)\left( 1-y \right)\left( x+y+1 \right)$
Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: $4a^{2}b^{2}\left( 2a+b \right)+b^{2}c^{2}\left( c-b \right)-4c^{2}a^{2}\left( 2a+c \right)$
HD :
Ta có :$4a^{2}b^{2}\left( 2a+b \right)+b^{2}c^{2}\left[ \left( 2a+c \right)-\left( 2a+b \right) \right]-4c^{2}a^{2}\left( 2a+c \right)$
= $4a^{2}b^{2}\left( 2a+b \right)+b^{2}c^{2}\left( 2a+c \right)-b^{2}c^{2}\left( 2a+b \right)-4c^{2}a^{2}\left( 2a+c \right)$
= $b^{2}\left( 2a+b \right)\left( 4a^{2}-c^{2} \right)+c^{2}\left( 2a+c \right)\left( b^{2}-4a^{2} \right)$
= $b^{2}\left( 2a+b \right)\left( 2a-c \right)\left( 2a+c \right)-c^{2}\left( 2a+c \right)\left( 2a-b \right)\left( 2a+b \right)$
= $\left( 2a+c \right)\left( 2a+b \right)\left( 2ab^{2}-b^{2}c-2ac^{2}+bc^{2} \right)$
= $\left( 2a+c \right)\left( 2a+b \right)\left( b-c \right)\left( 2ab+2ac-bc \right)$
Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{3}\left( y-z \right)+y^{3}\left( z-x \right)+z^{3}\left( x-y \right)$
HD :
Ta có :$z^{3}\left( x-y \right)+x^{3}\left[ -\left( x-y \right)-\left( z-x \right) \right]+y^{3}\left( z-x \right)$
= $z^{3}\left( x-y \right)-x^{3}\left( x-y \right)+y^{3}\left( z-x \right)-x^{3}\left( z-x \right)$
= $\left( x-y \right)\left( z^{3}-x^{3} \right)+\left( z-x \right)\left( y^{3}-x^{3} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( z-x \right)\left( z^{2}+zx+x^{2} \right)+\left( z-x \right)\left( y-x \right)\left( y^{2}+xy+x^{2} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( z-x \right)\left( z^{2}+zx+x^{2}-y^{2}-xy-x^{2} \right)=\left( x-y \right)\left( z-x \right)\left( z-y \right)\left( z+y-x \right)$
Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: $bc\left( a+d \right)\left( b-c \right)-ac\left( b+d \right)\left( a-c \right)+ab\left( c+d \right)\left( a-b \right)$
HD :
Ta có :$bc\left( ab-ac+bd-dc \right)-ac\left( ab-bc+ad-dc \right)+ab\left( ac-bc+ad-bd \right)$
= $bc\left( ab-ac+bd-dc \right)-ac\left[ \left( ab-ac+bd-dc \right)+\left( ac-bc+ad-bd \right) \right]+ab\left( ac-bc+ad-bd \right)$
= $\left( ab-ac+bd-dc \right)\left( bc-ac \right)-\left( ac-bc+ad-bd \right)\left( ac-ab \right)$
= $\left( a+d \right)\left( b-c \right)c\left( b-a \right)-\left( c+d \right)\left( a-b \right)a\left( c-b \right)$
= $\left( b-c \right)\left( b-a \right)\left( ac+dc-ca-ad \right)=\left( b-c \right)\left( b-a \right)\left( c-a \right).d$
Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( a-x \right)y^{3}-\left( a-y \right)x^{3}+\left( x-y \right)a^{3}$
HD :
Ta có :$y^{3}\left( a-x \right)-x^{3}\left[ \left( a-x \right)+\left( x-y \right) \right]+a^{3}\left( x-y \right)$
= $y^{3}\left( a-x \right)-x^{3}\left( a-x \right)-x^{3}\left( x-y \right)+a^{3}\left( x-y \right)$
= $\left( a-x \right)\left( y^{3}-x^{3} \right)-\left( x-y \right)\left( x^{3}-a^{3} \right)$
= $\left( x-a \right)\left( x-y \right)\left( x^{2}+xy+y^{2} \right)-\left( x-y \right)\left( x-a \right)\left( x^{2}+xa+a^{2} \right)$
= $\left( x-a \right)\left( x-y \right)\left( x^{2}+xy+y^{2}-x^{2}-xa-a^{2} \right)$
= $\left( x-a \right)\left( x-y \right)\left( y-a \right)\left( y+a+x \right)$
Bài 24: Phân tích đa thức thành nhân tử: $a\left( b+c \right)^{2}+b\left( a+c \right)^{2}+c\left( a+b \right)^{2}-4abc$
Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: $a\left( b^{2}+c^{2} \right)+b\left( c^{2}+a^{2} \right)+c\left( a^{2}+b^{2} \right)+2abc$
Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: $a^{3}\left( b-c \right)+b^{3}\left( c-a \right)+c^{3}\left( a-b \right)$
Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử: $abc-\left( ab+bc+ca \right)+\left( a+b+c-1 \right)$
Bài 28 : Phân tích thành nhân tử: $x^{2}y+xy^{2}+xz^{2}+yz^{2}+x^{2}z+y^{2}z+2xyz$
HD:
Ta có: $=xy\left( x+y \right)+z^{2}\left( x+y \right)+z\left( x+y \right)^{2}=\left( x+y \right)\left( xy+z^{2}+xz+yz \right)$
$=\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)$
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{2}+y^{2}-z^{2}+2xy-2z-1$
HD:
Ta có: $x^{2}+y^{2}-z^{2}+2xy-2z-1=\left( x^{2}+2xy+y^{2} \right)-\left( z^{2}+2z+1 \right)=\left( x+y \right)^{2}-\left( z+1 \right)^{2}$
$=\left( x+y+z+1 \right)\left( x+y-z-1 \right)$
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{2}-y^{2}+z^{2}-2xz+2y-1$
HD:
Ta có: $x^{2}-y^{2}+z^{2}-2xz+2y-1=\left( x^{2}-2xz+z^{2} \right)-\left( y^{2}-2y+1 \right)=\left( x-z \right)^{2}-\left( y-1 \right)^{2}$
$\left( x-z+y-1 \right)\left( x-z-y+1 \right)$
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{6}-2x^{4}-x^{3}y^{3}+2xy^{3}$
HD:
Ta có: $x^{6}-2x^{4}-x^{3}y^{3}+2xy^{3}=$$x\left( x^{5}-2x^{3}-x^{2}y^{3}+2y^{3} \right)$
= $x\left[ x^{3}\left( x^{2}-2 \right)-y^{3}\left( x^{2}-2 \right) \right]=x\left( x^{3}-y^{3} \right)\left( x^{2}-2 \right)$= $x\left( x-y \right)\left( x^{2}-2 \right)\left( x^{2}+xy+y^{2} \right)$
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{6}-x^{4}-9x^{3}+9x^{2}$
HD:
Ta có: $x^{6}-x^{4}-9x^{3}+9x^{2}$ = $x^{2}\left( x^{4}-x^{2}-9x+9 \right)$
= $x^{2}\left[ x^{2}\left( x^{2}-1 \right)-9\left( x-1 \right) \right]=x^{2}\left[ x^{2}\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)-9\left( x-1 \right) \right]$= $x^{2}\left( x-1 \right)\left( x^{3}+x^{2}-9 \right)$
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( a+b+c \right)^{2}+\left( a-b+c \right)^{2}-4b^{2}$
HD:
Ta có: $\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca \right)+\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc+2ac \right)-4b^{2}$
$=\left( 2a^{2}+2c^{2}-2b^{2}+4ac \right)=2\left( a^{2}+2ac+c^{2}-b^{2} \right)=2\left[ \left( a+c \right)^{2}-b^{2} \right]$
$=2\left( a+c+b \right)\left( a+c-b \right)$
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: $a\left( b^{2}-c^{2} \right)-b\left( c^{2}-a^{2} \right)+c\left( a^{2}-b^{2} \right)$
HD:
Ta có:$ab^{2}-ac^{2}-bc^{2}+a^{2}b+a^{2}c-b^{2}c=a^{2}\left( b+c \right)+b^{2}\left( a-c \right)-c^{2}\left( a+b \right)$
= $a^{2}\left( b+c \right)+b^{2}\left[ \left( a+b \right)-\left( b+c \right) \right]-c^{2}\left( a+b \right)$
= $a^{2}\left( b+c \right)+b^{2}\left( a+b \right)-b^{2}\left( b+c \right)-c^{2}\left( a+b \right)$
= $\left( b+c \right)\left( a^{2}-b^{2} \right)+\left( a+b \right)\left( b^{2}-c^{2} \right)=\left( b+c \right)\left( a-b \right)\left( a+b \right)+\left( a+b \right)\left( b-c \right)\left( b+c \right)$
= $\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( a-b+b-c \right)=\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( a-c \right)$
