Bài hình học tỉ số lượng giác
Đề bài:
Bài 5 (2,5đ): Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A (AB < AC)$, đường cao $AH$. Cho $AC = 16$ cm; $BC = 20$ cm.
a) Giải tam giác $ABC$ (độ dài cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, số đo góc làm tròn đến độ).
b) Vẽ đường cao $AH$, gọi $M$ là hình chiếu của $H$ lên $AB$, gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $AC$. Chứng minh: $BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$.
💡 Hướng dẫn tư duy từng bước cho các em hiểu nhé:
Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau "giải mã" bài toán hình học này nhé. Bài này gồm hai phần, mình sẽ đi từng bước một.
Phần a) Giải tam giác ABC:
Mục tiêu: Là đi tìm tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác $ABC$. Đề bài đã cho mình biết đây là tam giác vuông tại $A$, cạnh góc vuông $AC = 16$ cm và cạnh huyền $BC = 20$ cm.
Bước 1: Tìm cạnh $AB$. Vì đây là tam giác vuông, các em nhớ ngay đến "Định lý Pytago" huyền thoại nhé! Nó giúp mình tìm độ dài cạnh còn lại khi biết hai cạnh. Công thức là: "bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông". Tức là $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
Bước 2: Tìm các góc nhọn $B$ và $C$. Khi đã biết độ dài ba cạnh của tam giác vuông, chúng ta có thể dùng "tỉ số lượng giác" (sin, cos, tan) để tìm góc. Các em có thể chọn bất kỳ tỉ số nào phù hợp. Ví dụ, để tìm $\angle B$, ta có thể dùng $\cos B = \frac{\text{cạnh kề góc B}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}$. Sau khi tìm được một góc, góc còn lại sẽ dễ dàng tìm được vì tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng $90^\circ$.
Lưu ý quan trọng: Đề bài yêu cầu làm tròn độ dài cạnh đến chữ số thập phân thứ nhất và số đo góc đến độ. Các em nhớ đọc kỹ để không bị trừ điểm oan nhé!
Phần b) Chứng minh đẳng thức $BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$:
Mục tiêu: Là đi chứng minh một công thức hình học trông có vẻ hơi phức tạp, nhưng đừng lo, chúng ta sẽ phân tích từng phần nhỏ.
Bước 1: Hiểu rõ hình vẽ và ý nghĩa các điểm M, K.
Đường cao $AH$ có nghĩa là $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$.
$M$ là hình chiếu của $H$ lên $AB$ có nghĩa là $HM$ vuông góc với $AB$ tại $M$.
$K$ là hình chiếu của $H$ lên $AC$ có nghĩa là $HK$ vuông góc với $AC$ tại $K$.
Bước 2: Biểu diễn $BM$ theo $BC$ và $\cos B$.
Chúng ta cần tìm một cách để liên hệ $BM$ với các cạnh đã biết và góc $B$.
Hãy nhìn vào tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Các em sẽ thấy $AB = BC \cdot \cos B$. (Đây là công thức cơ bản).
Tiếp theo, nhìn vào tam giác $ABH$. Vì $AH$ là đường cao, nên $\triangle ABH$ vuông tại $H$. Trong tam giác này, $BH$ là cạnh kề của $\angle B$. Vậy $BH = AB \cdot \cos B$.
Bây giờ, hãy để ý đến điểm $M$. Vì $HM \perp AB$, nên $\triangle BMH$ là tam giác vuông tại $M$. Trong tam giác này, $BM$ là cạnh kề của $\angle B$. Vậy $BM = BH \cdot \cos B$.
Bây giờ, các em hãy ghép các công thức lại: $BM = BH \cdot \cos B = (AB \cdot \cos B) \cdot \cos B = ((BC \cdot \cos B) \cdot \cos B) \cdot \cos B$. Thu gọn lại, các em sẽ được biểu thức của $BM$ theo $BC$ và $\cos B$.
Bước 3: Biểu diễn $CK$ theo $BC$ và $\sin B$.
Chúng ta làm tương tự như với $BM$.
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, các em có $AC = BC \cdot \sin B$.
