Dạng 2: THÊM BỚT HẠNG TỬ
Dạng 2: THÊM BỚT HẠNG TỬ
I. Phương pháp :
- Các đa thức không thể sử dụng các phương pháp như đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử và sủ
dụng hằng đẳng thức cũng như đoán nghiệm,
- Trong các thành phần của đa thức có chứa các hạng tử bậc 4, ta sẽ thêm bớt để đưa về hằng đẳng
thức số 3 : $a^{2}-b^{2}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)$
II. Luyện tập:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $4x^{4}+81$ b, $64x^{4}+y^{4}$
HD :
a, Ta có :$4x^{4}+81=\left( 2x^{2} \right)^{2}+9^{2}+2.2x^{2}.9-2.2x^{2}.9=\left( 2x^{2}+9 \right)^{2}-36x^{2}$
$=\left( 2x^{2}+9 \right)^{2}-\left( 6x \right)^{2}=\left( 2x^{2}+6x+9 \right)\left( 2x^{2}-6x+9 \right)$
b, Ta có : $64x^{4}+y^{4}=\left( 8x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}+2.8x^{2}.y^{2}-2.8x^{2}.y^{2}=\left( 8x^{2}+y^{2} \right)^{2}-16x^{2}y^{2}$
$=\left( 8x^{2}+y^{2} \right)^{2}-\left( 4xy \right)^{2}=\left( 8x^{2}+4xy+y^{2} \right)\left( 8x^{2}-4xy+y^{2} \right)$
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $4x^{4}+y^{4}$ b, $4x^{8}+1$ c,$x^{4}y^{4}+4$
HD :
a, Ta có : $4x^{4}+y^{4}=\left( 2x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}=\left( 2x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}+2.2x^{2}.y^{2}-4x^{2}y^{2}$
$=\left( 2x^{2}+y^{2} \right)^{2}-\left( 2xy \right)^{2}$$=\left( 2x^{2}+y^{2}+2xy \right)\left( 2x^{2}+y^{2}-2xy \right)$
b, Ta có : $4x^{8}+1=\left( 2x^{4} \right)^{2}+1+2.2x^{4}.1-4x^{4}$
$=\left( 2x^{4}+1 \right)^{2}-\left( 2x^{2} \right)^{2}=\left( 2x^{4}+2x^{2}+1 \right)\left( 2x^{4}-2x^{2}+1 \right)$
c, Ta có : $x^{4}y^{4}+4=\left( x^{2}y^{2} \right)^{2}+2^{2}=\left( x^{2}y^{2} \right)^{2}+2^{2}+2.x^{2}.y^{2}.2-4x^{2}y^{2}$
$\left( x^{2}y^{2}+2 \right)^{2}-\left( 2xy \right)^{2}=\left( x^{2}y^{2}-2xy+2 \right)\left( x^{2}y^{2}+2xy+2 \right)$
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $x^{8}+x^{4}+1$ b, $x^{7}+x^{5}+1$
HD :
a, Ta có: $x^{8}+x^{4}+1=x^{8}+x^{4}+x^{4}+1-x^{4}=x^{8}+2x^{4}+1-x^{4}$
$\left( x^{4}+1 \right)^{2}-\left( x^{2} \right)^{2}=\left( x^{4}+x^{2}+1 \right)\left( x^{4}-x^{2}+1 \right)$
b, Ta có: $x^{7}+x^{5}+1=x^{7}+x^{5}+(x^{2}+x)+1-x^{2}-x=\left( x^{7}-x \right)+\left( x^{5}-x^{2} \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=x\left( x^{6}-1 \right)+x^{2}\left( x^{3}-1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)=x\left( x^{3}+1 \right)\left( x^{3}-1 \right)+x^{2}\left( x^{3}-1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)$
= $x\left( x^{3}+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x^{2}+x+1 \right)+x^{2}\left( x^{3}-1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{5}-x^{4}+x^{2}-x \right)+\left( x^{3}-x^{2} \right)\left( x^{2}+x+1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)$
