Bài 32 Trang 44 hình bình hành
Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn chi tiết bài toán này, chỉ ra các lỗi sai các em hay gặp và cung cấp kịch bản vẽ hình GeoGebra nhé! Đây là một bài toán rất hay giúp các em ôn luyện tổng hợp kiến thức về hình bình hành, tính chất đường phân giác và đường trung bình của tam giác.
💡 Sơ đồ phân tích ngược
Để chứng minh $EF // DC$ (Câu b):
$EF // DC \Leftarrow EF // AB$ (do $AB // CD$)
$\Leftarrow EO // AB$ ($O$ là trung điểm $MN$)
$\Leftarrow EO$ là đường trung bình của $\Delta AMN$
$\Leftarrow E$ là trung điểm của $AM$ và $O$ là trung điểm của $MN$.
$\Leftarrow \Delta ADM$ cân tại $D$ có $DE$ là phân giác.
💬 Lời giải chi tiết từng bước
Câu a:
1. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat{A} = \widehat{C}$. Mà $AM, CN$ là phân giác nên $\widehat{DAM} = \widehat{MAB} = \widehat{BCN} = \widehat{NCD} = \frac{1}{2} . \widehat{A}$.
2. Do $AB // CD$, nên $\widehat{MAB} = \widehat{AMD}$ (hai góc so le trong).
3. Suy ra $\widehat{AMD} = \widehat{NCD}$. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị đối với hai đường thẳng $AM$ và $CN$ bị cắt bởi $CD$, nên $AM // NC$.
4. Tứ giác $ANCM$ có $AN // MC$ (vì $AB // CD$) và $AM // NC$ nên là hình bình hành. Suy ra $AN = MC$.
5. Ta có $BN = AB - AN$ và $DM = CD - MC$. Vì $AB = CD$ và $AN = MC$ nên $BN = DM$.
b) Chứng minh $EF // DC$
Xét $\Delta ADM$ có $\widehat{AMD} = \widehat{DAM}$ (chứng minh ở câu a) nên $\Delta ADM$ cân tại $D$.
Khi đó tia phân giác $DE$ của góc $D$ đồng thời là đường trung tuyến $\Rightarrow E$ là trung điểm của $AM$.
Tương tự, $\Delta BCN$ cân tại $B$ ($BN = BC$ do $BN = DM = AD = BC$).
Khi đó tia phân giác $BF$ của góc $B$ đồng thời là đường trung tuyến $\Rightarrow F$ là trung điểm của $CN$.
Trong hình bình hành $AMCN$, $E$ là trung điểm cạnh $AM$ và $F$ là trung điểm cạnh đối $CN$.
Theo tính chất hình bình hành, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện sẽ song song với hai cạnh còn lại.
Vậy $EF // AN$ và $EF // MC$. Mà $MC$ nằm trên $DC$ nên $EF // DC$.
1. Lỗi dùng "Góc trong cùng phía": Nhiều em quen tay viết "$\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ$ vì là hai góc trong cùng phía".
Khắc phục: Hãy viết "Vì $AB // CD$ nên $\widehat{DAB} + \widehat{ADC} = 180^\circ$ (tính chất hai đường thẳng song song)".
2. Lỗi ngộ nhận $E, O, F$ thẳng hàng: Nhiều bạn chưa chứng minh $E, O, F$ thẳng hàng đã sử dụng ngay $EF$ là một đoạn thẳng duy nhất.
Khắc phục: Cần dùng tiên đề Euclid hoặc chứng minh $O$ là trung điểm của $EF$ thông qua hình bình hành $AECF$.