Cũng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$, hai góc nhọn $B$ và $C$ có mối liên hệ đặc biệt: $\angle C = 90^\circ - \angle B$. Điều này có nghĩa là $\cos C = \sin B$. Hãy nhớ kỹ điều này nhé!
Tiếp theo, nhìn vào tam giác $ACH$. Vì $AH$ là đường cao, nên $\triangle ACH$ vuông tại $H$. Trong tam giác này, $CH$ là cạnh kề của $\angle C$. Vậy $CH = AC \cdot \cos C$.
Bây giờ, hãy để ý đến điểm $K$. Vì $HK \perp AC$, nên $\triangle CKH$ là tam giác vuông tại $K$. Trong tam giác này, $CK$ là cạnh kề của $\angle C$. Vậy $CK = CH \cdot \cos C$.
Ghép các công thức lại và dùng mối liên hệ $\cos C = \sin B$: $CK = CH \cdot \cos C = (AC \cdot \cos C) \cdot \cos C = ((BC \cdot \sin B) \cdot \sin B) \cdot \sin B$. Thu gọn lại, các em sẽ được biểu thức của $CK$ theo $BC$ và $\sin B$.
Bước 4: Cộng $BM$ và $CK$ lại. Sau khi có biểu thức cho $BM$ và $CK$, các em chỉ việc cộng chúng lại. Sau đó, đặt thừa số chung $BC$ ra ngoài, các em sẽ thấy ngay đẳng thức cần chứng minh hiện ra.
Cố gắng đừng nản lòng khi thấy công thức phức tạp nhé, cứ chia nhỏ bài toán ra và giải quyết từng phần, mọi thứ sẽ trở nên dễ dàng hơn nhiều! Bây giờ, chúng ta cùng vào phần lời giải chi tiết nhé.
---
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
a) Giải tam giác $ABC$:
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ (theo giả thiết).
Áp dụng định lý Pytago, ta có:
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$AB^2 + 16^2 = 20^2$
$AB^2 + 256 = 400$
$AB^2 = 400 - 256$
$AB^2 = 144$
$AB = \sqrt{144}$
$AB = 12$ (cm)
Vì độ dài cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, nên $AB = 12.0$ cm.
Để tìm $\angle B$, ta sử dụng tỉ số lượng giác cosin trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$:
$\cos B = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}$
$\cos B = \frac{12}{20}$
$\cos B = 0.6$
Sử dụng máy tính, ta tìm được $\angle B \approx 53.13^\circ$.
Vì số đo góc làm tròn đến độ, nên $\angle B \approx 53^\circ$.
Để tìm $\angle C$, ta sử dụng tính chất tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông:
$\angle C = 90^\circ - \angle B$
$\angle C \approx 90^\circ - 53.13^\circ$
$\angle C \approx 36.87^\circ$
Vì số đo góc làm tròn đến độ, nên $\angle C \approx 37^\circ$.
Vậy, tam giác $ABC$ có các cạnh và góc còn lại là:
$AB = 12.0$ cm
$\angle B \approx 53^\circ$
$\angle C \approx 37^\circ$
b) Chứng minh: $BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$
Bước 1: Biểu diễn $BM$ theo $BC$ và $\cos B$.
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$AB = BC \cdot \cos B$ (1)
Xét $\triangle ABH$ vuông tại $H$ (vì $AH$ là đường cao), ta có:
$BH = AB \cdot \cos B$ (2)
Thay (1) vào (2), ta được:
$BH = (BC \cdot \cos B) \cdot \cos B$
$BH = BC \cdot \cos^2 B$ (3)
Xét $\triangle BMH$ vuông tại $M$ (vì $M$ là hình chiếu của $H$ lên $AB$, tức là $HM \perp AB$), ta có:
$BM = BH \cdot \cos B$ (4)
Thay (3) vào (4), ta được:
$BM = (BC \cdot \cos^2 B) \cdot \cos B$
$BM = BC \cdot \cos^3 B$ (I)
Bước 2: Biểu diễn $CK$ theo $BC$ và $\sin B$.