= $\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{5}-x^{4}+x^{2}-x+x^{3}-x^{2}+1 \right)$$=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{5}-x^{4}+x^{3}-2x^{2}-x+1 \right)$
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $x^{7}+x^{2}+1$ b, $x^{5}+x-1$ c,$x^{8}+x+1$
HD:
a, Ta có: $x^{7}+x^{2}+1=\left( x^{7}-x \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)=x\left( x^{6}-1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=x\left( x^{3}-1 \right)\left( x^{3}+1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)=x\left( x-1 \right)\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{3}+1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)$
$\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{5}-x^{4}+x^{2}-x+1 \right)$
b, Ta có: $x^{5}+x-1=\left( x^{5}+x^{2} \right)+\left( -x^{2}+x-1 \right)=x^{2}\left( x^{3}+1 \right)-\left( x^{2}-x+1 \right)$
= $x^{2}\left( x+1 \right)\left( x^{2}-x+1 \right)-\left( x^{2}-x+1 \right)=\left( x^{2}-x+1 \right)\left( x^{3}+x^{2}-1 \right)$
c, Ta có: $x^{8}+x+1=\left( x^{8}-x^{2} \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)=x^{2}\left( x^{6}-1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=x^{2}\left( x^{3}+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x^{2}+x+1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{6}-x^{5}+x^{3}-x^{2}+1 \right)$
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $64x^{4}+y^{4}$ b, $4x^{4}+y^{4}$ c, $x^{4}+324$
HD:
a, Ta có: $64x^{4}+y^{4}=\left( 8x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}+2.8x^{2}y^{2}-16x^{2}.y^{2}=\left( 8x^{2}+y^{2} \right)^{2}-\left( 4xy \right)^{2}$
$=\left( 8x^{2}+y^{2}-4xy \right)\left( 8x^{2}+y^{2}+4xy \right)$
b, Ta có: $4x^{4}+y^{4}=\left( 2x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}=\left( 2x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}+2.2x^{2}.y^{2}-4x^{2}y^{2}$
$\left( 2x^{2}+y^{2} \right)^{2}-\left( 2xy \right)^{2}=\left( 2x^{2}+y^{2}-2xy \right)\left( 2x^{2}+y^{2}+2xy \right)$
c, Ta có:$x^{4}+324=\left( x^{2} \right)^{2}+\left( 18 \right)^{2}=\left( x^{2} \right)^{2}+\left( 18 \right)^{2}+2.x^{2}.18-36x^{2}$
$=\left( x^{2}+18 \right)^{2}-\left( 6x \right)^{2}=\left( x^{2}+18+6x \right)\left( x^{2}+18-6x \right)$
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a,$x^{4}+64$ b, $81x^{4}+4y^{4}$ c, $x^{4}+4y^{4}$
HD:
a, Ta có: $x^{4}+64=\left( x^{2} \right)^{2}+8^{2}=\left( x^{2} \right)^{2}+8^{2}+2.x^{2}.8-16x^{2}$
$=\left( x^{2}+8 \right)^{2}-\left( 4x \right)^{2}=\left( x^{2}+8-4x \right)\left( x^{2}+8+4x \right)$
