Một tháp nước có dạng hình nón đặt ngược, với bán kính đáy là $2\text{m}$ và chiều cao là $4\text{m}$. Nước được bơm vào tháp với tốc độ $2\text{m}^3/\text{phút}$. Hỏi tốc độ mực nước đang dâng lên là bao nhiêu (tính bằng mét/phút) tại thời điểm mực nước trong tháp cao $3\text{m}$?

LỜI GIẢI

Tại thời điểm mực nước cao $h = 3$, do đồng dạng:
$\frac{r}{h} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow r = \frac{3}{2}.$
Diện tích mặt nước:
$S = \pi r^2 = \pi \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9\pi}{4}.$
Tốc độ dâng của mực nước:
$v = \frac{\text{tốc độ bơm}}{\text{diện tích mặt nước}} = \frac{2}{\frac{9\pi}{4}} = \frac{8}{9\pi}.$
$\frac{8}{9\pi} \text{ m/phút} \approx 0,28 \text{ m/phút}.$

Câu 2. Một máng chứa nước có chiều dài $8m$, hai đầu máng là hai tam giác cân bằng nhau và có cạnh đáy dài $5m$ và chiều cao $2m$. Người ta bơm nước vào máng với lưu lượng không đổi là $6m^3/\text{phút}$. Tại thời điểm mực nước trong máng đạt độ sâu $1,2m$.
a) Tính tốc độ nước dâng của mực nước.
b) Tại thời điểm đó, diện tích mặt thoáng của nước đang tăng với tốc độ bao nhiêu?

Tại độ sâu $h = 1,2 \text{ m}$, do đồng dạng:
$\frac{x}{h} = \frac{5}{2} \Rightarrow x = \frac{5}{2} \cdot 1,2 = 3 \text{ m}.$
Diện tích mặt nước lúc đó:
$S = 8 \cdot 3 = 24 \text{ m}^2.$
a) Tốc độ nước dâng
$v = \frac{\text{lưu lượng bơm}}{\text{diện tích mặt nước}} = \frac{6}{24} = 0,25 \text{ m/phút}.$
$0,25 \text{ m/phút}$
Vậy tốc độ nước dâng là $0,25 \text{ m/phút}.$

b) Tốc độ tăng diện tích mặt thoáng
Ta có
$x = \frac{5}{2}h \Rightarrow S = 8x = 20h.$
Nên
$\frac{dS}{dt} = 20 \frac{dh}{dt} = 20 \cdot 0,25 = 5.$
$5 \text{ m}^2/\text{phút}$
Vậy diện tích mặt thoáng tăng với tốc độ $5 \text{ m}^2/\text{phút}.$

Câu 3: Trong một toà chung cư, nhằm đáp ứng nhu cầu giải trí của cư dân, chủ đầu tư xây $1$ cái bể bơi hình chữ nhật có chiều dài $25\text{m}$, chiều rộng $8\text{m}$, một đầu có độ sâu là $1,2\text{m}$ và đầu kia là $2,2\text{m}$ (độ sâu là chiều cao tính từ đáy bể đến mép trên của bể), đáy bể được lát phẳng (tham khảo hình vẽ). Để bơm nước vào bể người ta lắp $1$ máy bơm có công suất $1\text{m}^3/\text{phút}$. Trong thời gian bơm từ $45$ phút đến $120$ phút tính từ lúc bắt đầu bơm (bơm từ lúc bể không có nước), thì mực nước dâng lên được một độ cao là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, đơn vị là mét).

Gọi $h$ là độ cao mực nước tính từ đáy sâu nhất.
Đáy bể dốc đều: chênh lệch độ sâu $2,2 - 1,2 = 1 \text{ m}$ trên chiều dài $25 \text{ m}$.
Khi mực nước cao $h < 1$, nước chưa phủ hết đáy bể, chỉ nằm ở phía đầu sâu. Nhìn theo mặt cắt dọc, phần nước là một tam giác vuông.
Do đồng dạng:
$\frac{AB}{25} = \frac{h}{1} \Rightarrow AB = 25h$
Diện tích mặt cắt:
$S = \frac{1}{2} \cdot 25h \cdot h$.
Bể rộng $8 \text{ m}$ nên thể tích nước:
$V = S \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 25h \cdot h \cdot 8 = 100h^2$.
Sau $45$ phút, máy bơm được:
$V = 45 \text{ m}^3$.
Vậy:
$100h_1^2 = 45 \Rightarrow h_1^2 = 0,45 \Rightarrow h_1 = \sqrt{0,45} \approx 0,67$.

Tại $t = 120$ phút
$V = 120 \text{ m}^3$.
Khi $h = 1$, nước vừa phủ hết đáy bể:
$V = 100 \text{ m}^3$.
Do $120 > 100$, nước đã phủ hết đáy.
Khi đó:
$V = 100 + 25 \cdot 8 \cdot (h_2 - 1)$
$120 = 100 + 200(h_2 - 1)$
$\Rightarrow h_2 = 1,1$.
Mực nước dâng thêm từ phút $45$ đến phút $120$:
$h_2 - h_1 = 1,1 - 0,67 = 0,43$.