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: $xy\left( x+y \right)+yz\left( y+z \right)+zx\left( x+z \right)+3xyz$
HD:
Ta có:= $\left[ xy\left( x+y \right)+xyz \right]+\left[ yz\left( y+z \right)+xyz \right]+\left[ zx\left( z+x \right)+xyz \right]$
= $xy\left( x+y+z \right)+yz\left( x+y+z \right)+zx\left( x+y+z \right)=\left( x+y+z \right)\left( xy+yz+zx \right)$
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: $xy\left( x+y \right)-yz\left( y+z \right)-zx\left( z-x \right)$
HD:
Ta có: = $xy\left( x+y \right)-yz\left( y+z \right)-zx\left[ \left( y+z \right)-\left( x+y \right) \right]$
= $xy\left( x+y \right)-yz\left( y+z \right)-zx\left( y+z \right)+zx\left( x+y \right)$
= $x\left( x+y \right)\left( y+z \right)-z\left( y+z \right)\left( x+y \right)=\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( x-z \right)$
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4}\left( y-z \right)+y^{4}\left( z-x \right)+z^{4}\left( x-y \right)$
HD:
Ta có: $x^{4}\left( y-z \right)+y^{4}\left[ -\left( y-z \right)-\left( x-y \right) \right]+z^{4}\left( x-y \right)$
= $x^{4}\left( y-z \right)-y^{4}\left( y-z \right)-y^{4}\left( x-y \right)+z^{4}\left( x-y \right)$
= $\left( y-z \right)\left( x^{4}-y^{4} \right)-\left( x-y \right)\left( y^{4}-z^{4} \right)$
= $\left( y-z \right)\left( x-y \right)\left( x+y \right)\left( x^{2}+y^{2} \right)-\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( y+z \right)\left( y^{2}+z^{2} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left[ \left( x+y \right)\left( x^{2}+y^{2} \right)-\left( y+z \right)\left( y^{2}+z^{2} \right) \right]$
= $\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( x^{3}+xy^{2}+x^{2}y+y^{3}-y^{3}-yz^{2}-y^{2}z-z^{3} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( x^{3}-z^{3}+y^{2}\left( x-z \right)+y\left( x^{2}-z^{2} \right) \right)$
= $\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left[ \left( x-z \right)\left( x^{2}+xz+z^{2} \right)+y^{2}\left( x-z \right)+y\left( x-z \right)\left( x+z \right) \right]$
= $\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( x-z \right)\left( x^{2}+xz+z^{2}+y^{2}+xy+yz \right)$
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( a+b+c \right)\left( ab+bc+ca \right)-abc$
HD:
Ta có: $a^{2}b+abc+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+abc+abc+bc^{2}+ac^{2}-abc$
= $\left( a^{2}b+ab^{2}+abc \right)+\left( b^{2}c+bc^{2}+abc \right)+a^{2}c+ca^{2}$
= $ab\left( a+b+c \right)+bc\left( a+b+c \right)+ac\left( a+c \right)$
= $b\left( a+b+c \right)\left( a+c \right)+ac\left( a+c \right)$
= $\left( a+c \right)\left( ab+b^{2}+bc+ac \right)=\left( a+c \right)\left( b+c \right)\left( a+b \right)$
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( a+b+c \right)^{3}-\left( a+b-c \right)^{3}-\left( b+c-a \right)^{3}-\left( c+a-b \right)^{3}$
HD:
Ta có:$\left( a+b+c \right)^{3}-\left[ \left( a+b-c \right)^{3}+\left( b+c-a \right)^{3}+\left( c+a-b \right)^{3} \right]$
$\begin{cases} x = a + b - c \\ y = b + c - a \Rightarrow x + y + z = a + b + c \\ z = c + a - b \end{cases}$