3. Lỗi vẽ hình: Vẽ hình bình hành quá đặc biệt (như hình thoi hoặc hình chữ nhật) dẫn đến nhìn nhận sai tính chất.
Khắc phục:* Luôn vẽ $AB > AD$ và các góc không vuông theo đúng đề bài.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
Bài 32: Cho hình bình hành $ABCD (AB > AD)$. Tia phân giác của góc $A$ cắt cạnh $CD$ tại $M$, tia phân giác của góc $C$ cắt cạnh $AB$ tại $N$.
a) Chứng minh $AM // NC$ và $BN = DM$.
b) Tia phân giác của góc $D$ cắt $AM$ tại $E$, tia phân giác của góc $B$ cắt $CN$ tại $F$. Chứng minh $EF // DC$.
c) Gọi $O$ là trung điểm của $DB$. Chứng minh $N, O, M$ thẳng hàng và $E, O, F$ thẳng hàng.
a) Chứng minh $AM // NC$ và $BN = DM$.
b) Tia phân giác của góc $D$ cắt $AM$ tại $E$, tia phân giác của góc $B$ cắt $CN$ tại $F$. Chứng minh $EF // DC$.
c) Gọi $O$ là trung điểm của $DB$. Chứng minh $N, O, M$ thẳng hàng và $E, O, F$ thẳng hàng.
📌 Tóm tắt GT - KL và Dạng toán
Giả thiết (GT):
Hình bình hành $ABCD, AB > AD$.
$AM$ là phân giác $\widehat{A} (M \in CD)$; $CN$ là phân giác $\widehat{C} (N \in AB)$.
$DE$ là phân giác $\widehat{D} (E \in AM)$; $BF$ là phân giác $\widehat{B} (F \in CN)$.
$O$ là trung điểm $BD$.
Kết luận (KL):
a) $AM // NC$ và $BN = DM$.
b) $EF // DC$.
c) $N, O, M$ thẳng hàng; $E, O, F$ thẳng hàng.
Dạng toán: Chứng minh hai đường thẳng song song, đoạn thẳng bằng nhau và ba điểm thẳng hàng dựa trên tính chất hình bình hành.
Hình bình hành $ABCD, AB > AD$.
$AM$ là phân giác $\widehat{A} (M \in CD)$; $CN$ là phân giác $\widehat{C} (N \in AB)$.
$DE$ là phân giác $\widehat{D} (E \in AM)$; $BF$ là phân giác $\widehat{B} (F \in CN)$.
$O$ là trung điểm $BD$.
Kết luận (KL):
a) $AM // NC$ và $BN = DM$.
b) $EF // DC$.
c) $N, O, M$ thẳng hàng; $E, O, F$ thẳng hàng.
Dạng toán: Chứng minh hai đường thẳng song song, đoạn thẳng bằng nhau và ba điểm thẳng hàng dựa trên tính chất hình bình hành.
💡 Sơ đồ phân tích ngược
Để chứng minh $EF // DC$ (Câu b):
$EF // DC \Leftarrow EF // AB$ (do $AB // CD$)
$\Leftarrow EO // AB$ ($O$ là trung điểm $MN$)
$\Leftarrow EO$ là đường trung bình của $\Delta AMN$
$\Leftarrow E$ là trung điểm của $AM$ và $O$ là trung điểm của $MN$.
$\Leftarrow \Delta ADM$ cân tại $D$ có $DE$ là phân giác.
💬 Lời giải chi tiết từng bước
Câu a:
1. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat{A} = \widehat{C}$. Mà $AM, CN$ là phân giác nên $\widehat{DAM} = \widehat{MAB} = \widehat{BCN} = \widehat{NCD} = \frac{1}{2} . \widehat{A}$.
2. Do $AB // CD$, nên $\widehat{MAB} = \widehat{AMD}$ (hai góc so le trong).
3. Suy ra $\widehat{AMD} = \widehat{NCD}$. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị đối với hai đường thẳng $AM$ và $CN$ bị cắt bởi $CD$, nên $AM // NC$.
