Bài I. (1,0 điểm) Thống kê điểm kiểm tra khảo sát môn Toán của $40$ học sinh lớp $9A$ được cho trong bảng sau:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Điểm} & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \text{Số học sinh} & 6 & 14 & 16 & 4 \\ \hline \end{array}$
a) Tìm tần số của điểm $7$.
b) Tính tần số tương đối của điểm $10$.

Bài II. (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$ và $B = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} - \frac{\sqrt{x}}{3 - \sqrt{x}} + \frac{2\sqrt{x} + 12}{x - 9}$ với $x \ge 0; x \ne 9$.
a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 16$.
b) Chứng minh $B = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3}$.
c) Cho $P = A.B$. Tìm các giá trị của $x$ để $|P| - P = 0$.

Bài III. (2,25 điểm)
1) Hai xe khởi hành cùng một lúc từ $A$ để đi đến $B$. Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là $10 \text{ km/h}$ nên xe thứ nhất đến $B$ sớm hơn xe thứ hai là $24$ phút. Biết độ dài quãng đường $AB$ là $80 \text{ km}$. Tính vận tốc của mỗi xe.
2) Cho phương trình $x^2 - x + m = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ và $x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $A = 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2$.

Bài IV. (4,25 điểm)
1) Một ly nước hình trụ có chiều cao $15\text{cm}$, bán kính đáy $2,5\text{cm}$, lượng nước tinh khiết trong ly cao $10\text{cm}$. Ly nước được đặt cố định trên mặt bàn phẳng như hình vẽ dưới đây. (Lấy $\pi \approx 3,14$, các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
a) Tính thể tích lượng nước tinh khiết được chứa trong ly?
b) Người ta thả vào ly nước $5$ viên bi hình cầu giống hệt nhau có cùng thể tích, đồng chất và ngập hoàn toàn trong nước làm nước trong ly dâng lên đúng bằng miệng ly, không tràn ra ngoài. Hỏi thể tích của mỗi viên bi là bao nhiêu $\text{cm}^3$ (giả sử độ dày của ly là không đáng kể).
2) Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ ($AB < AC$). Các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H$.

a) Chứng minh tứ giác $ABDE$ nội tiếp.
b) Kẻ đường kính $AT$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng: $AB.AC = AD.AT$ và $\widehat{DEF} = \widehat{COT}$
c) Kẻ $CI$ vuông góc với $AT$ tại $I$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh ba điểm $F, I, M$ thẳng hàng.
Bài V. (0,5 điểm)

Trong hình bên, độ dài quãng đường $AB$ là $5\text{ km}$, độ dài quãng đường $BC$ là $26\text{ km}$, $\widehat{ABC} = 90^\circ$. Một người có kế hoạch đi xe đạp, người đó đi thẳng từ $A$ đến vị trí $M$ trên đoạn thẳng $BC$ với tốc độ $12\text{ km/h}$, sau đó đi thẳng từ $M$ đến $C$ với tốc độ $13\text{ km/h}$. Người đó cần chọn vị trí điểm $M$ cách điểm $B$ một khoảng bằng bao nhiêu $\text{km}$ để tổng thời gian đi từ $A$ đến $M$ và từ $M$ đến $C$ là ít nhất?

Bài giải

Bài I

a) Tần số của điểm $7$ là: $6$
b) Tần số tương đối của điểm $10$ là: $\frac{4}{40} . 100\% = 10\%$

Bài II

a) Thay $x = 16$ (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức $A$, ta có:
$A = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{16} + 3} = \frac{4}{4 + 3} = \frac{4}{7}$
Vậy $A = \frac{4}{7}$ khi $x = 16$
$B = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} - \frac{\sqrt{x}}{3 - \sqrt{x}} + \frac{2\sqrt{x} + 12}{x - 9}$
$= \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{2\sqrt{x} + 12}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)}$
$= \frac{\sqrt{x} - 3 + \sqrt{x}(\sqrt{x} + 3) + 2\sqrt{x} + 12}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)}$
$= \frac{x + 6\sqrt{x} + 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$
$= \frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)}$
$= \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3}$
Vậy $B = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3}$ với $x \ge 0; x \ne 9$
$P = A.B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3}$
$|P| - P = 0$
$|P| = P$
$P \ge 0$
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \ge 0$
*Trường hợp 1: $x = 0$ (thỏa mãn ĐK)
*Trường hợp 2: $x > 0$