= $\left( x+y+z \right)^{3}-\left( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right)=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)-x^{3}-y^{3}-z^{3}$
= $3\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)=3.2a.2b.2c=24abc$
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: $a^{2}\left( b-c \right)+b^{2}\left( c-a \right)+c^{2}\left( a-b \right)$
HD:
Ta có:$a^{2}\left( b-c \right)+b^{2}\left[ -\left( b-c \right)-\left( a-b \right) \right]+c^{2}\left( a-b \right)$
= $a^{2}\left( b-c \right)-b^{2}\left( b-c \right)-b^{2}\left( a-b \right)+c^{2}\left( a-b \right)$
= $\left( b-c \right)\left( a-b \right)\left( a+b \right)-\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( b+c \right)$
= $\left( b-c \right)\left( a-b \right)\left( a+b-b-c \right)=\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( a-c \right)$
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x\left( y^{3}-z^{3} \right)+y\left( z^{3}-x^{3} \right)+z\left( x^{3}-y^{3} \right)$
HD:
Ta có:$xy^{3}-xz^{3}+yz^{3}-x^{3}y+x^{3}z-y^{3}z$
= $x^{3}\left( z-y \right)+y^{3}\left( x-z \right)+z^{3}\left( y-x \right)$
= $x^{3}\left( z-y \right)+y^{3}\left[ -\left( z-y \right)-\left( y-x \right) \right]+z^{3}\left( y-x \right)$
= $x^{3}\left( z-y \right)-y^{3}\left( z-y \right)-y^{3}\left( y-x \right)+z^{3}\left( y-x \right)$
= $\left( z-y \right)\left( x^{3}-y^{3} \right)+\left( y-x \right)\left( z^{3}-y^{3} \right)$
= $\left( z-y \right)\left( x-y \right)\left( x^{2}+xy+y^{2} \right)+\left( y-x \right)\left( z-y \right)\left( z^{2}+yz+y^{2} \right)$
= $\left( z-y \right)\left( x-y \right)\left( x^{2}+xy+y^{2}-z^{2}-yz-y^{2} \right)$
= $\left( z-y \right)\left( x-y \right)\left( x^{2}-z^{2}+xy-yz \right)=\left( z-y \right)\left( x-y \right)\left( x-z \right)\left( x+y+z \right)$
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)\left( x+y+z \right)^{2}+\left( xy+yz+zx \right)^{2}$
HD:
Ta có: $\left( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)\left[ \left( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)+2\left( xy+yz+zx \right) \right]+\left( xy+yz+zx \right)^{2}$
Đặt: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a,xy+yz+zx=b$ khi đó đa thức:
$a\left( a+2b \right)+b^{2}$
$=a^{2}+2ab+b^{2}=\left( a+b \right)^{2}=\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx \right)^{2}$
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: $2\left( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right)-\left( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)^{2}-2\left( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)\left( x+y+z \right)^{2}+\left( x+y+z \right)^{4}$
HD:
Đặt: $x^{4}+y^{4}+z^{4}=a,x^{2}+y^{2}+z^{2}=b,x+y+z=c$,
Khi đó ta có:
$2a-b^{2}-2bc^{2}+c^{4}=2a-2b^{2}+b^{2}-2bc^{2}+c^{4}=2\left( a-b^{2} \right)+\left( b-c^{2} \right)^{2}$,
Lại có :
$a-b^{2}=-2\left( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2} \right)$ và $b-c^{2}=-2\left( xy+yz+zx \right)$,
Thay vào ta được : $-4\left( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2} \right)+4\left( xy+yz+zx \right)^{2}=8xyz\left( x+y+z \right)$
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: $-c^{2}\left( a-b \right)+b^{2}\left( a-c \right)-a^{2}\left( b-c \right)$
HD :
