Lời giải
a) Vẽ đồ thị $(P)$.
Bảng giá trị của hàm số:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 \\ \hline y = \frac{-1}{2}x^2 & -8 & -2 & 0 & -2 & -8 \\ \hline \end{array}$

b) Gọi $A(x_A; y_A)$ là điểm thuộc đồ thị $(P):y = \frac{-1}{2}x^2$.
Vì điểm $A$ có tung độ bằng $\frac{-1}{2}$ nên $y_A = \frac{-1}{2}$
Thay $y_A = \frac{-1}{2}$ vào $y = \frac{-1}{2}x^2$, ta có: $\frac{-1}{2}x_A^2 = \frac{-1}{2}$
$x_A^2 = 1$
$x_A = 1$ hoặc $x_A = -1$
Vậy $A\left(1; \frac{-1}{2}\right), A\left(-1; \frac{-1}{2}\right)$ là tọa độ cần tìm.
Lời giải
a) $3x^2 - 2x - 5 = 0$
Ta có $a = 3; b = -2; c = -5$.
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4.3.(-5) = 64 > 0$.
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.

b) Vì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{3} = \frac{2}{3} \\ x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{3} \end{array} \right.$
$M = x_1(x_1 - 1) + x_2(x_2 - 1)$
$M = x_1^2 - x_1 + x_2^2 - x_2$
$M = (x_1^2 + x_2^2) - (x_1 + x_2)$
$M = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 - (x_1 + x_2)$
$M = \left( \frac{2}{3} \right)^2 - 2 \cdot \left( \frac{-5}{3} \right) - \frac{2}{3}$
$M = \frac{28}{9}$
Lời giải
a) Bảng thống kê
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Từ} & \text{THÀNH} & \text{PHỐ} & \text{HỒ} & \text{CHÍ} & \text{MINH} \\ \hline \text{Số lượng} & 5 & 4 & 7 & 2 & 5 \\ \hline \end{array}$
Tổng số thẻ trong hộp là: $5 + 4 + 7 + 2 + 5 = 23$ thẻ
Thẻ không quá $3$ chữ cái suy ra là các chữ “PHỐ”; “HỒ”; “CHÍ” gồm $4 + 7 + 2 = 13$ thẻ.

b) Không phải tên ngắn là chữ “THÀNH”; “MINH” gồm $5 + 5 = 10$ thẻ
Xác suất của biến cố $A$ là $P(A) = \frac{10}{23}$.

Bài 4. (1,0 điểm) Một khu đất hình chữ nhật có chiều rộng $35\text{ m}$ được chia làm hai khu vườn nhỏ để trồng rau. Lối đi giữa hai vườn rộng $1,5\text{ m}$ và các lối đi còn lại rộng $0,5\text{ m}$. Khu vườn thứ hai có chiều dài ít hơn khu vườn thứ nhất là $15\text{ m}$. Gọi $x\text{ (m)}$ là chiều dài khu vườn thứ nhất.

a) Viết biểu thức biểu diễn theo $x$ tổng diện tích trồng rau của hai khu vườn.
b) Tìm diện tích hai khu trồng rau. Biết diện tích khu đất lớn hơn diện tích trồng rau là $162,5\text{ m}^2$.

Lời giải
a) Biểu thức tổng diện tích trồng rau:
Chiều dài vườn một: $x\text{ (m)}$.
Chiều dài vườn hai: $x - 15\text{ (m)}$.
Chiều rộng mỗi khu vườn (sau khi trừ lối đi trên và dưới): $35 - 0,5 - 0,5 = 34\text{ m}$.
Tổng diện tích trồng rau: $S = 34x + 34(x - 15) = 34(2x - 15) = 68x - 510\text{ (m}^2\text{)}$.

b) Chiều dài tổng thể khu đất: $0,5 + x + 1,5 + (x - 15) + 0,5 = 2x - 12,5\text{ (m)}$
Diện tích khu đất: $35(2x - 12,5) = 70x - 437,5\text{ (m}^2\text{)}$.
Diện tích khu đất lớn hơn diện tích trồng rau là $162,5\text{ m}^2$ suy ra
$(70x - 437,5) - (68x - 510) = 162,5$
$2x + 72,5 = 162,5$
$2x = 90$
$x = 45$
Diện tích vườn một: $34.45 = 1530 \text{ m}^2$.
Diện tích vườn hai: $34.(45 - 15) = 1020 \text{ m}^2$.
Lời giải
a) Bán kính đáy $r = 1,4 : 2 = 0,7 \text{ m}$.
Chiều cao nước $h = 3,25 : 2 = 1,625 \text{ m}$.
Thể tích nước: $V_1 = \pi \cdot 0,7^2 \cdot 1,625 \approx 2,5 \text{ m}^3$ (làm tròn đến hàng phần mười).

