Câu 1: Một bể nước có dạng hình nón cụt ngược có chiều cao bằng $2,75\text{ m}$. Bán kính đáy trên bằng $2\text{ m}$ và bán kính đáy dưới bằng $0,75\text{ m}$. Ban đầu bể không chứa nước, sau đó người ta bơm nước vào bể với tốc độ $2\text{ m}^3/\text{phút}$. Tại thời điểm chiều cao mực nước trong bể là $85\text{ cm}$ thì tốc độ dâng lên của mực nước trong bể bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Đổi $85 \text{ cm} = 0,85 \text{ m}$.
Bán kính mặt nước tại độ cao $h = 0,85 \text{ m}$:
$r = 0,75 + \frac{2 - 0,75}{2,75} \cdot 0,85 \approx 1,136 \text{ m}$.
Diện tích mặt nước lúc đó:
$S = \pi r^2 \approx \pi \cdot 1,136^2 \approx 4,06 \text{ m}^2$.
Tốc độ dâng của mực nước:
$v = \frac{\text{lưu lượng bơm}}{\text{diện tích mặt nước}} = \frac{2}{4,06} \approx 0,493 \text{ m/phút}$.
$\text{Làm tròn đến hàng phần chục:}$
$0,5 \text{ m/phút}$

Câu 2: Một bể nước thiết kế phía dưới là hình hộp chữ nhật đáy là hình vuông cạnh bằng $10$ mét, chiều cao $1$ mét. Phía trên là hình chóp cụt tứ giác đều có đáy trên là hình vuông cạnh $15$ mét. Tổng chiều cao của bể là $4$ mét. Lúc đầu bể không có nước, người ta bơm vào bể với tốc độ không đổi là $5\text{ m}^3$ khối trên phút. Hỏi sau một giờ bơm thì tốc độ dâng lên của nước trong bể là bao nhiêu mét trên phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Sau 1 giờ, lượng nước bơm vào là
$V = 5 \cdot 60 = 300 \text{ m}^3$.
Phần dưới là hình hộp chữ nhật:
$V_1 = 10^2 \cdot 1 = 100 \text{ m}^3$.
Vậy nước đã dâng vào phần chóp cụt là
$300 - 100 = 200 \text{ m}^3$.
Gọi $h$ là chiều cao nước trong phần chóp cụt.
Khi đó cạnh mặt nước là
$a = 10 + \frac{5}{3} h$.

Thể tích phần nước trong chóp cụt:
$\int_{0}^{h} \left( 10 + \frac{5}{3} x \right)^2 dx = 200.$
Giải được $h \approx 1,56.$
Khi đó cạnh mặt nước:
$a = 10 + \frac{5}{3} \cdot 1,56 \approx 12,60.$

Diện tích mặt nước:
$S = a^2 \approx 12,60^2 \approx 158,76 \text{ m}^2.$
Vậy tốc độ dâng của nước là
$v = \frac{\text{lưu lượng bơm}}{\text{diện tích mặt nước}} = \frac{5}{158,76} \approx 0,03.$

Câu 3: Cho một bể chứa nước có hình dạng là một lăng trụ đứng $AEFB.DHGC$.
Mặt đáy của lăng trụ là hình thang vuông $AEFB$ (vuông tại $A$ và $E$).
Biết rằng chiều dài của bể $AD = 12$ m và chiều rộng của mặt bể $AB = 6$ m,
chiều rộng của đáy bể $EF = 3$ m và chiều cao của bể $AE = 4$ m.
Bể được bơm nước vào với lưu lượng không đổi $P = 4 \text{ m}^3/\text{giờ}$.
Giả sử mặt nước $(IKJL)$ luôn song song với mặt đáy $(HGFE)$ (tham khảo hình vẽ).

Tính tốc độ tăng chiều cao của mực nước tại thời điểm $t = 18$ giờ
(đơn vị tính theo mét trên giờ, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $h$ là chiều cao mực nước sau $18$ giờ.
Thể tích nước đã bơm : $V = 4 \cdot 18 = 72 \text{ m}^3$
Ở độ cao $h$, chiều rộng mặt nước tăng đều từ $3 \text{ m}$ lên $6 \text{ m}$ trong chiều cao $4 \text{ m}$ nên:
$x = 3 + \frac{6 - 3}{4} h = 3 + \frac{3}{4} h.$
Thể tích nước khi cao $h$:
$V = 12 \cdot \frac{(3 + x)h}{2} = 12 \cdot \frac{(3 + 3 + \frac{3}{4}h)h}{2}$
$= 36h + \frac{9}{2} h^2.$
Do đó:
$36h + \frac{9}{2} h^2 = 72$
$h^2 + 8h - 16 = 0 \Rightarrow h = 4\sqrt{2} - 4.$
Khi đó chiều rộng mặt nước:
$x = 3 + \frac{3}{4} (4\sqrt{2} - 4) = 3\sqrt{2}.$
Diện tích mặt nước:
$S = \frac{(3\sqrt{2} + 6\sqrt{2})}{2} \cdot 12 = 30\sqrt{2}.$
Tốc độ dâng:
$v = \frac{\text{lưu lượng bơm}}{\text{diện tích mặt nước}} = \frac{4}{30\sqrt{2}} \approx 0,08.$
Vậy tốc độ tăng chiều cao mực nước là $0,08$ m/giờ.

Câu 4: Một cái chậu đựng nước hình bán cầu có bán kính bằng $2\text{ dm}$. Người ta đặt một ống nhựa và cho nước vào chậu với lưu lượng nước không đổi bằng $0,3\text{ lit/phút}$. Đến phút thứ $6$, tốc độ dâng lên của nước trong chậu bằng bao nhiêu $\text{dm/phút}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Sau 6 phút, thể tích nước là $V = 0,3 \cdot 6 = 1,8 \text{ dm}^3$.
Với chậu bán cầu bán kính $R = 2$, thể tích nước cao $h$ là $V = \pi h^2 \left( 2 - \frac{h}{3} \right)$.
Do đó $\pi h^2 \left( 2 - \frac{h}{3} \right) = 1,8 \Rightarrow h \approx 0,56 \text{ dm}$.
Bán kính mặt nước tại độ cao $h$: $r^2 = 2^2 - (2 - h)^2 = 4h - h^2$.
Diện tích mặt nước: $S = \pi r^2 = \pi (4h - h^2)$.
Thay $h \approx 0,56$: $S \approx \pi (4 \cdot 0,56 - 0,56^2) \approx 6,07 \text{ dm}^2$.
Tốc độ dâng: $v = \frac{\text{lưu lượng}}{\text{diện tích mặt nước}} = \frac{0,3}{6,07} \approx 0,05 \text{ dm/phút}$.
Vậy tốc độ dâng của nước trong chậu là $0,05 \text{ dm/phút}$.