Lời giải.

1) Tần số của nhóm $[150; 155)$ là $14$.
Tần số tương đối của nhóm $[150; 155)$ là: $\frac{14}{50} \cdot 100\% = 28\%$.

2) Không gian mẫu có $6$ phần tử là: $1; 2; 3; 4; 5; 6$ nên $n(\Omega) = 6$.
Các kết quả xảy ra là đồng khả năng.
Có ba kết quả thuận lợi cho biến cố $A$: số ghi trên quả bóng là số $2; 4; 6$ nên $n(A) = 3$.
Xác suất của biến cố $A$ là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Lời giải.

1) Rõ ràng $x = 25$ thỏa mãn điều kiện đề bài. Với $x = 25$, ta có $A = \frac{\sqrt{25}-4}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$.

2) Với $x > 0$ và $x \neq 9$, ta có
$B = \frac{4}{\sqrt{x}-3} + \frac{x-7\sqrt{x}-12}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$= \frac{4(\sqrt{x}+3) + x - 7\sqrt{x} - 12}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$= \frac{x - 3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$= \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$= \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$.
Vậy ta có điều phải chứng minh.

3) Từ kết quả câu b), ta có
$P = A \cdot B = \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} + 3} = 1 - \frac{7}{\sqrt{x} + 3}.$
Vậy $P$ nguyên khi và chỉ khi $\frac{7}{\sqrt{x} + 3}$ nguyên.
Mà $0 < \frac{7}{\sqrt{x} + 3} < 3$ nên $\frac{7}{\sqrt{x} + 3} \in \{1, 2\}$. Suy ra $\sqrt{x} + 3 \in \{7, \frac{7}{2}\}$.
Do đó $\sqrt{x} \in \{4, \frac{1}{2}\}$, suy ra $x \in \{16, \frac{1}{4}\}$.
Đối chiếu các điều kiện, ta thấy đều thỏa mãn. Vậy tập tất cả các giá trị cần tìm là $S = \{16, \frac{1}{4}\}$.
Lời giải.

1) Gọi số chiếc áo tổ sản xuất may được mỗi ngày theo kế hoạch là $x$ (chiếc, $x \in \mathbb{N}^*$).
Trong 3 ngày đầu, số áo may được là: $3x$ (chiếc).
Trong 7 ngày tiếp theo, thực tế mỗi ngày tổ may được: $x + 5$ (chiếc).
Số áo may được trong 7 ngày tiếp theo là: $7(x + 5)$ (chiếc).
Vì sau 10 ngày tổng số áo may được là 335 chiếc nên ta có phương trình:
$3x + 7(x + 5) = 335$.
Giải phương trình tìm được $x = 30$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất may được 30 chiếc áo.

2) Gọi số bông hoa hồng và số bông hoa cúc người đó đã mua lần lượt là $x, y$ (bông, $x, y \in \mathbb{N}^*, x, y < 25$).
Do người đó mua tổng cộng 25 bông nên $x + y = 25$ (1).
Số tiền mua hoa hồng là: $8x$ (nghìn đồng).
Số tiền mua hoa cúc là: $6y$ (nghìn đồng).
Tổng số tiền người đó trả là 180 nghìn đồng nên ta có phương trình: $8x + 6y = 180$ (2).
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\begin{cases} x + y = 25, \\ 8x + 6y = 180. \end{cases}$
Giải hệ tìm được $x = 15, y = 10$.
Vậy người đó đã mua 15 bông hoa hồng và 10 bông hoa cúc.

3) Phương trình $x^2 - 3x + 1 = 0$ hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ nên theo hệ thức Vi-ét, ta có: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1x_2 = 1 \end{cases}$
Ngoài ra, ta có $x_1^2 - 3x_1 + 1 = 0$ nên $\frac{1}{x_1} = 3 - x_1$. Khi đó
$Q = \frac{3x_2}{x_1} - \frac{1}{x_1} + \frac{3x_1}{x_2} - x_1$
$= \frac{3(x_1^2 + x_2^2)}{x_1x_2} - \frac{1}{x_1} - x_1$
$= \frac{3[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2]}{x_1x_2} - (3 - x_1) - x_1$
$= \frac{3(3^2 - 2 \cdot 1)}{1} - 3$
$= 3(9 - 2) - 3$
$= 18$.
Lời giải.

