Bài 18. Cho tứ giác ABCD có $\widehat{D} = 2x + 9^0$, $\widehat{A} = 8x - 9^0$ và góc ngoài tại đỉnh A là $\widehat{A_1} = 3x - 9^0$.
a) Tứ giác ABCD là hình gì? Chứng minh.
b) Phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I. Cho biết góc B lớn hơn góc C $32^0$. Tính các góc của $\Delta BIC$.

Bài giải

a) Tứ giác $ABCD$ là hình gì? Chứng minh.

Góc $\widehat{A}$ và góc ngoài $\widehat{A}_1$ tại đỉnh $A$ là hai góc kề bù (kề nhau tạo thành đường thẳng, tổng bằng $180^\circ$).

Nên ta có: $\widehat{A} + \widehat{A}_1 = 180^\circ$

$(8x - 9^\circ) + (3x - 9^\circ) = 180^\circ$
$11x - 18^\circ = 180^\circ$
$11x = 180^\circ + 18^\circ$
$11x = 198^\circ$
$x = 198^\circ : 11 = 18^\circ$

Thay $x = 18^\circ$ vào công thức tính các góc:

$\widehat{A} = 8 \cdot 18 - 9 = 144 - 9 = 135^\circ$

$\widehat{A}_1 = 3 \cdot 18 - 9 = 54 - 9 = 45^\circ$

$\widehat{D} = 2 \cdot 18 + 9 = 36 + 9 = 45^\circ$

Theo hình vẽ: Góc ngoài $\widehat{A}_1$ và góc trong $\widehat{D}$ ở vị trí đồng vị.

Vì $\widehat{A}_1 = \widehat{D} = 45^\circ$ nên $AB // CD$.

Tứ giác $ABCD$ có hai cạnh đối song song ($AB \parallel CD$) là hình thang.

b) Tính các góc của $\Delta BIC$

Xét tứ giác $ABCD$, tổng 4 góc trong tứ giác bằng $360^\circ$: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ$

Thay số đo $\widehat{A} = 135^\circ$ và $\widehat{D} = 45^\circ$ (đã tính ở câu a):

$135^\circ + \widehat{B} + \widehat{C} + 45^\circ = 360^\circ$
$180^\circ + (\widehat{B} + \widehat{C}) = 360^\circ$
$\widehat{B} + \widehat{C} = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$

$\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$

Theo đề bài, góc $B$ lớn hơn góc $C$ là $32^\circ$ nên: $\widehat{B} - \widehat{C} = 32^\circ$

Các em chú ý đây là bài toán "Tìm hai số khi biết Tổng và Hiệu": số lớn = (Tổng + Hiệu):2; Số bé = (tổng - hiệu):2

$\widehat{B} = (180^\circ + 32^\circ) : 2 = 212^\circ : 2 = 106^\circ$

$\widehat{C} = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$

Vì $BI$ là tia phân giác của $\widehat{B}$ nên $\widehat{IBC} = \frac{\widehat{B}}{2} = \frac{106^\circ}{2} = 53^\circ$

Vì $CI$ là tia phân giác của $\widehat{C}$ nên $\widehat{ICB} = \frac{\widehat{C}}{2} = \frac{74^\circ}{2} = 37^\circ$

Xét $\triangle$$BIC$, tổng 3 góc bằng $180^\circ$:

$\widehat{BIC} = 180^\circ - (\widehat{IBC} + \widehat{ICB})$
$\widehat{BIC} = 180^\circ - (53^\circ + 37^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Các góc của $\Delta BIC$ lần lượt là: $\widehat{BIC} = 90^\circ$; $\widehat{IBC} = 53^\circ$; $\widehat{ICB} = 37^\circ$