4. Tứ giác $ANCM$ có $AN // MC$ (vì $AB // CD$) và $AM // NC$ nên là hình bình hành. Suy ra $AN = MC$.
5. Ta có $BN = AB - AN$ và $DM = CD - MC$. Vì $AB = CD$ và $AN = MC$ nên $BN = DM$.
a) Chứng minh $AM // NC$ và $BN = DM$
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB // CD$ và $\widehat{DAB} = \widehat{BCD}$.
Ta có: $\widehat{BAM} = \frac{1}{2} . \widehat{DAB}$ và $\widehat{DCN} = \frac{1}{2} . \widehat{BCD}$ (tính chất tia phân giác).
$\Rightarrow \widehat{BAM} = \widehat{DCN}$.
Mà $AB // CD \Rightarrow \widehat{BAM} = \widehat{AMD}$ (so le trong).
$\Rightarrow \widehat{AMD} = \widehat{DCN}$. Hai góc này ở vị trí đồng vị nên $AM // NC$.
Tứ giác $ANCM$ có $AN // MC$ và $AM // NC$ nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
$\Rightarrow AN = MC$.
Lại có $AB = CD \Rightarrow AB - AN = CD - MC \Rightarrow BN = DM$.
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB // CD$ và $\widehat{DAB} = \widehat{BCD}$.
Ta có: $\widehat{BAM} = \frac{1}{2} . \widehat{DAB}$ và $\widehat{DCN} = \frac{1}{2} . \widehat{BCD}$ (tính chất tia phân giác).
$\Rightarrow \widehat{BAM} = \widehat{DCN}$.
Mà $AB // CD \Rightarrow \widehat{BAM} = \widehat{AMD}$ (so le trong).
$\Rightarrow \widehat{AMD} = \widehat{DCN}$. Hai góc này ở vị trí đồng vị nên $AM // NC$.
Tứ giác $ANCM$ có $AN // MC$ và $AM // NC$ nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
$\Rightarrow AN = MC$.
Lại có $AB = CD \Rightarrow AB - AN = CD - MC \Rightarrow BN = DM$.
b) Chứng minh $EF // DC$
Xét $\Delta ADM$ có $\widehat{AMD} = \widehat{DAM}$ (chứng minh ở câu a) nên $\Delta ADM$ cân tại $D$.
Khi đó tia phân giác $DE$ của góc $D$ đồng thời là đường trung tuyến $\Rightarrow E$ là trung điểm của $AM$.
Tương tự, $\Delta BCN$ cân tại $B$ ($BN = BC$ do $BN = DM = AD = BC$).
Khi đó tia phân giác $BF$ của góc $B$ đồng thời là đường trung tuyến $\Rightarrow F$ là trung điểm của $CN$.
Trong hình bình hành $AMCN$, $E$ là trung điểm cạnh $AM$ và $F$ là trung điểm cạnh đối $CN$.
Theo tính chất hình bình hành, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện sẽ song song với hai cạnh còn lại.
Vậy $EF // AN$ và $EF // MC$. Mà $MC$ nằm trên $DC$ nên $EF // DC$.
b) Chứng minh $EF // DC$
$\Delta ADM$ có $\widehat{DAM} = \widehat{AMD}$ nên cân tại $D$. Phân giác $DE$ đồng thời là trung tuyến $\Rightarrow E$ là trung điểm $AM$.
$\Rightarrow EM = EA = \frac{1}{2} AM $
Tương tự, $\Delta BCN$ cân tại $B$ ($BC = AD = DM = BN$). Phân giác $BF$ là trung tuyến $\Rightarrow F$ là trung điểm $NC$.
$\Rightarrow CF = FN = \frac{1}{2} NC $
Mà $AM = NC$ nên $EM = CF = FN$
Ta có $AM // NC$ (cmt) nên $EM // CF$ (do $E \in AM$ và $F \in NC$)
Xét rứ giác $EFCM$ có $EM = CF$ và $EM // CF$ nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
$\Rightarrow EF // MC$.