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$AC = BC \cdot \sin B$ (5)
Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$, nên $\angle C = 90^\circ - \angle B$.
Do đó, ta có mối quan hệ: $\cos C = \sin B$ (6)
Xét $\triangle ACH$ vuông tại $H$ (vì $AH$ là đường cao), ta có:
$CH = AC \cdot \cos C$ (7)
Thay (5) và (6) vào (7), ta được:
$CH = (BC \cdot \sin B) \cdot (\sin B)$
$CH = BC \cdot \sin^2 B$ (8)
Xét $\triangle CKH$ vuông tại $K$ (vì $K$ là hình chiếu của $H$ lên $AC$, tức là $HK \perp AC$), ta có:
$CK = CH \cdot \cos C$ (9)
Thay (8) và (6) vào (9), ta được:
$CK = (BC \cdot \sin^2 B) \cdot (\sin B)$
$CK = BC \cdot \sin^3 B$ (II)
Bước 3: Cộng $BM$ và $CK$.
Cộng hai vế của đẳng thức (I) và (II), ta có:
$BM + CK = BC \cdot \cos^3 B + BC \cdot \sin^3 B$
$BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$ (Đặt $BC$ làm thừa số chung)
Vậy, đẳng thức $BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$ đã được chứng minh.
---
📝 Trình bày vào vở:
Bài 5.
Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A (AB < AC)$, đường cao $AH$. Cho $AC = 16$ cm; $BC = 20$ cm.
a) Giải tam giác $ABC$.
b) Chứng minh: $BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$, với $M, K$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $AB, AC$.
a) Giải tam giác $ABC$:
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$:
Áp dụng định lý Pytago, ta có:
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$AB^2 + 16^2 = 20^2$
$AB^2 + 256 = 400$
$AB^2 = 400 - 256$
$AB^2 = 144$
$AB = \sqrt{144}$
$AB = 12$ cm
$AB = 12.0$ cm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Để tìm $\angle B$:
$\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{12}{20} = 0.6$
$\angle B \approx 53.13^\circ$
$\angle B \approx 53^\circ$ (làm tròn đến độ)
Để tìm $\angle C$:
$\angle C = 90^\circ - \angle B$
$\angle C \approx 90^\circ - 53.13^\circ$
$\angle C \approx 36.87^\circ$
$\angle C \approx 37^\circ$ (làm tròn đến độ)
Vậy, tam giác $ABC$ có: $AB = 12.0$ cm, $\angle B \approx 53^\circ$, $\angle C \approx 37^\circ$.
b) Chứng minh: $BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$
Biểu diễn $BM$:
Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $AB = BC \cdot \cos B$ (1)
Trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$: $BH = AB \cdot \cos B$ (2)
Thay (1) vào (2): $BH = (BC \cdot \cos B) \cdot \cos B = BC \cdot \cos^2 B$ (3)
Trong $\triangle BMH$ vuông tại $M$: $BM = BH \cdot \cos B$ (4)
Thay (3) vào (4): $BM = (BC \cdot \cos^2 B) \cdot \cos B = BC \cdot \cos^3 B$ (I)
Biểu diễn $CK$:
Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $AC = BC \cdot \sin B$ (5)
Và $\cos C = \sin B$ (vì $\angle C = 90^\circ - \angle B$) (6)
Trong $\triangle ACH$ vuông tại $H$: $CH = AC \cdot \cos C$ (7)
Thay (5) và (6) vào (7): $CH = (BC \cdot \sin B) \cdot \sin B = BC \cdot \sin^2 B$ (8)
Trong $\triangle CKH$ vuông tại $K$: $CK = CH \cdot \cos C$ (9)
Thay (8) và (6) vào (9): $CK = (BC \cdot \sin^2 B) \cdot \sin B = BC \cdot \sin^3 B$ (II)
* Cộng $BM$ và $CK$:
Cộng (I) và (II) vế theo vế:
$BM + CK = BC \cdot \cos^3 B + BC \cdot \sin^3 B$
$BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$
Điều phải chứng minh.