b, Ta có: $81x^{4}+4y^{4}=\left( 9x^{2} \right)^{2}+\left( 2y^{2} \right)^{2}=\left( 9x^{2} \right)^{2}+\left( 2y^{2} \right)^{2}+2.9x^{2}.2y^{2}-36x^{2}y^{2}$
$\left( 9x^{2}+2y^{2} \right)-\left( 6xy \right)^{2}=\left( 9x^{2}+2y^{2}-6xy \right)\left( 9x^{2}+2y^{2}+6xy \right)$
c, Ta có: $x^{4}+4y^{4}=\left( x^{2} \right)^{2}+\left( 2y^{2} \right)^{2}=\left( x^{2} \right)^{2}+\left( 2y^{2} \right)^{2}+2.x^{2}.2y^{2}-4x^{2}y^{2}$
$=\left( x^{2}+2y^{2} \right)^{2}-\left( 2xy \right)^{2}=\left( x^{2}+2y^{2}+2xy \right)\left( x^{2}+2y^{2}-2xy \right)$
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $x^{4}y^{4}+4$ b, $4x^{4}y^{4}+1$ c, $4x^{4}+81$
HD:
a, Ta có:$x^{4}y^{4}+4=\left( x^{2}y^{2} \right)^{2}+2^{2}=\left( x^{2}y^{2} \right)^{2}+2^{2}+2.x^{2}y^{2}.2-4x^{2}.y^{2}$
$\left( x^{2}y^{2}+2 \right)^{2}-\left( 2xy \right)^{2}=\left( x^{2}y^{2}-2xy+2 \right)\left( x^{2}y^{2}+2xy+2 \right)$
b, Ta có:$4x^{4}y^{4}+1=\left( 2x^{2}y^{2} \right)^{2}+1=\left( 2x^{2}y^{2} \right)^{2}+1+2.2x^{2}y^{2}-4x^{2}y^{2}$
$\left( 2x^{2}y^{2}+1 \right)^{2}-\left( 2xy \right)^{2}=\left( 2x^{2}y^{2}+1+2xy \right)\left( 2x^{2}y^{2}+1-2xy \right)$
c, Ta có: $4x^{4}+81=\left( 2x^{2} \right)^{2}+9^{2}=\left( 2x^{2} \right)^{2}+9^{2}+2.2x^{2}.9-36x^{2}$
$\left( 2x^{2}+9 \right)^{2}-\left( 6x \right)^{2}=\left( 2x^{2}+9+6x \right)\left( 2x^{2}+9-6x \right)$
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $64x^{4}+y^{4}$ b, $a^{4}+64$ c, $a^{4}+4b^{2}$
HD:
a, Ta có:$64x^{4}+y^{4}=\left( 8x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}=\left( 8x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}+2.8x^{2}.y^{2}-16x^{2}y^{2}$
= $\left( 8x^{2}+y^{2} \right)^{2}-\left( 4xy \right)^{2}=\left( 8x^{2}+y^{2}+4xy \right)\left( 8x^{2}+y^{2}-4xy \right)$
b, Ta có: $a^{4}+64=\left( a^{2} \right)^{2}+8^{2}=\left( a^{2} \right)^{2}+8^{2}+2.a^{2}.8-16a^{2}$
= $\left( a^{2}+8 \right)^{2}-\left( 4a \right)^{2}=\left( a^{2}+8+4a \right)\left( a^{2}+8-4a \right)$
c, Ta có: $a^{4}+4b^{4}=\left( a^{2} \right)^{2}+\left( 2b^{2} \right)^{2}+2.a^{2}.2b^{2}-4a^{2}.b^{2}$
= $\left( a^{2}-2b^{2} \right)^{2}-\left( 2ab \right)^{2}=\left( a^{2}-2b^{2}+2ab \right)\left( a^{2}-2b^{2}-2ab \right)$
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $x^{4}+4$ b, $4x^{8}+1$ d, $x^{4}+4$
HD:
a, Ta có:$x^{4}+4=\left( x^{2} \right)^{2}+2^{2}+2.x^{2}.2-4x^{2}=\left( x^{2}+2 \right)^{2}-\left( 2x \right)^{2}$
= $\left( x^{2}+2-2x \right)\left( x^{2}+2+2x \right)$
b, Ta có: $4x^{8}+1=\left( 2x^{4} \right)^{2}+1^{2}+2.2x^{4}.1-4x^{4}=\left( 2x^{4}+1 \right)^{2}-\left( 2x^{2} \right)^{2}$
= $\left( 2x^{4}+1-2x^{2} \right)\left( 2x^{4}+1+2x^{2} \right)$
