Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Thầy rất vui khi được đồng hành cùng các em. Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán này bằng cách phá vỡ từng bước khó khăn nhé!

💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải các bài toán tính giá trị biểu thức một cách thông minh, các em không nên thay số trực tiếp ngay từ đầu. Thay vào đó, hãy sử dụng các Hằng đẳng thức đáng nhớ để thu gọn biểu thức:
1. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3. $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
4. $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Lưu ý: Cần quan sát kỹ các hệ số để nhận diện hằng đẳng thức bị ẩn (ví dụ: $4x^2 = (2x)^2$ hoặc $4x - 6 = 2 . (2x - 3)$).

💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)
Câu a: Ta thấy $4x^2 = (2x)^2$ và $8x = 2 . 2x . 2$. Để thành hằng đẳng thức $(2x+2)^2$, ta cần số $2^2 = 4$. Mà đề cho $5$, vậy ta tách $5 = 4 + 1$. Khi đó biểu thức trở thành $(2x+2)^2 + 1$. Thay $x=49$ vào sẽ rất chẵn.
Câu b: Đây chính là dạng khai triển của $(x + 1)^3$. Với $x=99$ thì $x+1=100$, tính toán cực nhanh.
Câu c: Ta thấy hệ số $1, -9, 27$ gợi nhớ đến hằng đẳng thức $(x-3)^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$. Đề cho $-26$, ta viết thành $-27 + 1$. Vậy $C = (x-3)^3 + 1$.
Câu d: Quan sát hạng tử ở giữa: $(4x - 6) = 2 . (2x - 3)$. Khi đó $D$ có dạng $a^2 - 2ab + b^2$ với $a = 2x-3$ và $b = 2x-5$. Biểu thức thu gọn thành $(a-b)^2$.
Câu e: Nhóm các hạng tử có $x, y$ lại: $(x^2 + 2xy + y^2) - (4x + 4y) + 1 = (x+y)^2 - 4(x+y) + 1$. Thay giá trị $x+y=3$ vào là xong.
.  

Câu f: Câu làm khó các bạn nhất. Nhớ 3 công thức quen thuộc:

1. Tổng hai lập phương: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

2. Bình phương của một tổng: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

3. Mẹo biến đổi hay dùng:

   • Muốn biến $x^2 + y^2$ thành $(x + y)^2$: Ta thêm $2xy$ rồi trừ lại $2xy$

     $$\Rightarrow x^2 + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - 2xy = (x + y)^2 - 2xy$$

   • Tương tự với $x^2 - xy + y^2$: Ta thêm $2xy$ rồi trừ đi $3xy$

     $$\Rightarrow x^2 - xy + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - 3xy = (x + y)^2 - 3xy$$

Mục tiêu của bài toán: Đưa toàn bộ chữ $x, y$ đứng lẻ loi về hết dạng nhóm $(x + y)$, vì đề bài đã cho $x + y = 1$. Biến đổi $x+y=1$ . Sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương và kỹ thuật thêm bớt '2xy' để tạo ra bình phương của một tổng, đưa toàn bộ biểu thức về dạng chỉ còn chứa (x + y) và (xy).

BƯỚC 1: Phân tích biểu thức $F$ thành từng phần nhỏ

Biểu thức ban đầu:

$$F = x^3 + y^3 + 3xy(x^2 + y^2) + 6x^2y^2(x + y)$$

Ta chia $F$ làm 3 bộ phận để xử lý:

• Bộ phận 1: $x^3 + y^3$

  • Áp dụng công thức 1: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

  • Áp dụng mẹo biến đổi: $= (x + y)[(x + y)^2 - 3xy]$

• Bộ phận 2: $3xy(x^2 + y^2)$

  • Áp dụng mẹo biến đổi cho $x^2 + y^2$: $= 3xy[(x + y)^2 - 2xy]$

• Bộ phận 3: $6x^2y^2(x + y)$

  • Bộ phận này đã có sẵn $(x + y)$ nên giữ nguyên!

 

⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải

1. Thay số quá sớm: Nhiều em thay $x=49$ vào $4x^2 + 8x + 5$ ngay lập tức, dẫn đến việc tính toán bình phương của 49 rất dễ nhầm lẫn.
2. Nhầm dấu khi phá ngoặc: Ở câu (d), khi tính $(2x-3) - (2x-5)$, các em thường quên đổi dấu hạng tử cuối thành $+5$.
3. Không nhận diện được nhân tử chung: Ở câu (d), không thấy $(4x-6) = 2(2x-3)$ nên không áp dụng được hằng đẳng thức.
4. Bỏ sót số dư: Ở câu (a) và (c), khi tách hằng đẳng thức thường quên mất số $1$ còn dư lại phía sau.
 

🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)

Bài tập:
1. Tính $M = x^2 - 10x + 26$ tại $x = 105$.
2. Tính $N = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ tại $x = 12$.

Lời giải nhanh:
1. $M = (x - 5)^2 + 1$. Thay $x = 105 \Rightarrow M = (105 - 5)^2 + 1 = 100^2 + 1 = 10001$.
2. $N = (x - 2)^3$. Thay $x = 12 \Rightarrow N = (12 - 2)^3 = 10^3 = 1000$.

Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!