CÁCH GỌN HƠN
a) Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, theo định lý Pythagoras ta có:
$AB^2 = BC^2 - AC^2 = 20^2 - 16^2 = 144$
$\Rightarrow AB = 12$ cm.
Ta có: $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{16}{20} = 0.8 \Rightarrow \widehat{B} \approx 53^\circ$.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên: $\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} \approx 37^\circ$.
b) Xét $\triangle BHM$ vuông tại $M$ có: $BM = BH . \cos B$.
Xét $\triangle ABH$ vuông tại $H$ có: $BH = AB . \cos B$.
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có: $AB = BC . \cos B$.
$\Rightarrow BM = (BC . \cos B) . \cos B . \cos B = BC . \cos^3 B$ (1).
Xét $\triangle CHK$ vuông tại $K$ có: $CK = CH . \cos C$.
Mà $\widehat{C}$ và $\widehat{B}$ là hai góc phụ nhau nên $\cos C = \sin B$.
$\Rightarrow CK = CH . \sin B$.
Xét $\triangle AHC$ vuông tại $H$ có: $CH = AC . \sin \widehat{HAC}$.
Mà $\widehat{HAC} = \widehat{B}$ (cùng phụ $\widehat{BAH}$) nên $CH = AC . \sin B$.
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có: $AC = BC . \sin B$.
$\Rightarrow CK = (BC . \sin B) . \sin B . \sin B = BC . \sin^3 B$ (2).
Từ (1) và (2) cộng vế theo vế ta được:
$BM + CK = BC . \cos^3 B + BC . \sin^3 B = BC . (\cos^3 B + \sin^3 B)$. (đpcm)
TỔNG KẾT VÀ LƯU Ý CUỐI BÀI:
Các em học sinh yếu thường mắc một số lỗi sau khi giải dạng toán này:
1. Quên hoặc nhầm lẫn công thức Pytago: Đây là kiến thức nền tảng của tam giác vuông. Hãy chắc chắn rằng các em nhớ đúng công thức: "bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông".
2. Sử dụng sai tỉ số lượng giác: "Sin đi học (đối/huyền), Cos không hư (kề/huyền), Tan đoàn kết (đối/kề), Cotan kết đoàn (kề/đối)". Hãy đọc kỹ và xác định đúng cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền so với góc đang xét trong từng tam giác vuông cụ thể.
3. Không chú ý yêu cầu làm tròn: Đề bài thường có yêu cầu cụ thể về việc làm tròn độ dài cạnh (ví dụ: đến chữ số thập phân thứ nhất) và số đo góc (ví dụ: đến độ). Nếu không làm đúng, dù các bước giải đúng, các em vẫn có thể bị trừ điểm.
4. Nhầm lẫn các tam giác vuông nhỏ: Trong phần b), có rất nhiều tam giác vuông nhỏ ($ABC$, $ABH$, $ACH$, $BMH$, $CKH$). Các em cần xác định đúng tam giác vuông và góc đang xét để áp dụng tỉ số lượng giác cho chính xác. Ví dụ, khi xét $\triangle ABH$ vuông tại $H$, góc $B$ là một góc nhọn, và $BH$ là cạnh kề của góc $B$.
5. Quên mối quan hệ giữa các góc trong tam giác vuông: Mối quan hệ $\angle C = 90^\circ - \angle B \implies \sin C = \cos B$ và $\cos C = \sin B$ rất quan trọng để đơn giản hóa biểu thức trong phần chứng minh.
6. Kỹ năng biến đổi đại số còn yếu: Khi thay thế và rút gọn biểu thức $BM$ và $CK$, các em cần cẩn thận với các phép nhân và lũy thừa.
7. Lỗi trình bày: Trình bày không rõ ràng, các bước biến đổi không thẳng hàng cũng có thể gây khó khăn cho việc kiểm tra và mất điểm trình bày. Hãy luyện tập trình bày sạch đẹp và khoa học nhé.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
Bài 5 (2,5đ): Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A (AB < AC)$, đường cao $AH$. Cho $AC = 16$ cm; $BC = 20$ cm.
a) Giải tam giác $ABC$ (độ dài cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, số đo góc làm tròn đến độ).
b) Vẽ đường cao $AH$, gọi $M$ là hình chiếu của $H$ lên $AB$, gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $AC$. Chứng minh: $BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$.