c, Ta có: $x^{4}+4=\left( x^{2} \right)^{2}+2^{2}+2.x^{2}.2-4x^{2}=\left( x^{2}+2 \right)^{2}-\left( 2x \right)^{2}$
$=\left( x^{2}+2-2x \right)\left( x^{2}+2+2x \right)$
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $x^{64}+x^{32}+1$ b, $a^{10}+a^{5}+1$ d, $x^{5}-x^{4}-1$
HD:
a, Ta có: $x^{64}+x^{32}+1=x^{64}+2.x^{32}+1-x^{32}=\left( x^{32}+1 \right)^{2}-x^{32}$
$=\left( x^{32}+1+x^{16} \right)\left( x^{32}+1-x^{16} \right)$
b, Ta có: $a^{10}+a^{5}+1=\left( a^{10}-a \right)+\left( a^{5}-a^{2} \right)+\left( a^{2}+a+1 \right)=a\left( a^{9}-1 \right)+a^{2}\left( a^{3}-1 \right)+\left( a^{2}+a+1 \right)$
= $a\left( (a^{3})^{3}-1 \right)+a^{2}\left( a^{3}-1 \right)+\left( a^{2}+a+1 \right)=a\left( a^{3}-1 \right)\left( a^{6}+2a^{3}+1 \right)+a^{2}\left( a^{3}-1 \right)+\left( a^{2}+a+1 \right)$
= $\left( a^{7}+2a^{4}+a \right)\left( a-1 \right)\left( a^{2}+a+1 \right)+a^{2}\left( a-1 \right)\left( a^{2}+a+1 \right)+\left( a^{2}+a+1 \right)$
= $\left( a^{2}+a+1 \right)\left[ \left( a^{7}+2a^{4}+a \right)\left( a-1 \right)+\left( a^{3}-a^{2} \right)+1 \right]$
c, Ta có: $x^{5}-x^{4}-1=\left( x^{5}-x^{4}+x^{3} \right)-\left( x^{3}+1 \right)=x^{3}\left( x^{2}-x+1 \right)-\left( x+1 \right)\left( x^{2}-x+1 \right)$
$\left( x^{2}-x+1 \right)\left( x^{3}-x-1 \right)$
I. Phương pháp :
- Các đa thức không thể sử dụng các phương pháp như đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử và sủ
dụng hằng đẳng thức cũng như đoán nghiệm,
- Trong các thành phần của đa thức có chứa các hạng tử bậc 4, ta sẽ thêm bớt để đưa về hằng đẳng
thức số 3 : $a^{2}-b^{2}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)$
II. Luyện tập:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $4x^{4}+81$ b, $64x^{4}+y^{4}$
HD :
a, Ta có :$4x^{4}+81=\left( 2x^{2} \right)^{2}+9^{2}+2.2x^{2}.9-2.2x^{2}.9=\left( 2x^{2}+9 \right)^{2}-36x^{2}$
$=\left( 2x^{2}+9 \right)^{2}-\left( 6x \right)^{2}=\left( 2x^{2}+6x+9 \right)\left( 2x^{2}-6x+9 \right)$
b, Ta có : $64x^{4}+y^{4}=\left( 8x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}+2.8x^{2}.y^{2}-2.8x^{2}.y^{2}=\left( 8x^{2}+y^{2} \right)^{2}-16x^{2}y^{2}$
$=\left( 8x^{2}+y^{2} \right)^{2}-\left( 4xy \right)^{2}=\left( 8x^{2}+4xy+y^{2} \right)\left( 8x^{2}-4xy+y^{2} \right)$
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $4x^{4}+y^{4}$ b, $4x^{8}+1$ c,$x^{4}y^{4}+4$
HD :
a, Ta có : $4x^{4}+y^{4}=\left( 2x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}=\left( 2x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}+2.2x^{2}.y^{2}-4x^{2}y^{2}$
$=\left( 2x^{2}+y^{2} \right)^{2}-\left( 2xy \right)^{2}$$=\left( 2x^{2}+y^{2}+2xy \right)\left( 2x^{2}+y^{2}-2xy \right)$
b, Ta có : $4x^{8}+1=\left( 2x^{4} \right)^{2}+1+2.2x^{4}.1-4x^{4}$