Ta có : $-c^{2}\left( a-b \right)+b^{2}\left[ \left( a-b \right)+\left( b-c \right) \right]-a^{2}\left( b-c \right)$
= $-c^{2}\left( a-b \right)+b^{2}\left( a-b \right)+b^{2}\left( b-c \right)-a^{2}\left( b-c \right)$
= $\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( b+c \right)+\left( b-c \right)\left( b-a \right)\left( b+a \right)$
= $\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( b+c-a-b \right)=\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)$
Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x-y \right)z^{3}+\left( y-z \right)x^{3}+\left( z-x \right)y^{3}$
HD :
Ta có :$z^{3}\left( x-y \right)+x^{3}\left[ -\left( x-y \right)-\left( z-x \right) \right]+y^{3}\left( z-x \right)$
= $z^{3}\left( x-y \right)-x^{3}\left( x-y \right)+y^{3}\left( z-x \right)-x^{3}\left( z-x \right)$
= $\left( x-y \right)\left( z^{3}-x^{3} \right)+\left( z-x \right)\left( y^{3}-x^{3} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( z-x \right)\left( z^{2}+zx+x^{2} \right)+\left( z-x \right)\left( y-x \right)\left( y^{2}+xy+x^{2} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( z-x \right)\left( z^{2}+zx+x^{2}-y^{2}-xy-x^{2} \right)=\left( x-y \right)\left( z-x \right)\left( z-y \right)\left( z+y-x \right)$
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: $ab\left( a+b \right)-bc\left( b+c \right)-ac\left( c-a \right)$
HD :
Ta có : $ab\left( a+b \right)-bc\left[ \left( a+b \right)+\left( c-a \right) \right]-ac\left( c-a \right)$
= $ab\left( a+b \right)-bc\left( a+b \right)-bc\left( c-a \right)-ac\left( c-a \right)$
= $b\left( a+b \right)\left( a-c \right)-c\left( c-a \right)\left( b+a \right)=\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( a-c \right)$
Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x-y \right)-x^{3}\left( 1-y \right)+y^{3}\left( 1-x \right)$
HD :
Ta có :$\left( x-y \right)-x^{3}\left[ \left( x-y \right)+\left( 1-x \right) \right]+y^{3}\left( 1-x \right)$
= $\left( x-y \right)-x^{3}\left( x-y \right)-x^{3}\left( 1-x \right)+y^{3}\left( 1-x \right)$
= $\left( x-y \right)\left( 1-x^{3} \right)-\left( 1-x \right)\left( x^{3}-y^{3} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x+x^{2} \right)-\left( 1-x \right)\left( x-y \right)\left( x^{2}+xy+y^{2} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x+x^{2}-x^{2}-xy-y^{2} \right)=\left( x-y \right)\left( 1-x \right)\left( 1-y \right)\left( x+y+1 \right)$
Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: $4a^{2}b^{2}\left( 2a+b \right)+b^{2}c^{2}\left( c-b \right)-4c^{2}a^{2}\left( 2a+c \right)$
HD :
Ta có :$4a^{2}b^{2}\left( 2a+b \right)+b^{2}c^{2}\left[ \left( 2a+c \right)-\left( 2a+b \right) \right]-4c^{2}a^{2}\left( 2a+c \right)$
= $4a^{2}b^{2}\left( 2a+b \right)+b^{2}c^{2}\left( 2a+c \right)-b^{2}c^{2}\left( 2a+b \right)-4c^{2}a^{2}\left( 2a+c \right)$
= $b^{2}\left( 2a+b \right)\left( 4a^{2}-c^{2} \right)+c^{2}\left( 2a+c \right)\left( b^{2}-4a^{2} \right)$
= $b^{2}\left( 2a+b \right)\left( 2a-c \right)\left( 2a+c \right)-c^{2}\left( 2a+c \right)\left( 2a-b \right)\left( 2a+b \right)$
= $\left( 2a+c \right)\left( 2a+b \right)\left( 2ab^{2}-b^{2}c-2ac^{2}+bc^{2} \right)$
= $\left( 2a+c \right)\left( 2a+b \right)\left( b-c \right)\left( 2ab+2ac-bc \right)$
Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{3}\left( y-z \right)+y^{3}\left( z-x \right)+z^{3}\left( x-y \right)$
HD :
Ta có :$z^{3}\left( x-y \right)+x^{3}\left[ -\left( x-y \right)-\left( z-x \right) \right]+y^{3}\left( z-x \right)$
= $z^{3}\left( x-y \right)-x^{3}\left( x-y \right)+y^{3}\left( z-x \right)-x^{3}\left( z-x \right)$
= $\left( x-y \right)\left( z^{3}-x^{3} \right)+\left( z-x \right)\left( y^{3}-x^{3} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( z-x \right)\left( z^{2}+zx+x^{2} \right)+\left( z-x \right)\left( y-x \right)\left( y^{2}+xy+x^{2} \right)$
= $\left( x-y \right)\left( z-x \right)\left( z^{2}+zx+x^{2}-y^{2}-xy-x^{2} \right)=\left( x-y \right)\left( z-x \right)\left( z-y \right)\left( z+y-x \right)$
Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: $bc\left( a+d \right)\left( b-c \right)-ac\left( b+d \right)\left( a-c \right)+ab\left( c+d \right)\left( a-b \right)$
HD :
Ta có :$bc\left( ab-ac+bd-dc \right)-ac\left( ab-bc+ad-dc \right)+ab\left( ac-bc+ad-bd \right)$
= $bc\left( ab-ac+bd-dc \right)-ac\left[ \left( ab-ac+bd-dc \right)+\left( ac-bc+ad-bd \right) \right]+ab\left( ac-bc+ad-bd \right)$
= $\left( ab-ac+bd-dc \right)\left( bc-ac \right)-\left( ac-bc+ad-bd \right)\left( ac-ab \right)$
= $\left( a+d \right)\left( b-c \right)c\left( b-a \right)-\left( c+d \right)\left( a-b \right)a\left( c-b \right)$
= $\left( b-c \right)\left( b-a \right)\left( ac+dc-ca-ad \right)=\left( b-c \right)\left( b-a \right)\left( c-a \right).d$
Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( a-x \right)y^{3}-\left( a-y \right)x^{3}+\left( x-y \right)a^{3}$
HD :
Ta có :$y^{3}\left( a-x \right)-x^{3}\left[ \left( a-x \right)+\left( x-y \right) \right]+a^{3}\left( x-y \right)$
= $y^{3}\left( a-x \right)-x^{3}\left( a-x \right)-x^{3}\left( x-y \right)+a^{3}\left( x-y \right)$
= $\left( a-x \right)\left( y^{3}-x^{3} \right)-\left( x-y \right)\left( x^{3}-a^{3} \right)$
= $\left( x-a \right)\left( x-y \right)\left( x^{2}+xy+y^{2} \right)-\left( x-y \right)\left( x-a \right)\left( x^{2}+xa+a^{2} \right)$
= $\left( x-a \right)\left( x-y \right)\left( x^{2}+xy+y^{2}-x^{2}-xa-a^{2} \right)$
= $\left( x-a \right)\left( x-y \right)\left( y-a \right)\left( y+a+x \right)$
Bài 24: Phân tích đa thức thành nhân tử: $a\left( b+c \right)^{2}+b\left( a+c \right)^{2}+c\left( a+b \right)^{2}-4abc$
Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: $a\left( b^{2}+c^{2} \right)+b\left( c^{2}+a^{2} \right)+c\left( a^{2}+b^{2} \right)+2abc$
Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: $a^{3}\left( b-c \right)+b^{3}\left( c-a \right)+c^{3}\left( a-b \right)$
Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử: $abc-\left( ab+bc+ca \right)+\left( a+b+c-1 \right)$
Bài 28 : Phân tích thành nhân tử: $x^{2}y+xy^{2}+xz^{2}+yz^{2}+x^{2}z+y^{2}z+2xyz$
HD:
Ta có: $=xy\left( x+y \right)+z^{2}\left( x+y \right)+z\left( x+y \right)^{2}=\left( x+y \right)\left( xy+z^{2}+xz+yz \right)$
$=\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)$
Đang được quan tâm nhất Khối 8
Tài liệu mới cập nhật
Bài 17. Hằng đẳng thức đáng nhớ
22/09/2026
4
Bài 16. Tìm x
17/09/2026
9
Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức
08/09/2026
41