a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt

Xét phương trình: 121x² + x - 20 = 0

Để chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, chúng ta có hai cách: tính $\Delta $ hoặc nhận xét tích a.c.

Cách 1: Xét tích $a.c=121\cdot (-20)=-2420$.

Vì $a.c<0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Cách 2: tính $\Delta $

Δ = b² - 4ac = 1² – 4 .121 . (-20) = 1 + 9680 = 9681 >

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

b) Tính giá trị biểu thức

$T=|\sqrt[4]{21+21x_{1}}-\sqrt[4]{21+21x_{2}}|$

$T=|\sqrt[4]{21\left( 1+x_{1} \right)}-\sqrt[4]{21\left( 1+x_{2} \right)}|$

$T=\sqrt[4]{21}.\left| \sqrt[4]{1+x_{2}}-\sqrt[4]{1+x_{2}} \right|$

Đặt t = 1 + x

Khi đó phương trình trở thành: $121(t-1)^{2}+(t-1)-20=0$

Rút gọn: $121t^{2}-241t+100=0$

Gọi nghiệm là $t_{1}=1+x_{1},t_{2}=1+x_{2}$

Áp dụng Viète: $t_{1}+t_{2}=\dfrac{241}{121},t_{1}t_{2}=\dfrac{100}{121}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$

Vì $t_{1}t_{2}=\dfrac{100}{121}>0;t_{1}+t_{2}=\dfrac{241}{121}>0$nên $t_{1},t_{2}$đều là các số dương

do đó $\sqrt{t_{1}},\sqrt{t_{2}},\sqrt[4]{t_{1}},\sqrt[4]{t_{2}}$luôn có nghĩa

$T=\sqrt[4]{21}.|\sqrt[4]{t_{1}}-\sqrt[4]{t_{2}}|$

Suy ra $T^{2}=(\sqrt[4]{21})^{2}.\left| \sqrt[4]{t_{1}}-\sqrt[4]{t_{2}} \right|^{2}$

$T^{2}=\sqrt{21}\cdot (\sqrt{t_{1}}+\sqrt{t_{2}}-2\sqrt[4]{t_{1}t_{2}})$

Áp dụng Viète vào:

$\left( \sqrt{t_{1}}+\sqrt{t_{2}} \right)^{2}=t_{1}+t_{2}+2\sqrt{t_{1}t_{2}}=\dfrac{241}{121}+2\cdot \dfrac{10}{11}=\dfrac{241}{121}+\dfrac{220}{121}=\dfrac{461}{121}$ ⇒ $\sqrt{t_{1}}+\sqrt{t_{2}}=\dfrac{\sqrt{461}}{11}$

$\sqrt[4]{t_{1}t_{2}}=\sqrt{\dfrac{10}{11}}$

Suy ra \[T^{2}=\sqrt{21}.\left( \dfrac{\sqrt{461}}{11}-2\sqrt{\dfrac{10}{11}} \right)\]

Vậy giá trị T là: \[T=\sqrt{\sqrt{21}.\left( \dfrac{\sqrt{461}}{11}-2\sqrt{\dfrac{10}{11}} \right)}\]