Câu 1: (Tuyển sinh vào 10 - Bình phước 2025 - 2026)
Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $P = x_1^3 + 3x_2^2 + 2x_1 + 2011$.
Lời giải
Xét phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$ có $\Delta = (-3)^2 - 4.1.2 = 9 - 8 = 1 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.
Áp dụng định lý Viet ta có $\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3 \\ x_1x_2 = \frac{2}{1} = 2 \end{cases}$.
Ta có $P = x_1^3 + (x_1 + x_2)x_2^2 + (x_1x_2)x_1 + 2011$
$= x_1^3 + x_1x_2^2 + x_2^3 + x_1^2x_2 + 2011$
$= (x_1^3 + x_2^3) + (x_1x_2^2 + x_1^2x_2) + 2011$
$= (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) + x_1x_2(x_1 + x_2) + 2011$
$= (x_1 + x_2)[(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2] + x_1x_2(x_1 + x_2) + 2011$
Thay $ x_1 + x_2 = 3$; $ x_1x_2 = 2$ vào $P$ ta được $P = 2026$.
Vậy $P = 2026$.

Câu 2: (Tuyển sinh vào 10 - Hà Nam 2025 - 2026)
Cho phương trình $x^2 - 7x + 2 = 0$.
a) Chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.
b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức: $T = \sqrt{x_1^2 + 2x_1 + 1} + \sqrt{2x_2^2 - x_2 + 11}$.
Lời giải
Xét phương trình $x^2 - 7x + 2 = 0$ có $\Delta = (-7)^2 - 4.2 = 41 > 0$ nên phương trình bài ra có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.
Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 7 > 0 \\ x_1.x_2 = 2 > 0 \end{cases}$ nên $x_1, x_2$ là hai nghiệm dương phân biệt.
Vì $x_2$ là nghiệm phương trình $x^2 - 7x + 2 = 0$ nên ta có: $x_2^2 - 7x_2 + 2 = 0$ hay $x_2^2 = 7x_2 - 2$
Suy ra: $2x_2^2 - x_2 + 11 = x_2^2 - x_2 + 11 + x_2^2 = x_2^2 - x_2 + 11 + 7x_2 - 2 = x_2^2 + 6x_2 + 9 = (x_2 + 3)^2$
Khi đó: $T = \sqrt{(x_1 + 1)^2} + \sqrt{(x_2 + 3)^2} = |x_1 + 1| + |x_2 + 3| = x_1 + 1 + x_2 + 3$ (vì $x_1, x_2 > 0 \Rightarrow x_1 + 1 > 0, x_2 + 3 > 0$)
hay $T = x_1 + x_2 + 4 = 11$.
Vậy $T = 11$.
Câu 3: (Tuyển sinh vào 10 - Hải Dương 2025 - 2026)
1. Giải phương trình $(2x+6)(5-x)=0$.
2. Cho phương trình $2x^2-10x+3=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ với $x_1 > x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $T = \frac{\sqrt{24x_1 - 5} + 2x_2 + 2026}{25 - 2x_1 - 8x_2}$.

Lời giải
1. Để giải phương trình trên ta giải hai phương trình sau:
+) $2x+6=0$ suy ra $x=-3$
+) $5-x=0$ suy ra $x=5$
Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=-3$ và $x=5$.

2. Xét phương trình $2x^2-10x+3=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$.
Áp dụng định lí Viete ta có: $\begin{cases} x_1+x_2=5 \\ x_1x_2 = \frac{3}{2} \end{cases}$
Do đó $x_1 > 0, x_2 > 0$
Vì $x_1$ là nghiệm của phương trình nên ta có: $2x_1^2 - 10x_1 + 3 = 0$

$4x_1^2 - 20x_1 + 6 = 0$
$4x_1^2 + 4x_1 + 1 = 24x_1 - 5$
$24x_1 - 5 = (2x_1 + 1)^2$
Suy ra: $\sqrt{24x_1 - 5} = 2x_1 + 1$ ( do $x_1 > 0$ )
Khi đó: $\sqrt{24x_1 - 5} + 2x_2 + 2026 = 2x_1 + 2x_2 + 2027 = 2(x_1 + x_2) + 2027 = 2037$
Ta có: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 19$
Mà $x_1 > x_2$ nên $x_1 - x_2 = \sqrt{19}$
Từ $x_1 + x_2 = 5$ suy ra $x_1 = 5 - x_2$
Do đó: $25 - 2x_1 - 8x_2 = 5(5 - x_2) - 2x_1 - 3x_2 = 3(x_1 - x_2) = 3\sqrt{19}$
Khi đó ta có: $T = \frac{2037}{3\sqrt{19}}$.

Câu 4: (Tuyển sinh vào 10 - Kom Tum 2025 - 2026)

a) Giải bất phương trình $x - 6 > 0$
b) Cho phương trình $x^2 - 7x + 5 = 0$, biết phương trình có hai nghiệm là $x_1, x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $P = |x_2 - 3| + \sqrt{x_1 + 4}$.