$=\left( 2x^{4}+1 \right)^{2}-\left( 2x^{2} \right)^{2}=\left( 2x^{4}+2x^{2}+1 \right)\left( 2x^{4}-2x^{2}+1 \right)$
c, Ta có : $x^{4}y^{4}+4=\left( x^{2}y^{2} \right)^{2}+2^{2}=\left( x^{2}y^{2} \right)^{2}+2^{2}+2.x^{2}.y^{2}.2-4x^{2}y^{2}$
$\left( x^{2}y^{2}+2 \right)^{2}-\left( 2xy \right)^{2}=\left( x^{2}y^{2}-2xy+2 \right)\left( x^{2}y^{2}+2xy+2 \right)$
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $x^{8}+x^{4}+1$ b, $x^{7}+x^{5}+1$
HD :
a, Ta có: $x^{8}+x^{4}+1=x^{8}+x^{4}+x^{4}+1-x^{4}=x^{8}+2x^{4}+1-x^{4}$
$\left( x^{4}+1 \right)^{2}-\left( x^{2} \right)^{2}=\left( x^{4}+x^{2}+1 \right)\left( x^{4}-x^{2}+1 \right)$
b, Ta có: $x^{7}+x^{5}+1=x^{7}+x^{5}+(x^{2}+x)+1-x^{2}-x=\left( x^{7}-x \right)+\left( x^{5}-x^{2} \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=x\left( x^{6}-1 \right)+x^{2}\left( x^{3}-1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)=x\left( x^{3}+1 \right)\left( x^{3}-1 \right)+x^{2}\left( x^{3}-1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)$
= $x\left( x^{3}+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x^{2}+x+1 \right)+x^{2}\left( x^{3}-1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{5}-x^{4}+x^{2}-x \right)+\left( x^{3}-x^{2} \right)\left( x^{2}+x+1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)$
= $\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{5}-x^{4}+x^{2}-x+x^{3}-x^{2}+1 \right)$$=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{5}-x^{4}+x^{3}-2x^{2}-x+1 \right)$
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $x^{7}+x^{2}+1$ b, $x^{5}+x-1$ c,$x^{8}+x+1$
HD:
a, Ta có: $x^{7}+x^{2}+1=\left( x^{7}-x \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)=x\left( x^{6}-1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=x\left( x^{3}-1 \right)\left( x^{3}+1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)=x\left( x-1 \right)\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{3}+1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)$
$\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{5}-x^{4}+x^{2}-x+1 \right)$
b, Ta có: $x^{5}+x-1=\left( x^{5}+x^{2} \right)+\left( -x^{2}+x-1 \right)=x^{2}\left( x^{3}+1 \right)-\left( x^{2}-x+1 \right)$
= $x^{2}\left( x+1 \right)\left( x^{2}-x+1 \right)-\left( x^{2}-x+1 \right)=\left( x^{2}-x+1 \right)\left( x^{3}+x^{2}-1 \right)$
c, Ta có: $x^{8}+x+1=\left( x^{8}-x^{2} \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)=x^{2}\left( x^{6}-1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)$
$=x^{2}\left( x^{3}+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x^{2}+x+1 \right)+\left( x^{2}+x+1 \right)=\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{6}-x^{5}+x^{3}-x^{2}+1 \right)$