b) Thể tích bồn: $V_b = \pi \cdot 0,7^2 \cdot 3,25 = 1,5925\pi \text{ m}^3$.
Thể tích phao $R = 0,3 \text{ m}$:
$V_p = \frac{4}{3} \pi \cdot 0,3^3 = 0,036\pi \text{ m}^3$.
Lượng nước cần bơm thêm: $V_2 = V_b - V_1 - V_p = 1,5925\pi - 2,5 - 0,036\pi = 1,5565\pi - 2,5 \text{ m}^3$.
Thời gian bơm: $[(1,5565\pi - 2,5) : 0,0024] : 60 \approx 17 \text{ phút}$.
Lời giải
Gọi số giờ làm trong định mức là $x$ (giờ) và số giờ làm thêm ngoài định mức là $y$ (giờ). (Điều kiện: $x, y > 0$).
Tổng số giờ làm việc là $212$ giờ, ta có phương trình: $x + y = 212$ $(1)$
Trong định mức mỗi giờ anh Bình được trả công $38\,000$ đồng, với mỗi giờ làm thêm được trả $150\%$ của tiền công làm một giờ trong định mức suy ra tiền công cho một giờ làm thêm là $38\,000 \cdot 150\% = 57\,000$ đồng
Tổng số tiền lương là $8\,436\,000$ đồng, ta có phương trình:
$38\,000x + 57\,000y = 8\,436\,000$
$38x + 57y = 8\,436$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\begin{cases} x + y = 212 \\ 38x + 57y = 8\,436 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 192 \\ y = 20 \end{cases}$ (nhận)
Vậy anh Bình đã làm thêm $20$ giờ ngoài định mức trong tháng $5$.
Lời giải

a) Tam giác $ABD$ vuông tại $D$ (vì $AD$ là đường cao)
$\Rightarrow \Delta ABD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$.
Tam giác $ABE$ vuông tại $E$ (vì $BE$ là đường cao)
$\Rightarrow \Delta ABE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$.
$\Rightarrow 4$ điểm $A, B, D, E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$
$\Rightarrow$ Tứ giác $ABDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$. Tâm $I$ là trung điểm của $AB$.
$\widehat{ANM} = \widehat{ABM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\widehat{AM}$ của $(O)$)
$\widehat{ADE} = \widehat{ABE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\widehat{AE}$ của $(I)$)
Suy ra $\widehat{ADE} = \widehat{ANM}$
Mà chúng ở vị trí đồng vị nên $DE // MN$.

b) Kẻ đường kính $CK$ của $(O)$. Chứng minh tứ giác $AKBH$ là hình bình hành và suy ra 3 điểm $H, I, K$ thẳng hàng.

Ta có $\widehat{KBC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $CK$ của $(O)$)
$\Rightarrow KB \perp BC$
Mà $AD \perp BC$ (giả thiết) nên $KB // AD$
Ta có $\widehat{KAC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $CK$ của $(O)$)
$\Rightarrow KA \perp AC$
Mà $BE \perp AC$ (giả thiết) nên $KA // BE$
Vậy tứ giác $AKBH$ là hình bình hành.
$\Rightarrow AB$ cắt $KH$ tại trung điểm mỗi đường
Mà $I$ là trung điểm $AB$ nên $I$ là trung điểm $KH$
Vậy 3 điểm $H, I, K$ thẳng hàng.

c) Trong trường hợp $\widehat{BCA} = 60^\circ$. Chứng minh: $DE = \dfrac{1}{2} AB$ và tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ $DE$ và dây cung $DE$ của $(I)$ theo $R$.
Xét $\Delta CDE$ và $\Delta CAB$ có
$\widehat{C}$ là góc chung và $\widehat{CED} = \widehat{CBA}$ (cùng bù với góc $\widehat{AED}$)
$\Rightarrow \Delta CDE \backsim \Delta CAB$ (góc - góc)
$\Rightarrow \frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{DE}{AB}$

Xét $\Delta CDA$ vuông tại $D \Rightarrow \cos C = \frac{CD}{CA}$
$\Rightarrow \frac{CD}{CA} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2} \Rightarrow DE = \frac{1}{2}AB$.
Đường tròn $(I)$ có đường kính $AB$ nên bán kính $r = \frac{AB}{2}$.
Vì $DE = \frac{1}{2}AB = r$, nên $\Delta IDE$ là tam giác đều $\Rightarrow \widehat{DIE} = 60^\circ$
Diện tích quạt tròn $EID$ là $S_q = \frac{\pi r^2 . 60}{360} = \frac{\pi r^2}{6}$
Diện tích tam giác đều $IDE$ cạnh $r$ là $S_{\Delta IDE} = \frac{r^2\sqrt{3}}{4}$.
Diện tích hình viên phân $= S_{vp} = S_q - S_{\Delta IDE} = \frac{\pi r^2}{6} - \frac{r^2\sqrt{3}}{4} = r^2\left( \frac{2\pi - 3\sqrt{3}}{12} \right)$
Kẻ đường kính $AS$ của $(O)$.
$\widehat{SBA} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \Delta SBA$ vuông tại $B$
Ta có $\widehat{ASB} = \widehat{ACB} = 60^\circ$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$)
Ta có $\sin \widehat{ASB} = \frac{AB}{AS} \Rightarrow AB = 2R \sin 60^\circ = R\sqrt{3}$
$\Rightarrow r = \frac{R\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow S_{vp} = \left( \frac{R\sqrt{3}}{2} \right)^2 \left( \frac{2\pi - 3\sqrt{3}}{12} \right) = \frac{R^2(2\pi - 3\sqrt{3})}{16}$.