💡 Hướng dẫn tư duy từng bước cho các em hiểu nhé:
Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau "giải mã" bài toán hình học này nhé. Bài này gồm hai phần, mình sẽ đi từng bước một.
Phần a) Giải tam giác ABC:
Mục tiêu: Là đi tìm tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác $ABC$. Đề bài đã cho mình biết đây là tam giác vuông tại $A$, cạnh góc vuông $AC = 16$ cm và cạnh huyền $BC = 20$ cm.
Bước 1: Tìm cạnh $AB$. Vì đây là tam giác vuông, các em nhớ ngay đến "Định lý Pytago" huyền thoại nhé! Nó giúp mình tìm độ dài cạnh còn lại khi biết hai cạnh. Công thức là: "bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông". Tức là $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
Bước 2: Tìm các góc nhọn $B$ và $C$. Khi đã biết độ dài ba cạnh của tam giác vuông, chúng ta có thể dùng "tỉ số lượng giác" (sin, cos, tan) để tìm góc. Các em có thể chọn bất kỳ tỉ số nào phù hợp. Ví dụ, để tìm $\angle B$, ta có thể dùng $\cos B = \frac{\text{cạnh kề góc B}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}$. Sau khi tìm được một góc, góc còn lại sẽ dễ dàng tìm được vì tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng $90^\circ$.
Lưu ý quan trọng: Đề bài yêu cầu làm tròn độ dài cạnh đến chữ số thập phân thứ nhất và số đo góc đến độ. Các em nhớ đọc kỹ để không bị trừ điểm oan nhé!
Phần b) Chứng minh đẳng thức $BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$:
Mục tiêu: Là đi chứng minh một công thức hình học trông có vẻ hơi phức tạp, nhưng đừng lo, chúng ta sẽ phân tích từng phần nhỏ.
Bước 1: Hiểu rõ hình vẽ và ý nghĩa các điểm M, K.
Đường cao $AH$ có nghĩa là $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$.
$M$ là hình chiếu của $H$ lên $AB$ có nghĩa là $HM$ vuông góc với $AB$ tại $M$.
$K$ là hình chiếu của $H$ lên $AC$ có nghĩa là $HK$ vuông góc với $AC$ tại $K$.
Bước 2: Biểu diễn $BM$ theo $BC$ và $\cos B$.
Chúng ta cần tìm một cách để liên hệ $BM$ với các cạnh đã biết và góc $B$.
Hãy nhìn vào tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Các em sẽ thấy $AB = BC \cdot \cos B$. (Đây là công thức cơ bản).
Tiếp theo, nhìn vào tam giác $ABH$. Vì $AH$ là đường cao, nên $\triangle ABH$ vuông tại $H$. Trong tam giác này, $BH$ là cạnh kề của $\angle B$. Vậy $BH = AB \cdot \cos B$.
Bây giờ, hãy để ý đến điểm $M$. Vì $HM \perp AB$, nên $\triangle BMH$ là tam giác vuông tại $M$. Trong tam giác này, $BM$ là cạnh kề của $\angle B$. Vậy $BM = BH \cdot \cos B$.
Bây giờ, các em hãy ghép các công thức lại: $BM = BH \cdot \cos B = (AB \cdot \cos B) \cdot \cos B = ((BC \cdot \cos B) \cdot \cos B) \cdot \cos B$. Thu gọn lại, các em sẽ được biểu thức của $BM$ theo $BC$ và $\cos B$.
Bước 3: Biểu diễn $CK$ theo $BC$ và $\sin B$.
Chúng ta làm tương tự như với $BM$.
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, các em có $AC = BC \cdot \sin B$.
Cũng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$, hai góc nhọn $B$ và $C$ có mối liên hệ đặc biệt: $\angle C = 90^\circ - \angle B$. Điều này có nghĩa là $\cos C = \sin B$. Hãy nhớ kỹ điều này nhé!
