Chuyên đề: HÌNH BÌNH HÀNH
HÌNH BÌNH HÀNH
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.
1. Định nghĩa.
- Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
- $ABCD$ là hình bình hành $\Rightarrow$ $\left\{ \begin{align} & AB //CD \\ & AD //BC \\ \end{align} \right.$.
Trong hình bình hành:
- Các cạnh đối bằng nhau.
- Các góc đối bằng nhau.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
| Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình bình hành |
|
Lời giải
Vì $ABCD$ là hình bình hành$\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& AB\parallel CD;AB=CD \\
& BC\parallel AD;BC=AD. \\
\end{align} \right.$
Vì $AB\parallel CD\Rightarrow \widehat{ABH}=\widehat{CDK}$ (so le trong).
Vì $\left\{ \begin{align}
& AH\bot BD \\
& CK\bot DB \\
\end{align} \right.\Rightarrow AH\parallel CK$ (1).
Vì $\vartriangle HAB=\vartriangle KCD$ (cạnh huyền - góc nhọn).
$\Rightarrow AH=CK$ (hai cạnh tương ứng) (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $AHCK$ là hình bình hành.
Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ có $H$ là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $B$, vuông góc với $AC$ tại $C$ cắt nhau ở $D$. Chứng minh tứ giác $BDCH$ là hình bình hành.
Lời giải
Xét $\vartriangle ABC$ có $H$ là trực tâm, suy ra $CH\bot AB$; $BH\bot AC$.Vì $\left\{ \begin{align}
& BD\bot AB \\
& CH\bot AB \\
\end{align} \right.\Rightarrow CH\parallel BD$(1).
Vì $\left\{ \begin{align}
& BH\bot AC \\
& CD\bot AC\Rightarrow BH\parallel CD \\
\end{align} \right.$ (2).
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra tứ giác $BHCD$ là hình bình hành.
| Dạng 2: Sử dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học |
|
a) $BE=DF$ và $\widehat{ABE}=\widehat{CDF}$; b) $BE\parallel FD$.
Lời giải
a) Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành$\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& AB\parallel CD;AB=CD \\
& \widehat{ABC}=\widehat{ADC} \\
\end{align} \right.\Rightarrow ED\parallel BF\quad (1)$.
Vì $E$ là trung điểm của $AD\Rightarrow AE=ED=\dfrac{AD}{2}$.
Vì $F$ là trung điểm của $BC\Rightarrow BF=FC=\dfrac{BC}{2}$.
Do đó $ED=BF\quad (2)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow $ Tứ giác $BEDF$ là hình bình hành $\Rightarrow BE=DF$.
Vì $BEDF$ là hình bình hành nên $\widehat{EBF}=\widehat{EDF}$.
Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{CDF}$.
b) Vì tứ giác $BEDF$ là hình bình hành suy ra $BE\parallel DF$.
| Dạng 3: Sử dụng tính chất hình bình hành để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy |
|
Lời giảiVì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$.
Vì $\left\{ \begin{align}
& QN\bot CD \\
& AB\parallel CD \\
\end{align} \right.\Rightarrow QN\bot AB$.
Ta có $\left\{ \begin{align}
& QN\bot AB \\
& MP\bot AB \\
\end{align} \right.\Rightarrow MP\parallel NQ$(1).
Ta có $\vartriangle MPB=\vartriangle NQD$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow MP=NQ$(2) .
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra tứ giác $MPNQ$ là hình bình hành.
Xét hình bình hành $MPNQ$ có $O$ là trung điểm của $PQ$.
Suy ra $O$ là giao điểm hai đường chéo của của hình bình hành $MPNQ$.
$\Rightarrow M,O,N$ thẳng hàng.
Do đó $AC,MN,PQ$ cùng đi qua $O$.
Hay $AC,MN,PQ$ đồng quy.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hình bình hành $ABCD$ ($AB>BC$). Tia phân giác của góc $D$ cắt $AB$ ở $E$, tia phân giác của góc $B$ cắt $CD$ ở $F$.
a) Chứng minh $DE\parallel BF$; b) Tứ giác $DEBF$ là hình gì?
Lời giải
a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\left\{ \begin{align}
& AB\parallel CD \\
& \widehat{ABC}=\widehat{ADC}. \\
\end{align} \right.$
Vì $DE$ là phân giác góc $D$ nên $\widehat{ADE}=\widehat{EDC}=\dfrac{\widehat{ADC}}{2}$.Vì $BF$ là phân giác góc $B$ nên $\widehat{ABF}=\widehat{FBC}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}$.
Mà $\widehat{EBF}=\widehat{BFC}$ ( so le trong ).
Do đó $\widehat{EDC}=\widehat{BFC}\Rightarrow DE\parallel BF$ (đồng vị).
Vì $AB\parallel CD$ nên $EB\parallel DF$. Xét tứ giác $DEBF$ có $\left\{ \begin{align}
& EB\parallel DF \\
& DE\parallel BF. \\
\end{align} \right.$
Vậy tứ giác $DEBF$ là hình bình hành.
Bài 2. Cho tam giác $ABC$. Từ một điểm $E$ trên cạnh $AC$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB$ tại $F$ và đường thẳng song song với $AB$ cắt $BC$ tại $D$. Giả sử $AE=BF$. Chứng minh:
a) Tam giác $AED$ cân; b) $AD$ là phân giác của góc $A$.
Lời giảia) Vì $EF\parallel BC\Rightarrow EF\parallel DB$.
