BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG VẬN DỤNG CAO

An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa. Sau đó $5$ phút, Bình và Cường khởi hành từ Biên Hòa về Sài Gòn (trên cùng một quãng đường An đi). Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm $C$ rồi gặp Bình ở địa điểm $D$. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng quãng đường Sài Gòn – Biên Hòa dài $39\text{ km}$, đoạn đường $CD$ dài $6\text{ km}$, vận tốc của An bằng $1,5$ lần vận tốc của Bình và bằng $\frac{3}{4}$ vận tốc của Cường.

$\bullet$ Bài toán có $3$ đối tượng, nhưng vận tốc Bình và Cường đều tỉ lệ với An. Hãy đặt vận tốc An là $x$.

$\bullet$ Thời gian hai xe đi ngược chiều gặp nhau: Tổng quãng đường bằng đúng khoảng cách ban đầu ($39$ km). Hãy lập thời gian $t_C$ và $t_D$.

Khai thác dữ kiện $CD = 6$ km qua biểu thức quãng đường: $v_A \cdot (t_D - t_C) = 6$. Lắp biểu thức vào, ẩn $x$ sẽ tự triệt tiêu vô cùng đẹp mắt!

LỜI GIẢI 
Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện.
Gọi vận tốc của An là $x$ (km/h, $x > 0$).
Theo đề bài, ta có:
- Vận tốc của Bình là: $x : 1,5 = \frac{2}{3}x$ (km/h).
- Vận tốc của Cường là: $x : \frac{3}{4} = \frac{4}{3}x$ (km/h).
- Đổi thời gian xuất phát trễ: $5$ phút $= \frac{1}{12}$ giờ.
Bước 2: Lập phương trình thời gian tại các điểm gặp nhau.
- Tại điểm $C$ (An gặp Cường): Tổng quãng đường hai người đi được là $39$ km. Gọi $t_C$ là thời gian An đi cho đến khi gặp Cường. Vì Cường đi sau $5$ phút nên thời gian Cường đi là $t_C - \frac{1}{12}$.
$x \cdot t_C + \frac{4}{3}x \left( t_C - \frac{1}{12} \right) = 39 \Rightarrow \frac{7}{3}x \cdot t_C = 39 + \frac{1}{9}x \Rightarrow t_C = \frac{39 + \frac{1}{9}x}{\frac{7}{3}x}$ (1)
-Tại điểm $D$ (An gặp Bình): Tương tự, gọi $t_D$ là thời gian An đi cho đến khi gặp Bình.
$x \cdot t_D + \frac{2}{3}x \left( t_D - \frac{1}{12} \right) = 39 \Rightarrow \frac{5}{3}x \cdot t_D = 39 + \frac{1}{18}x \Rightarrow t_D = \frac{39 + \frac{1}{18}x}{\frac{5}{3}x}$ (2)
Bước 3: Giải phương trình dựa trên khoảng cách $CD$.
Quãng đường An đi được từ $C$ đến $D$ là $CD = 6$ km, ta có phương trình:
$x \cdot t_D - x \cdot t_C = 6$
$\Rightarrow x \left( \frac{39 + \frac{1}{18}x}{\frac{5}{3}x} - \frac{39 + \frac{1}{9}x}{\frac{7}{3}x} \right) = 6$
(Rút gọn $x$ ở tử và mẫu):
$\Rightarrow \frac{3 \left( 39 + \frac{x}{18} \right)}{5} - \frac{3 \left( 39 + \frac{x}{9} \right)}{7} = 6$
Nhân cả hai vế với $35$:
$\Rightarrow 21 \left( 39 + \frac{x}{18} \right) - 15 \left( 39 + \frac{x}{9} \right) = 210$
$\Rightarrow 819 + \frac{7}{6}x - 585 - \frac{5}{3}x = 210$
$\Rightarrow 234 - \frac{1}{2}x = 210 \Rightarrow \frac{1}{2}x = 24 \Rightarrow x = 48$ (nhận)
Vậy: 
- Vận tốc của An là $48$ km/h.
- Vận tốc của Bình là $48 \cdot \frac{2}{3} = 32$ km/h.
- Vận tốc của Cường là $48 \cdot \frac{4}{3} = 64$ km/h.