Bài 6. (1,0 điểm) Một trường dự định tổ chức dã ngoại cho học sinh. Trường dự định thuê một số xe khách và xếp đều học sinh lên các xe. Nếu xếp mỗi xe 20 học sinh thì còn dư chỗ cho 3 em. Nhưng do một chiếc xe gặp sự cố không thể khởi hành, ban tổ chức đã sắp xếp lại và chia đều toàn bộ số học sinh lên các xe còn lại. Hỏi ban đầu trường đã thuê bao nhiêu chiếc xe và tổng số học sinh tham gia dã ngoại là bao nhiêu? Biết rằng theo quy định, mỗi chiếc xe chở không quá 30 em.

Phân tích đề bài

• Dự định: Thuê $x$ chiếc xe. Mỗi xe xếp 20 học sinh thì còn thừa 3 chỗ trống.

• Thực tế: 1 xe hỏng (còn $x - 1$ xe). Số học sinh chia đều cho các xe còn lại.

• Điều kiện: Mỗi xe chở không quá 30 học sinh.

Bài giải

Gọi số xe ô tô thuê ban đầu là $x$ ($x \in \mathbb{N}, x \ge 2$).

Số học sinh tham gia dã ngoại là: $20x - 3$ (học sinh).

Theo giả thiết: Nếu số xe là $x - 1$ thì số học sinh được phân phối đều cho tất cả các xe, gọi mỗi xe chở $y$ học sinh ($y \in \mathbb{N}, 0 < y \le 30$).

Do đó ta có phương trình:

$(x - 1)y = 20x - 3 \Rightarrow y = \frac{20x - 3}{x - 1}$

$y = \frac{20(x - 1) + 17}{x - 1} = 20 + \frac{17}{x - 1}$

Vì $x$ và $y$ đều là số nguyên dương, nên $x - 1$ phải là ước của 17.

Mà 17 là số nguyên tố, nên ta có các trường hợp:

Trường hợp 1: $x - 1 = 1 \Rightarrow  x = 2$

Khi đó: $y = 20 + 17 = 37$.

Vì $37 > 30$ nên không thỏa mãn điều kiện bài toán (mỗi xe không quá 30 em).

Trường hợp 2: $x - 1 = 17 \Rightarrow x = 18$

Khi đó: $y = 20 + 1 = 21$.

Vì $21 \le 30$ nên thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Số chiếc xe thuê ban đầu là: 18 chiếc.

Tổng số học sinh tham gia dã ngoại là: $20 . 18 - 3 = 357$ (học sinh).

Cách khác

Gọi số xe thực tế còn lại là $y$ ($y \in \mathbb{N^*}$).

Khi bỏ 1 chiếc xe dự định ra, số học sinh cần chia lại vào $y$ xe còn lại là:

$20 - 3 = 17 \text{ (học sinh)}$

Vì toàn bộ 17 học sinh này được chia đều vào $y$ xe, nên $y$ phải là ước của 17.

Mà 17 là số nguyên tố, nên ta chỉ có 2 trường hợp của $y$:

Trường hợp 1: $y = 1$ (Số xe còn lại là 1 chiếc)

Khi đó, 17 học sinh này dồn hết vào 1 xe duy nhất.

Số học sinh trên xe đó là: $20 + 17 = 37$ (học sinh).

Đối chiếu điều kiện: Theo quy định mỗi xe không chở quá 30 em, nên $37 > 30$ (Loại).

Trường hợp 2: $y = 17$ (Số xe còn lại là 17 chiếc)

Khi đó, 17 học sinh được chia đều vào 17 xe, mỗi xe nhận thêm: $17 : 17 = 1$ (học sinh).

Số học sinh thực tế trên mỗi xe là: $20 + 1 = 21$ (học sinh).

Đối chiếu điều kiện: $21 \le 30$ (Thỏa mãn).

Vậy:

Số xe thực tế là 17 chiếc, vậy số xe thuê ban đầu là: $17 + 1 = \mathbf{18}$ (chiếc).

Tổng số học sinh tham gia dã ngoại là: $21 \times 17 = \mathbf{357}$ (học sinh).