Tiếp theo, nhìn vào tam giác $ACH$. Vì $AH$ là đường cao, nên $\triangle ACH$ vuông tại $H$. Trong tam giác này, $CH$ là cạnh kề của $\angle C$. Vậy $CH = AC \cdot \cos C$.
Bây giờ, hãy để ý đến điểm $K$. Vì $HK \perp AC$, nên $\triangle CKH$ là tam giác vuông tại $K$. Trong tam giác này, $CK$ là cạnh kề của $\angle C$. Vậy $CK = CH \cdot \cos C$.
Ghép các công thức lại và dùng mối liên hệ $\cos C = \sin B$: $CK = CH \cdot \cos C = (AC \cdot \cos C) \cdot \cos C = ((BC \cdot \sin B) \cdot \sin B) \cdot \sin B$. Thu gọn lại, các em sẽ được biểu thức của $CK$ theo $BC$ và $\sin B$.
Bước 4: Cộng $BM$ và $CK$ lại. Sau khi có biểu thức cho $BM$ và $CK$, các em chỉ việc cộng chúng lại. Sau đó, đặt thừa số chung $BC$ ra ngoài, các em sẽ thấy ngay đẳng thức cần chứng minh hiện ra.
Cố gắng đừng nản lòng khi thấy công thức phức tạp nhé, cứ chia nhỏ bài toán ra và giải quyết từng phần, mọi thứ sẽ trở nên dễ dàng hơn nhiều! Bây giờ, chúng ta cùng vào phần lời giải chi tiết nhé.
---
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
a) Giải tam giác $ABC$:
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ (theo giả thiết).
Áp dụng định lý Pytago, ta có:
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$AB^2 + 16^2 = 20^2$
$AB^2 + 256 = 400$
$AB^2 = 400 - 256$
$AB^2 = 144$
$AB = \sqrt{144}$
$AB = 12$ (cm)
Vì độ dài cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, nên $AB = 12.0$ cm.
Để tìm $\angle B$, ta sử dụng tỉ số lượng giác cosin trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$:
$\cos B = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}$
$\cos B = \frac{12}{20}$
$\cos B = 0.6$
Sử dụng máy tính, ta tìm được $\angle B \approx 53.13^\circ$.
Vì số đo góc làm tròn đến độ, nên $\angle B \approx 53^\circ$.
Để tìm $\angle C$, ta sử dụng tính chất tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông:
$\angle C = 90^\circ - \angle B$
$\angle C \approx 90^\circ - 53.13^\circ$
$\angle C \approx 36.87^\circ$
Vì số đo góc làm tròn đến độ, nên $\angle C \approx 37^\circ$.
Vậy, tam giác $ABC$ có các cạnh và góc còn lại là:
$AB = 12.0$ cm
$\angle B \approx 53^\circ$
$\angle C \approx 37^\circ$
b) Chứng minh: $BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$
Bước 1: Biểu diễn $BM$ theo $BC$ và $\cos B$.
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$AB = BC \cdot \cos B$ (1)
Xét $\triangle ABH$ vuông tại $H$ (vì $AH$ là đường cao), ta có:
$BH = AB \cdot \cos B$ (2)
Thay (1) vào (2), ta được:
$BH = (BC \cdot \cos B) \cdot \cos B$
$BH = BC \cdot \cos^2 B$ (3)
Xét $\triangle BMH$ vuông tại $M$ (vì $M$ là hình chiếu của $H$ lên $AB$, tức là $HM \perp AB$), ta có:
$BM = BH \cdot \cos B$ (4)
Thay (3) vào (4), ta được:
$BM = (BC \cdot \cos^2 B) \cdot \cos B$
$BM = BC \cdot \cos^3 B$ (I)
Bước 2: Biểu diễn $CK$ theo $BC$ và $\sin B$.
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$AC = BC \cdot \sin B$ (5)
Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$, nên $\angle C = 90^\circ - \angle B$.
