Hướng dẫn giải chi tiết cho hệ phương trình 

$\begin{cases} x^2 + xy + y - 1 = 0 \quad (1) \\ x + \sqrt{x+2y} = y - 1 \quad (2) \end{cases}$

1. Quan trọng cần nhớ: Điều kiện xác định để căn thức tồn tại

Để căn thức có nghĩa: $x + 2y \ge 0$

Từ phương trình (2), ta cũng có: $\sqrt{x+2y} = y - 1 - x$. Vì vế trái không âm nên vế phải cũng phải không âm:

$y - 1 - x \ge 0 \implies y \ge x + 1$

2. Xem phương trình nào dễ biến đổi - Phân tích và biến đổi phương trình (1)

Phương trình $(1)$ có thể phân tích thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử:

$x^2 - 1 + xy + y = 0$ - Mình tìm thấy $x^2 - 1$ là hằng đẳng thức

(x - 1)(x + 1) + y(x + 1) = 0

(x + 1)(x + y - 1) = 0

Suy ra 

Trường hợp 1: x + 1 = 0 $\Rightarrow$  x = -1

Trường hợp 2: x + y - 1 = 0 $\Rightarrow$  y - 1 = -x (hay $y = 1 - x$)

3. Thế giá trị vừa tìm được của từng trường hợp vào Phương trình $(2)$

Trường hợp 1: Với x = -1

TH1: Thay $x = -1$ vào phương trình $(2)$, ta được:

$-1 + \sqrt{-1+2y} = y - 1$

$\sqrt{2y - 1} = y$

Điều kiện để phương trình có nghiệm là $y \ge 0$. Bình phương hai vế ta được:

$2y - 1 = y^2$

$y^2 - 2y + 1 = 0$

$(y - 1)^2 = 0 \Rightarrow  y = 1$

Phần quan trọng: cần thử lại các nghiệm vừa tìm được xem có thỏa không

Với $x = -1, y = 1 \Rightarrow x + 2y = -1 + 2(1) = 1 \ge 0$ (Thỏa mãn).

Điều kiện vế phải: $y \ge x + 1 \implies 1 \ge -1 + 1 = 0$ (Thỏa mãn)

Do đó, cặp nghiệm đầu tiên là $(-1; 1)$.

Trường hợp 2: Với y - 1 = - x

Thay $y - 1 = -x$ vào phương trình (2):

$x + \sqrt{x + 2(1 - x)} = -x$

$\sqrt{2 - x} = -2x$

Điều kiện: $-2x \ge 0 \implies x \le 0$.

Kết hợp với điều kiện căn thức: $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$. Do đó điều kiện thu gọn là $x \le 0$.

Bình phương hai vế phương trình:

$2 - x = (-2x)^2$

$2 - x = 4x^2$

$4x^2 + x - 2 = 0$

Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm:

$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 1 + 32 = 33$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{8}$

Vì điều kiện là $x \le 0$, ta loại nghiệm dương và chỉ nhận nghiệm âm:

$x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{8}$

Tính giá trị $y$ tương ứng:

$y = 1 - x = 1 - \frac{-1 - \sqrt{33}}{8} = \frac{9 + \sqrt{33}}{8}$

Thử lại điều kiện hệ: $y \ge x + 1$

$\frac{9 + \sqrt{33}}{8} \ge \frac{-1 - \sqrt{33}}{8} + 1 = \frac{7 - \sqrt{33}}{8}$

(Điều này hiển nhiên đúng vì $9 + \sqrt{33} > 7 - \sqrt{33}$).

Kết luận

Hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm $(x; y)$ là:

$\left( -1; 1 \right) \quad \text{và} \quad \left( \frac{-1 - \sqrt{33}}{8}; \frac{9 + \sqrt{33}}{8} \right)$

hoặc viết gộp 

Hệ phương trình đã cho có tập nghiệm gồm hai cặp $(x; y)$ là:

$S = \left\{ (-1; 1); \left( \frac{-1 - \sqrt{33}}{8}; \frac{9 + \sqrt{33}}{8} \right) \right\}$