Câu 4: Một cái bể nước có dạng khối chóp tứ giác đều ngược với cạnh đáy bằng $3\sqrt{2}$ (dm) và chiều cao bằng $6$ (dm) (tham khảo hình vẽ - các kích thước được nêu ra là phần bên trong hình). Nước được bơm vào bể với tốc độ không đổi là $2$ lit/phút và ban đầu bể không chứa nước. Hỏi tốc độ dâng lên của nước khi thể tích nước trong bể bằng $\frac{1}{3}$ thể tích của bể là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy)

Gọi $h$ là chiều cao của mực nước tại thời điểm xét.
Ở độ cao $h$, mặt nước là hình vuông đồng dạng với đáy trên. Ta có:
$\frac{a}{h} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow a = \frac{\sqrt{2}}{2} h$
Trong đó $a$ là cạnh mặt nước tại độ cao $h$ (dm).

1. Thể tích nước trong bể khi mực nước ở độ cao $h$
$V = \frac{1}{3} a^2 h = \frac{1}{3} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} h \right)^2 h = \frac{1}{6} h^3 \text{ (dm}^3\text{)}$

2. Khi thể tích nước bằng $\frac{1}{3}$ thể tích của bể
Thể tích của bể:
$V_{\text{bể}} = \frac{1}{3} (3\sqrt{2})^2 \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 36 \text{ (dm}^3\text{)}$
Khi đó $V = \frac{1}{3} V_{\text{bể}} = 12 \text{ (dm}^3\text{)} \Rightarrow \frac{1}{6} h^3 = 12$
$\Rightarrow h^3 = 72 \Rightarrow h = 4\sqrt[3]{2} \text{ (dm)}$

3. Diện tích mặt nước tại thời điểm đó
$S = a^2 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} h \right)^2 = \frac{1}{2} h^2$
Với $h = 4\sqrt[3]{2} \Rightarrow S = \frac{1}{2} (4\sqrt[3]{2})^2 = 8\sqrt[3]{4} \text{ (dm}^2\text{)}$

4. Tốc độ dâng của mực nước
Gọi $V$ là thể tích nước, $t$ là thời gian (phút).
Do bơm với tốc độ không đổi là $2$ lit/phút
$= 2 \text{ dm}^3/\text{phút}$ nên
$\frac{dV}{dt} = 2 \text{ (dm}^3/\text{phút)}$
Mặt khác: $V = \frac{1}{6} h^3 \Rightarrow \frac{dV}{dt} = \frac{1}{2} h^2 \cdot \frac{dh}{dt}$
Suy ra: $\frac{dh}{dt} = \frac{dV/dt}{\frac{1}{2} h^2} = \frac{4}{h^2}$
Thay $h = 4\sqrt[3]{2} \Rightarrow h^2 = (4\sqrt[3]{2})^2 = 4\sqrt[3]{4}$
Vậy $\frac{dh}{dt} = \frac{4}{4\sqrt[3]{4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \approx 0,63 \text{ dm/phút.}$

Câu 5: Một cái chậu đựng nước có dạng hình chóp cụt đều đáy là các tam giác cạnh bằng $1 \text{ dm}$ và $3 \text{ dm}$. Chiều cao chậu nước bằng $4 \text{ dm}$. Người ta bơm nước vào chậu với lưu lượng không đổi $0,5 \text{ lit/phút}$. Đến phút thứ $10$ thì tốc độ dâng lên của nước trong chậu là bao nhiêu $\text{dm/phút}$? (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $h$ là chiều cao mực nước sau $10$ phút.
Lưu lượng bơm:
$0,5 \text{ lit/phút} = 0,5 \text{ dm}^3/\text{phút}.$
Sau $10$ phút, thể tích nước là:
$V = 0,5 \cdot 10 = 5 \text{ dm}^3.$
Cạnh tam giác mặt nước tại độ cao $h$:
$\frac{a - 1}{h} = \frac{3 - 1}{4} \Rightarrow a = 1 + \frac{h}{2}.$
Thể tích nước đến độ cao $h$:
$V = \int_{0}^{h} \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 1 + \frac{x}{2} \right)^2 dx.$
Thay $V = 5$, giải được
$h \approx 3,27 \text{ dm}.$

Khi đó cạnh mặt nước:
$a = 1 + \frac{3,27}{2} \approx 2,64.$
Diện tích mặt nước:
$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \approx \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2,64^2 \approx 3,01 \text{ dm}^2.$
Vậy tốc độ dâng của nước
$v = \frac{\text{lưu lượng bơm}}{\text{diện tích mặt nước}} = \frac{0,5}{3,01} \approx 0,17.$

Câu 6: Một bể nước có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có đáy dưới nhỏ hơn là hình vuông có cạnh bằng $40\text{ cm}$, đáy trên có độ dài cạnh bằng $80\text{ cm}$ và chiều cao bể nước bằng $120\text{ cm}$. Ban đầu bể không có nước, người ta bơm nước vào bể với tốc độ $1800\text{ cm}^3/\text{phút}$. Hỏi ở thời điểm $25$ phút kể từ lúc bắt đầu bơm thì tốc độ dâng lên của mực nước là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Gọi $h$ là chiều cao mực nước sau $25$ phút.
Thể tích nước đã bơm:
$V = 1800 . 25 = 45000 \text{ cm}^3$.
Cạnh mặt nước tại độ cao $h$:
$a = 40 + \frac{80 - 40}{120} h = 40 + \frac{h}{3}$.
Thể tích nước:
$V = \int_{0}^{h} \left( 40 + \frac{x}{3} \right)^2 dx = 1600h + \frac{40}{3} h^2 + \frac{h^3}{27}$
Do đó:
$1600h + \frac{40}{3} h^2 + \frac{h^3}{27} = 45000$.
Giải ra:
$h \approx 23,31 \text{ cm}$.
Diện tích mặt nước lúc đó:
$S = \left( 40 + \frac{23,31}{3} \right)^2 \approx 2281,84 \text{ cm}^2.$
Tốc độ dâng:
$v = \frac{\text{lưu lượng bơm}}{\text{diện tích mặt nước}} = \frac{1800}{2281,84} \approx 0,79.$