1 a) Diện tích xung quanh của xô đựng nước là:
$S_{xq} = 2\pi Rh \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 12 \cdot 25 = 1884 \text{ (cm}^2\text{)}.$

1 b) Thể tích xô nước là
$V_{\text{xô}} = \pi R^2 h \approx 3,14 \cdot 12^2 \cdot 25 = 3,14 \cdot 144 \cdot 25 = 11304 \text{ (cm}^3\text{)}.$
Mỗi lần múc chỉ đạt $80\%$ thể tích xô, nên lượng nước mỗi lần múc là:
$V_{\text{thực tế}} \approx 11304 \cdot 80\% = 11304 \cdot 0,8 = 9043,2 \text{ (cm}^3\text{)}.$
Vì $1$ lít $= 1000 \text{ cm}^3$ nên $V_{\text{thực tế}} \approx \frac{9043,2}{1000} = 9,0432$ (lít). Lại do $\frac{150}{9,0432} \approx 16,58$ nên cần ít nhất
$17$ xô nước để đổ đầy bể.

2)

2 a) Ta có $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với đường kính $BC$. Suy ra $\widehat{BAC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Từ đó, ta thấy $\Delta ACH$ vuông tại $A$.
Suy ra $A, C, H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CH$. (1)
Do $HD \perp BC$ nên $\widehat{HDC} = 90^\circ$. Vì thế, ta có $\Delta DCH$ vuông tại $D$.
Suy ra $D, C, H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CH$. (2)
Từ (1) và (2), suy ra bốn điểm $A, H, D, C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CH$.

2 b) Ta có tứ giác $AHDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $CH$ với $\widehat{AHD}$ và $\widehat{ACD}$ là các góc đối. Suy ra $\widehat{AHD} + \widehat{ACD} = 180^\circ$.
Suy ra $\widehat{ACD} = 180^\circ - \widehat{AHD} = \widehat{AHE}$.
Xét $\Delta AEH$ và $\Delta ABC$ có $\widehat{EAH} = \widehat{BAC} = 90^\circ$ và $\widehat{AHE} = \widehat{ACB}$.
Suy ra $\Delta AEH \sim \Delta ABC$ (g.g).
Suy ra $\frac{AE}{AB} = \frac{EH}{BC}$ hay $AE \cdot BC = EH \cdot AB$.
Xét đường tròn $(O)$ đường kính $BC$, ta có $\widehat{BFC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra $CH \perp BF$.
Xét $\Delta EBC$ có các đường cao $BA$ và $ED$ cắt nhau tại $H$. Suy ra $H$ là trực tâm của tam giác $EBC$.
Suy ra $CH \perp BE$.
Kết hợp với $CH \perp BF$, suy ra ba điểm $B, F, E$ thẳng hàng và $CH$ vuông góc với $BE$ tại $F$.
Từ $\widehat{CDE} = \widehat{CFE} = 90^\circ$, chứng minh được bốn điểm $C, D, F, E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CE$.
Suy ra $\widehat{ECF} = \widehat{EDF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EF$).
Xét đường tròn đường kính $CH$, có $\widehat{ACH} = \widehat{ADH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AH$).
Từ đó, suy ra $\widehat{EDF} = \widehat{ADH}$.
Xét $\Delta DAM$ có đường cao $DH$ đồng thời là đường phân giác nên $\Delta DAM$ cân tại $D$.
Suy ra $DH$ là đường trung trực của $AM$.
Suy ra $HA = HM$ và $EA = EM$.
Từ $\Delta EMH = \Delta EAH$ (c.c.c), suy ra $\widehat{EMH} = \widehat{EAH} = 90^\circ$.

c) Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AM$ cắt đường thẳng $CK$ tại $N$.
Từ $\widehat{MAN} = \widehat{MKN} = 90^\circ$, chứng minh được bốn điểm $A, M, K, N$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MN$. (3)
Chú ý rằng $AM \parallel BC$ (cùng vuông góc với $HD$) và $\Delta HAM$ cân tại $H$.
Suy ra $\widehat{AMN} = \widehat{AKN} = \widehat{AKC} = \widehat{ABC} = \widehat{HAM} = \widehat{AMH}$.
Suy ra ba điểm $M, H, N$ thẳng hàng.
Ta có $\widehat{HAN} = 90^\circ - \widehat{HAM} = 90^\circ - \widehat{HMA} = \widehat{HNA}$.
Suy ra $\Delta HAN$ cân tại $H$.
Từ đó, ta có $HM = HA = HN$.
Suy ra $H$ là trung điểm của $MN$.
Suy ra $H$ là tâm đường tròn đường kính $MN$. (4)
Từ (3) và (4) suy ra $HK = HM$.
Vậy $\Delta HKM$ cân tại $M$.
 