Do đó, ta có mối quan hệ: $\cos C = \sin B$ (6)
Xét $\triangle ACH$ vuông tại $H$ (vì $AH$ là đường cao), ta có:
$CH = AC \cdot \cos C$ (7)
Thay (5) và (6) vào (7), ta được:
$CH = (BC \cdot \sin B) \cdot (\sin B)$
$CH = BC \cdot \sin^2 B$ (8)
Xét $\triangle CKH$ vuông tại $K$ (vì $K$ là hình chiếu của $H$ lên $AC$, tức là $HK \perp AC$), ta có:
$CK = CH \cdot \cos C$ (9)
Thay (8) và (6) vào (9), ta được:
$CK = (BC \cdot \sin^2 B) \cdot (\sin B)$
$CK = BC \cdot \sin^3 B$ (II)
Bước 3: Cộng $BM$ và $CK$.
Cộng hai vế của đẳng thức (I) và (II), ta có:
$BM + CK = BC \cdot \cos^3 B + BC \cdot \sin^3 B$
$BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$ (Đặt $BC$ làm thừa số chung)
Vậy, đẳng thức $BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$ đã được chứng minh.
---
📝 Trình bày vào vở:
Bài 5.
Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A (AB < AC)$, đường cao $AH$. Cho $AC = 16$ cm; $BC = 20$ cm.
a) Giải tam giác $ABC$.
b) Chứng minh: $BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$, với $M, K$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $AB, AC$.
a) Giải tam giác $ABC$:
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$:
Áp dụng định lý Pytago, ta có:
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$AB^2 + 16^2 = 20^2$
$AB^2 + 256 = 400$
$AB^2 = 400 - 256$
$AB^2 = 144$
$AB = \sqrt{144}$
$AB = 12$ cm
$AB = 12.0$ cm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Để tìm $\angle B$:
$\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{12}{20} = 0.6$
$\angle B \approx 53.13^\circ$
$\angle B \approx 53^\circ$ (làm tròn đến độ)
Để tìm $\angle C$:
$\angle C = 90^\circ - \angle B$
$\angle C \approx 90^\circ - 53.13^\circ$
$\angle C \approx 36.87^\circ$
$\angle C \approx 37^\circ$ (làm tròn đến độ)
Vậy, tam giác $ABC$ có: $AB = 12.0$ cm, $\angle B \approx 53^\circ$, $\angle C \approx 37^\circ$.
b) Chứng minh: $BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$
Biểu diễn $BM$:
Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $AB = BC \cdot \cos B$ (1)
Trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$: $BH = AB \cdot \cos B$ (2)
Thay (1) vào (2): $BH = (BC \cdot \cos B) \cdot \cos B = BC \cdot \cos^2 B$ (3)
Trong $\triangle BMH$ vuông tại $M$: $BM = BH \cdot \cos B$ (4)
Thay (3) vào (4): $BM = (BC \cdot \cos^2 B) \cdot \cos B = BC \cdot \cos^3 B$ (I)
Biểu diễn $CK$:
Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $AC = BC \cdot \sin B$ (5)
Và $\cos C = \sin B$ (vì $\angle C = 90^\circ - \angle B$) (6)
Trong $\triangle ACH$ vuông tại $H$: $CH = AC \cdot \cos C$ (7)
Thay (5) và (6) vào (7): $CH = (BC \cdot \sin B) \cdot \sin B = BC \cdot \sin^2 B$ (8)
Trong $\triangle CKH$ vuông tại $K$: $CK = CH \cdot \cos C$ (9)
Thay (8) và (6) vào (9): $CK = (BC \cdot \sin^2 B) \cdot \sin B = BC \cdot \sin^3 B$ (II)
* Cộng $BM$ và $CK$:
Cộng (I) và (II) vế theo vế:
$BM + CK = BC \cdot \cos^3 B + BC \cdot \sin^3 B$
$BM + CK = BC (\cos^3 B + \sin^3 B)$
Điều phải chứng minh.
CÁCH GỌN HƠN
✍️ Trình trình bày chuẩn vào vở
a) Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, theo định lý Pythagoras ta có:
$AB^2 = BC^2 - AC^2 = 20^2 - 16^2 = 144$
$\Rightarrow AB = 12$ cm.