$\sqrt{x}-3>0$
$x>9$
Kết hợp với điều kiện $x \geq 0; x \neq 9 \Rightarrow x>9$
Vậy $x=0$ hoặc $x>9$ thì $|P|-P=0$
Bài III
1) Gọi vận tốc của xe thứ hai là $x$ (km/h) $(x>0)$
Vận tốc của xe thứ nhất là: $x+10$ (km/h)
Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là: $\frac{80}{x+10}$ (giờ)
Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là: $\frac{80}{x}$ (giờ)
Vì xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 24 phút $= \frac{2}{5}$ giờ nên ta có phương trình: $\frac{80}{x} - \frac{80}{x+10} = \frac{2}{5}$
Giải phương trình tìm được $x=40$ (TM) và $x=-50$ (KTM)
Vậy vận tốc của xe thứ nhất là: $40+10=50$ (km/h)
Vận tốc của xe thứ hai là 40 km/h

2) $\Delta = (-1)^2 - 4m = 1 - 4m$
Để phương trình có 2 nghiệm thì $\Delta \geq 0 \Rightarrow m \leq \frac{1}{4}$
Áp dụng định lý Viete có:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 x_2 = m \end{cases}$
Ta có: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 = \frac{1+\sqrt{13}}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = \frac{1+\sqrt{13}}{2} \\ x_2 = \frac{1-\sqrt{13}}{2} \end{cases}$
$x_1 x_2 = m \Rightarrow m = -3$ (thỏa mãn)
$A = 3x_1^2 x_2 + 3x_1 x_2^2 = 3x_1 x_2 (x_1 + x_2) = 3.(-3).1 = -9$
Bài IV
1a) Thể tích lượng nước tinh khiết chứa trong ly là:
$V = \pi R^2 h \approx 3,14 \cdot 2,5^2 \cdot 10$ $\approx 196,3 \text{ (cm}^3\text{)}$
1b) Thể tích 5 viên bi hình cầu là:
$\pi \cdot 2,5^2 \cdot (15 - 10) = 31,25\pi$
Thể tích mỗi viên bi là:
$31,25\pi : 5 = 6,25\pi \approx 6,25 \cdot 3,14$ $\approx 19,6 \text{ (cm}^3\text{)}$

2a) Giải thích được $\widehat{ADB} = 90^0, \widehat{AEB} = 90^0$
$A, B, D$ thuộc đường tròn đường kính $AB$
$A, B, E$ thuộc đường tròn đường kính $AB$
$\Rightarrow 4$ điểm $A, B, D, E$ thuộc đường tròn đường kính $AB$
$\Rightarrow$ Tứ giác $ABDE$ nội tiếp

2b) Chỉ ra được: $\widehat{ACK} = 90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\widehat{ABD} = \widehat{ATC}$ ($2$ góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$ của $(O)$)
Chứng minh: $\Delta ABD$ đồng dạng $\Delta ATC$ (g.g)
Từ đó suy ra: $AB.AC = AD.AT$

Tứ giác $ABDE$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{DEH} = \widehat{DAB}$
Tứ giác $AEHF$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{HEF} = \widehat{HAF}$
$\widehat{DEF} = \widehat{DEH} + \widehat{HEF} = \widehat{DAB} + \widehat{HAF} = 2\widehat{BAD} = 2\widehat{TAC}$
$\widehat{COT} = 2\widehat{TAC}$ (góc ngoài tam giác $AOC$)
Do đó: $\widehat{DEF} = \widehat{COT}$

2c) Chứng minh: $OM \perp BC$

$\Rightarrow$ Tứ giác $OMIC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OC$
$\Rightarrow \widehat{OIM} = \widehat{OCM}$ (1)
Tứ giác $AFIC$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{AIF} = \widehat{ACF}$ (2)
Chứng minh: $\Delta OMC$ đồng dạng $\Delta AFC$ (g.g) $\Rightarrow \widehat{ACF} = \widehat{OCM}$ (3)
Từ (1)(2)(3) $\Rightarrow \widehat{AIM} = \widehat{AIF}$
Nên $F, M, I$ thẳng hàng

Bài V

Đặt $AM = x$ (km) ($x > 5$)
$BM = \sqrt{x^2 - 25}$ (km)
$MC = 26 - \sqrt{x^2 - 25}$ (km)
Tổng thời gian đi là:
$T = \frac{x}{12} + \frac{26 - \sqrt{x^2 - 25}}{13}$
$= \frac{13x + 312 - 12\sqrt{x^2 - 25}}{156}$
$= \frac{13x + 312 - 12\sqrt{(x - 5)(x + 5)}}{156}$
$= \frac{9(x - 5) - 2\sqrt{9(x - 5) \cdot 4(x + 5)} + 4(x + 5) + 337}{156}$
$= \frac{\left(3\sqrt{x - 5} - 2\sqrt{x + 5}\right)^2 + 317}{156}$
$T \ge \frac{317}{156}$
Dấu "=" xảy ra khi $3\sqrt{x - 5} = 2\sqrt{x + 5}$
$x = 13$ (thỏa mãn)
$MB = \sqrt{13^2 - 25} = 12$ (km)