Vì $M \in DC$ nên $EF // DC$.
$\Delta ADM$ có $\widehat{DAM} = \widehat{AMD}$ nên cân tại $D$. Phân giác $DE$ đồng thời là trung tuyến $\Rightarrow E$ là trung điểm $AM$.
$\Rightarrow EM = EA = \frac{1}{2} AM $
Tương tự, $\Delta BCN$ cân tại $B$ ($BC = AD = DM = BN$). Phân giác $BF$ là trung tuyến $\Rightarrow F$ là trung điểm $NC$.
$\Rightarrow CF = FN = \frac{1}{2} NC $
Mà $AM = NC$ nên $EM = CF = FN$
Ta có $AM // NC$ (cmt) nên $EM // CF$ (do $E \in AM$ và $F \in NC$)
Xét rứ giác $EFCM$ có $EM = CF$ và $EM // CF$ nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
$\Rightarrow EF // MC$.
Vì $M \in DC$ nên $EF // DC$.
c) Chứng minh $N, O, M$ và $E, O, F$ thẳng hàng
Tứ giác $BNDM$ có $BN // DM$ và $BN = DM$ nên là hình bình hành.
Vì $O$ là trung điểm $BD$ nên $O$ cũng là trung điểm $MN \Rightarrow N, O, M$ thẳng hàng.
Chứng minh $E, O, F$ thẳng hàng:
Xét tứ giác $EMFN$:Ta có $EM // FN$ (do $AM // NC$) và $EM = FN$ (cmt).Do đó $EMFN$ là hình bình hành. (dấu hiệu nhận biết)
Vì $O$ là trung điểm của $MN$ (chứng minh trên), nên $O$ cũng là trung điểm của đường chéo $EF$.Vậy $E, O, F$ thẳng hàng (và $O$ là trung điểm của $EF$).
Tứ giác $BNDM$ có $BN // DM$ và $BN = DM$ nên là hình bình hành.
Vì $O$ là trung điểm $BD$ nên $O$ cũng là trung điểm $MN \Rightarrow N, O, M$ thẳng hàng.
Chứng minh $E, O, F$ thẳng hàng:
Xét tứ giác $EMFN$:Ta có $EM // FN$ (do $AM // NC$) và $EM = FN$ (cmt).Do đó $EMFN$ là hình bình hành. (dấu hiệu nhận biết)
Vì $O$ là trung điểm của $MN$ (chứng minh trên), nên $O$ cũng là trung điểm của đường chéo $EF$.Vậy $E, O, F$ thẳng hàng (và $O$ là trung điểm của $EF$).
⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải & Cách phòng tránh
1. Lỗi dùng "Góc trong cùng phía": Nhiều em quen tay viết "$\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ$ vì là hai góc trong cùng phía".
Khắc phục: Hãy viết "Vì $AB // CD$ nên $\widehat{DAB} + \widehat{ADC} = 180^\circ$ (tính chất hai đường thẳng song song)".
2. Lỗi ngộ nhận $E, O, F$ thẳng hàng: Nhiều bạn chưa chứng minh $E, O, F$ thẳng hàng đã sử dụng ngay $EF$ là một đoạn thẳng duy nhất.
Khắc phục: Cần dùng tiên đề Euclid hoặc chứng minh $O$ là trung điểm của $EF$ thông qua hình bình hành $AECF$.
3. Lỗi vẽ hình: Vẽ hình bình hành quá đặc biệt (như hình thoi hoặc hình chữ nhật) dẫn đến nhìn nhận sai tính chất.
Khắc phục:* Luôn vẽ $AB > AD$ và các góc không vuông theo đúng đề bài.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
Đang được quan tâm nhất Khối 8
Tài liệu mới cập nhật
Bài 17. Hằng đẳng thức đáng nhớ
22/09/2026
4
Bài 16. Tìm x
17/09/2026
10
Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức
08/09/2026
41