Lời giải.
Gọi số công nhân được điều động là $x$ ($x \in \mathbb{N}^*$).
Gọi số ngày thuê kho xưởng để hoàn thành đơn hàng là $y$ ($y \in \mathbb{N}^*$).
Số sản phẩm $x$ công nhân làm được trong $y$ ngày là: $5xy$ (sản phẩm).
Vì tổng số sản phẩm của đơn hàng là 1000 nên: $5xy \ge 1000 \Rightarrow xy \ge 200  \Rightarrow  y \ge \frac{200}{x}$.
Tổng chi phí thuê kho xưởng và thưởng công nhân sau khi hoàn thành đơn hàng là $T = x + 3y$ (triệu đồng).
$T = x + 3y \geqslant x + 3 \cdot \frac{200}{x} = x + \frac{600}{x}$
$T - 49 \ge x + \frac{600}{x} - 49$
$T - 49 \ge \frac{x^2 - 49x + 600}{x}$

"Số 49 này không phải tự nhiên từ trên trời rơi xuống, mà là món quà từ chiếc máy tính Casio (hoặc từ bước nhẩm hằng đẳng thức ngoài nháp) tặng cho chúng ta. Khi đi thi, các em dùng cách nào để tìm ra số 49 cũng được, nhưng khi viết vào bài làm thì chỉ cần viết đoạn xét hiệu $T - 49$ là bài giải sẽ sạch đẹp và kín kẽ tuyệt đối!"
Phân tích đa thức ở tử số thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử: 

$x^2 - 49x + 600 = x^2 - 24x - 25x + 600$
$= x(x - 24) - 25(x - 24)$
$= (x - 24)(x - 25)$

Khi đó biểu thức hiệu được viết lại là:

$T - 49 \ge \frac{(x - 24)(x - 25)}{x}$

Vì $x$ là số công nhân nên $x > 0$. Ta xét các trường hợp đối với số tự nhiên $x$:

• Trường hợp 1: Nếu $x \le 24$. Do $x$ là số tự nhiên nên $x - 24 \le 0$ và $x - 25 < 0$. Tích của hai số không dương và số âm là một số không âm, nghĩa là $(x - 24)(x - 25) \ge 0$.

• Trường hợp 2: Nếu $x \ge 25$. Do $x$ là số tự nhiên nên $x - 24 > 0$ và $x - 25 \ge 0$. Tích của hai số dương và số không âm là một số không âm, nghĩa là $(x - 24)(x - 25) \ge 0$.

Trong cả hai trường hợp, ta đều có tích $(x - 24)(x - 25) \ge 0$.

Do mẫu số $x > 0$ nên vế phải của bất đẳng thức luôn không âm.

Từ đó ta suy ra:

$T - 49 \ge 0 \quad \text{dẫn đến} \quad T \ge 49$

Như vậy, tổng chi phí thấp nhất là $49$ triệu đồng.

Dấu bằng xảy ra khi các điều kiện dấu bằng ở trên đồng thời được thỏa mãn, nghĩa là:

$xy = 200$ và $(x - 24)(x - 25) = 0$.

Từ tích bằng 0, ta có hai trường hợp của số công nhân:
Với $x = 24$ thì $y = \frac{200}{24} = \frac{25}{3}$ (không thỏa mãn).
Với $x = 25$ thì $y = \frac{200}{25} = 8$ (thỏa mãn). Tổng chi phí khi đó là $T = 25 + 3 \cdot 8 = 25 + 24 = 49$ (triệu đồng).
Vậy công ty nên điều động 25 công nhân và thuê kho xưởng trong 8 ngày để chi phí thấp nhất. 


Cách khác
Gọi số công nhân cần điều động là $x$ ($x \in \mathbb{N}^*$).
Gọi số ngày thuê kho xưởng của công ty là $y$ ($y \in \mathbb{N}^*$, do chi phí thuê tính theo ngày).
Số sản phẩm công nhân làm trong một ngày là $5x$ (sản phẩm).
Do đó, số sản phẩm công nhân làm trong $y$ ngày là $5xy$ (sản phẩm).
Ta có: $5xy = 1000$ nên $xy = 200$.
Do đó: $y = \frac{200}{x}$.
Chi phí thuê kho trong $y$ ngày là $3y$ (triệu đồng)
Chi phí thưởng công nhân là $x$ (triệu đồng)
Tổng chi phí thuê kho và thưởng công nhân là
$P = x + 3y = x + \frac{600}{x}$ (triệu đồng)
Ta có: $P = x + \frac{600}{x}$
Vì $x \in \mathbb{N}^*$, $y \in \mathbb{N}^*$ và $xy = 200$ nên $x$ là ước của $200$, do đó
$x \in \{1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 25; 40; 50; 100; 200\}$.
Ta có bảng sau:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 4 & 5 & 8 & 10 & 20 & 25 & 40 & 50 & 100 & 200 \\ \hline P & 601 & 302 & 154 & 125 & 83 & 70 & 50 & 49 & 55 & 62 & 106 & 203 \\ \hline \end{array}$
Do $P$ nhỏ nhất nên $x = 25$, suy ra $y = 8$.
Vậy công ty nên điều động $25$ công nhân và thuê kho xưởng trong $8$ ngày để tổng chi phí là nhỏ nhất.