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $64x^{4}+y^{4}$ b, $4x^{4}+y^{4}$ c, $x^{4}+324$
HD:
a, Ta có: $64x^{4}+y^{4}=\left( 8x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}+2.8x^{2}y^{2}-16x^{2}.y^{2}=\left( 8x^{2}+y^{2} \right)^{2}-\left( 4xy \right)^{2}$
$=\left( 8x^{2}+y^{2}-4xy \right)\left( 8x^{2}+y^{2}+4xy \right)$
b, Ta có: $4x^{4}+y^{4}=\left( 2x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}=\left( 2x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}+2.2x^{2}.y^{2}-4x^{2}y^{2}$
$\left( 2x^{2}+y^{2} \right)^{2}-\left( 2xy \right)^{2}=\left( 2x^{2}+y^{2}-2xy \right)\left( 2x^{2}+y^{2}+2xy \right)$
c, Ta có:$x^{4}+324=\left( x^{2} \right)^{2}+\left( 18 \right)^{2}=\left( x^{2} \right)^{2}+\left( 18 \right)^{2}+2.x^{2}.18-36x^{2}$
$=\left( x^{2}+18 \right)^{2}-\left( 6x \right)^{2}=\left( x^{2}+18+6x \right)\left( x^{2}+18-6x \right)$
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a,$x^{4}+64$ b, $81x^{4}+4y^{4}$ c, $x^{4}+4y^{4}$
HD:
a, Ta có: $x^{4}+64=\left( x^{2} \right)^{2}+8^{2}=\left( x^{2} \right)^{2}+8^{2}+2.x^{2}.8-16x^{2}$
$=\left( x^{2}+8 \right)^{2}-\left( 4x \right)^{2}=\left( x^{2}+8-4x \right)\left( x^{2}+8+4x \right)$
b, Ta có: $81x^{4}+4y^{4}=\left( 9x^{2} \right)^{2}+\left( 2y^{2} \right)^{2}=\left( 9x^{2} \right)^{2}+\left( 2y^{2} \right)^{2}+2.9x^{2}.2y^{2}-36x^{2}y^{2}$
$\left( 9x^{2}+2y^{2} \right)-\left( 6xy \right)^{2}=\left( 9x^{2}+2y^{2}-6xy \right)\left( 9x^{2}+2y^{2}+6xy \right)$
c, Ta có: $x^{4}+4y^{4}=\left( x^{2} \right)^{2}+\left( 2y^{2} \right)^{2}=\left( x^{2} \right)^{2}+\left( 2y^{2} \right)^{2}+2.x^{2}.2y^{2}-4x^{2}y^{2}$
$=\left( x^{2}+2y^{2} \right)^{2}-\left( 2xy \right)^{2}=\left( x^{2}+2y^{2}+2xy \right)\left( x^{2}+2y^{2}-2xy \right)$
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $x^{4}y^{4}+4$ b, $4x^{4}y^{4}+1$ c, $4x^{4}+81$
HD:
a, Ta có:$x^{4}y^{4}+4=\left( x^{2}y^{2} \right)^{2}+2^{2}=\left( x^{2}y^{2} \right)^{2}+2^{2}+2.x^{2}y^{2}.2-4x^{2}.y^{2}$
$\left( x^{2}y^{2}+2 \right)^{2}-\left( 2xy \right)^{2}=\left( x^{2}y^{2}-2xy+2 \right)\left( x^{2}y^{2}+2xy+2 \right)$
b, Ta có:$4x^{4}y^{4}+1=\left( 2x^{2}y^{2} \right)^{2}+1=\left( 2x^{2}y^{2} \right)^{2}+1+2.2x^{2}y^{2}-4x^{2}y^{2}$
$\left( 2x^{2}y^{2}+1 \right)^{2}-\left( 2xy \right)^{2}=\left( 2x^{2}y^{2}+1+2xy \right)\left( 2x^{2}y^{2}+1-2xy \right)$
c, Ta có: $4x^{4}+81=\left( 2x^{2} \right)^{2}+9^{2}=\left( 2x^{2} \right)^{2}+9^{2}+2.2x^{2}.9-36x^{2}$
$\left( 2x^{2}+9 \right)^{2}-\left( 6x \right)^{2}=\left( 2x^{2}+9+6x \right)\left( 2x^{2}+9-6x \right)$
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $64x^{4}+y^{4}$ b, $a^{4}+64$ c, $a^{4}+4b^{2}$