Vì $ED\parallel AB\Rightarrow ED\parallel BF$.
$\Rightarrow $ Tứ giác $BFED$ là hình bình hành$\Rightarrow ED=FB$.
Mà $AE=BF$ (gt)$\Rightarrow AE=ED\Rightarrow $ Tam giác $EAD$ cân.
Vì tam giác $EAD$ cân tại $E$ nên $\widehat{EAD}=\widehat{EDA}$.
Vì $ED\parallel AB\Rightarrow \widehat{EDA}=\widehat{DAB}$ (so le trong).
$\Rightarrow \widehat{DAB}=\widehat{DAC}$.
$\Rightarrow AD$ là tia phân giác của góc $A$.
Bài 3. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm hai đường thẳng $AC$ và $BD$. Qua điểm $O$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ cắt hai cạnh $AD,BC$ lần lượt tại $M,N$. Trên $AB,CD$ lần lượt lấy các điểm $P,Q$ sao cho $AP=CQ$. Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $PQ$. Chứng minh:
a) Các tứ giác $AMNB,APCQ$ là hình bình hành;
b) Ba điểm $M,N,I$ thẳng hàng;
c) Ba đường thẳng $AC,MN,PQ$ đồng quy.
Lời giải
a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC;AB\parallel CD$.Vì $AD\parallel BC\Rightarrow AM\parallel BN$.
Xét tứ giác $AMNB$ có $\left\{ \begin{align}
& AM\parallel BN \\
& AB\parallel MN. \\
\end{align} \right.$
$\Rightarrow $ Tứ giác $AMNB$ là hình bình hành.
Xét tứ giác $APCQ$ có $\left\{ \begin{align}
& AP\parallel CQ \\
& AP=CQ \\
\end{align} \right.$.
$\Rightarrow $ Tứ giác $APCQ$ là hình bình hành.
b) Vì $APCQ$ là hình bình hành.
Mà $I$ là giao điểm của $AC$ và $PQ$ suy ra $O$ và $I$ trùng nhau.
Do đó $M,N,I$ thẳng hàng.
c) Ta có $I$ là giao điểm của $AC$ và $PQ$.
Mà $M,N,I$ thẳng hàng.
Vậy ba đường thẳng $AC,MN,PQ$ đồng quy.
Bài 4. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $K$, $I$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$. Chứng minh:
a) $AI=CK$ và $\widehat{IAC}=\widehat{KCA}$; b) $AI\parallel CK$.
Lời giải
a) Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành
$\Rightarrow AB\parallel CD;AB=CD\Rightarrow AK\parallel CI\quad (1)$.
Vì $K$ là trung điểm của $AB\Rightarrow AK=KB=\dfrac{AB}{2}$. Vì $I$ là trung điểm của $CD\Rightarrow CI=ID=\dfrac{CD}{2}$.
$\Rightarrow AK=CI\qquad (2)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra tứ giác $AKCI$ là hình bình hành $\Rightarrow AI=CK$.
Vì tứ giác $AKCI$ là hình bình hành suy ra $KC\parallel AI$
$\Rightarrow \widehat{IAC}=\widehat{KCA}$ (so le trong).
b) Vì tứ giác $AKCI$ là hình bình hành suy ra $AK\parallel CI$.
Bài 5. Cho hình bình hành $ABCD$, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Trên $AB$ lấy điểm $K$, trên $CD$ lấy điểm $I$ sao cho $AK=CI$. Chứng minh rằng ba điểm $K,O,I$ thẳng hàng và các đường thẳng $AC,BD,KI$ đồng quy.
Lời giảiVì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD\Rightarrow AK\parallel CI$.
Xét tứ giác $AKCI$ có $\left\{ \begin{align}
& AK=CI \\
& AK\parallel CI. \\
\end{align} \right.$
$\Rightarrow $ Tứ giác $AKCI$ là hình bình hành.
Xét hình bình hành $AKCI$ có $O$ là trung điểm $AC$.
Suy ra $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $AKCI\Rightarrow K$, $O$, $I$ thẳng hàng.
Hay $AC$, $BD$, $KI$ đồng quy.
Bài 6. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm hai đường thẳng $AC$ và $BD$. Qua điểm $O$, vẽ đường thẳng $a$ cắt hai đường thẳng $AD,BC$ lần lượt tại $E,F$. Qua $O$ vẽ đường thẳng $b$ cắt hai cạnh $AB,CD$ lần lượt tại $K,H$. Chứng minh tứ giác $EKFH$ là hình bình hành.
Lời giải
Vì $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$ nên $OA=OC$.
Xét $\vartriangle OEA$ và $\vartriangle OFC$ có$\widehat{EAO}=\widehat{FCO}$ (so le trong).
$OA=OC$ (chứng minh trên).
$\widehat{AOE}=\widehat{COF}$ (đối đỉnh).
$\Rightarrow \vartriangle OEA=\vartriangle OFC$ (g - c -g).
$\Rightarrow OE=OF$ (hai cạnh tương ứng).
$\Rightarrow O$ là trung điểm của $EF$.
Tương tự $O$ là trung điểm của $HK$.
Xét tứ giác $EKFH$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Do đó tứ giác $EKFH$ là hình bình hành.
Đang được quan tâm nhất Khối 8
Tài liệu mới cập nhật
Bài 17. Hằng đẳng thức đáng nhớ
22/09/2026
4
Bài 16. Tìm x
17/09/2026
10
Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức
08/09/2026
41