Lời giải

a) $x - 6 > 0$
$x > 0$
Vậy bất phương trình có nghiệm là $x > 0$.

b) Do $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 - 7x + 5 = 0$ nên áp dụng định lý Viete ta có $\begin{cases} x_1 + x_2 = 7 \\ x_1x_2 = 5 \end{cases}$

Do $x_1$ là nghiệm của $x^2 - 7x + 5 = 0$ nên $x_1^2 - 7x_1 + 5 = 0$ hay $x_1 + 4 = x_1^2 - 6x_1 + 9 = (x_1 - 3)^2$
Suy ra $\sqrt{x_1 + 4} = \sqrt{(x_1 - 3)^2} = |x_1 - 3|$
Thay vào $P$ ta có $P = |x_2 - 3| + |x_1 - 3|$
Ta thấy $P \ge 0$ nên
$P^2 = (x_1 - 3)^2 + (x_2 - 3)^2 + 2|(x_1 - 3)(x_2 - 3)|$
$P^2 = (x_1^2 + x_2^2) - 6(x_1 + x_2) + 18 + 2|x_1x_2 - 3(x_1 + x_2) + 9|$
$P^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - 6(x_1 + x_2) + 18 + 2|5 - 3 \cdot 7 + 9|$
$P^2 = 7^2 - 2 \cdot 5 - 6 \cdot 7 + 18 + 2 \cdot 7 = 29$
Vậy $P = \sqrt{29}$.

Câu 5: (Tuyển sinh vào 10 - Lào Cai 2025 - 2026)

Cho phương trình $x^2 - 5x + 2 = 0$ có hai nghiệm là $x_1, x_2$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $A = \sqrt{16x_1^2 + 8x_1x_2 + 5x_2 - 2} + 3x_2$.

Lời giải

Ta có $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 17 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.

Áp dụng định lý Vi-et ta có $\begin{cases} x_1 + x_2 = 5 > 0 \\ x_1 \cdot x_2 = 2 > 0 \end{cases}$ suy ra $x_1, x_2 > 0$.

Do $x_2$ là nghiệm nên $x_2^2 - 5x_2 + 2 = 0$ suy ra $5x_2 - 2 = x_2^2$.

Thay vào $A$ ta được $A = \sqrt{16x_1^2 + 8x_1x_2 + x_2^2} + 3x_2$
$= \sqrt{(4x_1 + x_2)^2} + 3x_2$
$= |4x_1 + x_2| + 3x_2$
$= 4(x_1 + x_2)$ vì $(x_1, x_2 > 0)$
$= 4 \cdot 5 = 20$
Suy ra $A = 20$

Câu 6: (Tuyển sinh vào 10 - Nam Định 2025 - 2026)

Biết phương trình $x^2 + 9x + 2 = 0$ có hai nghiệm âm phân biệt $x_1, x_2$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $A = \sqrt{-13x_1 + 2} - x_2$.

Lời giải

Vì phương trình $x^2 + 9x + 2 = 0$ có hai nghiệm âm phân biệt $x_1, x_2$
Nên theo định lý Viète ra có: $x_1 + x_2 = -9$.
Vì phương trình $x^2 + 9x + 2 = 0$ có hai nghiệm âm phân biệt $x_1, x_2$ nên $x_1^2 + 9x_1 + 2 = 0$.
Từ $x_1^2 + 9x_1 + 2 = 0$ suy ra $-13x_1 + 2 = x_1^2 - 4x_1 + 4 = (x_1 - 2)^2$
Suy ra $\sqrt{-13x_1 + 2} = \sqrt{(x_1 - 2)^2} = |x_1 - 2| = 2 - x_1$ (do $x_1 < 0$ nên $x_1 - 2 < 0$).
Do đó $A = \sqrt{-13x_1 + 2} - x_2 = 2 - x_1 - x_2 = 2 - (x_1 + x_2) = 2 + 9 = 11$.
Câu 7: (Tuyển sinh vào 10 - Nghệ An 2025 - 2026)

Cho phương trình $x^2 - 3x + 1 = 0$ có hai nghiệm dương $x_1, x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $P = \frac{|7x_2 - 3x_1^2|}{x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2}$.

Lời giải

Xét phương trình $x^2 - 3x + 1 = 0$
Ta có:
$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1$
$\Delta = 5 > 0$ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.
Áp dụng định lí Viète ta có: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = 1 \end{cases}$ nên phương trình có có hai nghiệm dương $x_1, x_2$
Khi đó ta có:
Đặt $A = 7x_2 - 3x_1^2$; $B = 7x_1 - 3x_2^2$
$A + B = (7x_2 - 3x_1^2) + (7x_1 - 3x_2^2)$
$A + B = 7(x_1 + x_2) - 3(x_1^2 + x_2^2)$
$A + B = 7(x_1 + x_2) - 3[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2]$
$A + B = 7 \cdot 3 - 3(3^2 - 2 \cdot 1)$
$A + B = 0$ hay $A = -B$
Suy ra: $|A| = |B|$
$A^2 = |A| \cdot |B|$
$A^2 = |7x_2 - 3x_1^2| \cdot |7x_1 - 3x_2^2|$
$A^2 = |49x_1x_2 - 21(x_1^3 + x_2^3) + 9x_1^2 \cdot x_2^2|$
$A^2 = |49x_1x_2 - 21(x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) + 9(x_1x_2)^2|$
$A^2 = |49x_1x_2 - 21(x_1 + x_2)[(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2] + 9(x_1x_2)^2|$
$A^2 = |49 \cdot 1 - 21 \cdot 3 \cdot (3^2 - 3 \cdot 1) + 9 \cdot 1^2|$
$A^2 = |320|$
$|A| = 8\sqrt{5}$
$P = \frac{|7x_2 - 3x_1^2|}{(x_1 + x_2)^2 - x_1x_2}$
$P = \frac{8\sqrt{5}}{3^2 - 1}$
Vậy $P = \sqrt{5}$.