HD:
a, Ta có:$64x^{4}+y^{4}=\left( 8x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}=\left( 8x^{2} \right)^{2}+\left( y^{2} \right)^{2}+2.8x^{2}.y^{2}-16x^{2}y^{2}$
= $\left( 8x^{2}+y^{2} \right)^{2}-\left( 4xy \right)^{2}=\left( 8x^{2}+y^{2}+4xy \right)\left( 8x^{2}+y^{2}-4xy \right)$
b, Ta có: $a^{4}+64=\left( a^{2} \right)^{2}+8^{2}=\left( a^{2} \right)^{2}+8^{2}+2.a^{2}.8-16a^{2}$
= $\left( a^{2}+8 \right)^{2}-\left( 4a \right)^{2}=\left( a^{2}+8+4a \right)\left( a^{2}+8-4a \right)$
c, Ta có: $a^{4}+4b^{4}=\left( a^{2} \right)^{2}+\left( 2b^{2} \right)^{2}+2.a^{2}.2b^{2}-4a^{2}.b^{2}$
= $\left( a^{2}-2b^{2} \right)^{2}-\left( 2ab \right)^{2}=\left( a^{2}-2b^{2}+2ab \right)\left( a^{2}-2b^{2}-2ab \right)$
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $x^{4}+4$ b, $4x^{8}+1$ d, $x^{4}+4$
HD:
a, Ta có:$x^{4}+4=\left( x^{2} \right)^{2}+2^{2}+2.x^{2}.2-4x^{2}=\left( x^{2}+2 \right)^{2}-\left( 2x \right)^{2}$
= $\left( x^{2}+2-2x \right)\left( x^{2}+2+2x \right)$
b, Ta có: $4x^{8}+1=\left( 2x^{4} \right)^{2}+1^{2}+2.2x^{4}.1-4x^{4}=\left( 2x^{4}+1 \right)^{2}-\left( 2x^{2} \right)^{2}$
= $\left( 2x^{4}+1-2x^{2} \right)\left( 2x^{4}+1+2x^{2} \right)$
c, Ta có: $x^{4}+4=\left( x^{2} \right)^{2}+2^{2}+2.x^{2}.2-4x^{2}=\left( x^{2}+2 \right)^{2}-\left( 2x \right)^{2}$
$=\left( x^{2}+2-2x \right)\left( x^{2}+2+2x \right)$
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $x^{64}+x^{32}+1$ b, $a^{10}+a^{5}+1$ d, $x^{5}-x^{4}-1$
HD:
a, Ta có: $x^{64}+x^{32}+1=x^{64}+2.x^{32}+1-x^{32}=\left( x^{32}+1 \right)^{2}-x^{32}$
$=\left( x^{32}+1+x^{16} \right)\left( x^{32}+1-x^{16} \right)$
b, Ta có: $a^{10}+a^{5}+1=\left( a^{10}-a \right)+\left( a^{5}-a^{2} \right)+\left( a^{2}+a+1 \right)=a\left( a^{9}-1 \right)+a^{2}\left( a^{3}-1 \right)+\left( a^{2}+a+1 \right)$
= $a\left( (a^{3})^{3}-1 \right)+a^{2}\left( a^{3}-1 \right)+\left( a^{2}+a+1 \right)=a\left( a^{3}-1 \right)\left( a^{6}+2a^{3}+1 \right)+a^{2}\left( a^{3}-1 \right)+\left( a^{2}+a+1 \right)$
= $\left( a^{7}+2a^{4}+a \right)\left( a-1 \right)\left( a^{2}+a+1 \right)+a^{2}\left( a-1 \right)\left( a^{2}+a+1 \right)+\left( a^{2}+a+1 \right)$
= $\left( a^{2}+a+1 \right)\left[ \left( a^{7}+2a^{4}+a \right)\left( a-1 \right)+\left( a^{3}-a^{2} \right)+1 \right]$
c, Ta có: $x^{5}-x^{4}-1=\left( x^{5}-x^{4}+x^{3} \right)-\left( x^{3}+1 \right)=x^{3}\left( x^{2}-x+1 \right)-\left( x+1 \right)\left( x^{2}-x+1 \right)$
$\left( x^{2}-x+1 \right)\left( x^{3}-x-1 \right)$
Đang được quan tâm nhất Khối 8
Tài liệu mới cập nhật
Bài 17. Hằng đẳng thức đáng nhớ
22/09/2026
4
Bài 16. Tìm x
17/09/2026
9
Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức
08/09/2026
41