Ta có: $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{16}{20} = 0.8 \Rightarrow \widehat{B} \approx 53^\circ$.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên: $\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} \approx 37^\circ$.
b) Xét $\triangle BHM$ vuông tại $M$ có: $BM = BH . \cos B$.
Xét $\triangle ABH$ vuông tại $H$ có: $BH = AB . \cos B$.
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có: $AB = BC . \cos B$.
$\Rightarrow BM = (BC . \cos B) . \cos B . \cos B = BC . \cos^3 B$ (1).
Xét $\triangle CHK$ vuông tại $K$ có: $CK = CH . \cos C$.
Mà $\widehat{C}$ và $\widehat{B}$ là hai góc phụ nhau nên $\cos C = \sin B$.
$\Rightarrow CK = CH . \sin B$.
Xét $\triangle AHC$ vuông tại $H$ có: $CH = AC . \sin \widehat{HAC}$.
Mà $\widehat{HAC} = \widehat{B}$ (cùng phụ $\widehat{BAH}$) nên $CH = AC . \sin B$.
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có: $AC = BC . \sin B$.
$\Rightarrow CK = (BC . \sin B) . \sin B . \sin B = BC . \sin^3 B$ (2).
Từ (1) và (2) cộng vế theo vế ta được:
$BM + CK = BC . \cos^3 B + BC . \sin^3 B = BC . (\cos^3 B + \sin^3 B)$. (đpcm)
TỔNG KẾT VÀ LƯU Ý CUỐI BÀI:
Các em học sinh yếu thường mắc một số lỗi sau khi giải dạng toán này:
1. Quên hoặc nhầm lẫn công thức Pytago: Đây là kiến thức nền tảng của tam giác vuông. Hãy chắc chắn rằng các em nhớ đúng công thức: "bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông".
2. Sử dụng sai tỉ số lượng giác: "Sin đi học (đối/huyền), Cos không hư (kề/huyền), Tan đoàn kết (đối/kề), Cotan kết đoàn (kề/đối)". Hãy đọc kỹ và xác định đúng cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền so với góc đang xét trong từng tam giác vuông cụ thể.
3. Không chú ý yêu cầu làm tròn: Đề bài thường có yêu cầu cụ thể về việc làm tròn độ dài cạnh (ví dụ: đến chữ số thập phân thứ nhất) và số đo góc (ví dụ: đến độ). Nếu không làm đúng, dù các bước giải đúng, các em vẫn có thể bị trừ điểm.
4. Nhầm lẫn các tam giác vuông nhỏ: Trong phần b), có rất nhiều tam giác vuông nhỏ ($ABC$, $ABH$, $ACH$, $BMH$, $CKH$). Các em cần xác định đúng tam giác vuông và góc đang xét để áp dụng tỉ số lượng giác cho chính xác. Ví dụ, khi xét $\triangle ABH$ vuông tại $H$, góc $B$ là một góc nhọn, và $BH$ là cạnh kề của góc $B$.
5. Quên mối quan hệ giữa các góc trong tam giác vuông: Mối quan hệ $\angle C = 90^\circ - \angle B \implies \sin C = \cos B$ và $\cos C = \sin B$ rất quan trọng để đơn giản hóa biểu thức trong phần chứng minh.
6. Kỹ năng biến đổi đại số còn yếu: Khi thay thế và rút gọn biểu thức $BM$ và $CK$, các em cần cẩn thận với các phép nhân và lũy thừa.
7. Lỗi trình bày: Trình bày không rõ ràng, các bước biến đổi không thẳng hàng cũng có thể gây khó khăn cho việc kiểm tra và mất điểm trình bày. Hãy luyện tập trình bày sạch đẹp và khoa học nhé.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
Đang được quan tâm nhất Khối 9
Tài liệu mới cập nhật
Bài 66 trang 35
02/08/2026
92
Bài 65 trang 35 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÍNH CHẤT
02/08/2026
49
Cho hai bất đẳng thức cùng chiều
01/08/2026
55