CHUYÊN ĐỀ 2. CÁC PHÉP TÍNH VỚI PHÂN SỐ

A. LÝ THUYẾT
1. Phép cộng phân số
1.1. Cách cộng
Hai phân số cùng mẫu:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b} (b \neq 0)$
Hai phân số khác mẫu số:
- Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đa về trờng hợp cộng 2 phân số có cùng mẫu số.
Cộng một số tự nhiên với một phân số.
- Viết số tự nhiên thành phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số đã cho.
- Cộng hai tử số và giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ:
$2 + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$
1.2. Tính chất cơ bản của phép cộng
- Tính chất giao hoán:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$
- Tính chất kết hợp:
$(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{m}{n} = \frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{m}{n})$
- Tổng của một phân số và số 0:
$\frac{a}{b} + 0 = 0 + \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$
2. Phép trừ phân số
2.1. Cách trừ
Hai phân số cùng mẫu:
$\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b}$
Hai phân số khác mẫu số:
- Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đưa về trường hợp trừ 2 phân số cùng mẫu số
b) Quy tắc cơ bản:
- Một tổng 2 phân số trừ đi một phân số:
$(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) - \frac{m}{n} = \frac{a}{b} + (\frac{c}{d} - \frac{m}{n})$ (Với $\frac{c}{d} \ge \frac{m}{n}$)
$= \frac{c}{d} + (\frac{a}{b} - \frac{m}{n})$ (Với $\frac{a}{b} \ge \frac{m}{n}$)
- Một phân số trừ đi một tổng 2 phân số:
$\frac{a}{b} - (\frac{c}{d} + \frac{m}{n}) = (\frac{a}{b} - \frac{c}{d}) - \frac{m}{n}$
$= (\frac{a}{b} - \frac{m}{n}) - \frac{c}{d}$
- Một phân số trừ đi số 0:
$\frac{a}{b} - 0 = \frac{a}{b}$
3. Phép nhân phân số
3.1. Cách nhân: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$
3.2. Tính chất cơ bản của phép nhân:
- Tính chất giao hoán:
$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \times \frac{a}{b}$
- Tính chất kết hợp:
$(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}) \times \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \times (\frac{c}{d} \times \frac{m}{n})$
- Một tổng 2 phân số nhân với một phân số:
$(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) \times \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \times \frac{m}{n} + \frac{c}{d} \times \frac{m}{n}$
- Một hiệu 2 phân số nhân với một phân số:
$(\frac{a}{b} - \frac{c}{d}) \times \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \times \frac{m}{n} - \frac{c}{d} \times \frac{m}{n}$
- Một phân số nhân với số 0:
$\frac{a}{b} \times 0 = 0 \times \frac{a}{b} = 0$

3.3. Chú ý:
- Thực hiện phép trừ 2 phân số:
$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \times 2}$         Do đó: $\frac{1}{1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \times 2}$
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} = \frac{1}{2 \times 3}$         Do đó: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \times 3}$
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12} = \frac{1}{3 \times 4}$   Do đó: $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3 \times 4}$
$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n \times (n+1)} - \frac{n}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n \times (n+1)}$ Do đó: $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n \times (n+1)}$

- Muốn tìm giá trị phân số của một số ta lấy phân số nhân với số đó.
Ví dụ: Tìm $\frac{1}{2}$ của $6$ ta lấy: $\frac{1}{2} \times 6 = 3$
Tìm $\frac{1}{2}$ của $\frac{1}{3}$ ta lấy: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

4. Phép chia phân số
$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times c}$
4.1. Cách làm:
4.2. Quy tắc cơ bản:
- Tích của 2 phân số chia cho một phân số.
$(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}) : \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \times (\frac{c}{d} : \frac{m}{n})$
- Một phân số chia cho một tích 2 phân số:
$\frac{a}{b} : (\frac{c}{d} \times \frac{m}{n}) = (\frac{a}{b} : \frac{c}{d}) : \frac{m}{n}$
- Tổng 2 phân số chia cho một phân số:
$(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) : \frac{m}{n} = \frac{a}{b} : \frac{m}{n} + \frac{c}{d} : \frac{m}{n}$
- Hiệu 2 phân số chia cho một phân số:
$(\frac{a}{b} - \frac{c}{d}) : \frac{m}{n} = \frac{a}{b} : \frac{m}{n} - \frac{c}{d} : \frac{m}{n}$
- Số 0 chia cho một phân số: $0 : \frac{a}{b} = 0$.
- Muốn tìm 1 số khi biết giá trị 1 phân số của nó ta lấy giá trị đó chia cho phân số tương ứng.

Ví dụ: Tìm số học sinh lớp 5A biết $\frac{2}{5}$ số học sinh của lớp 5A là 10 em.
Bài giải
Số học sinh của lớp 5A là:
$10 : \frac{2}{5} = 25$ (em)

Khi biết phân số $\frac{a}{b}$ của x bằng $\frac{c}{d}$ của y ($a, b, c, d \neq 0$)
- Muốn tìm tỉ số giữa x và y ta lấy $\frac{c}{d} : \frac{a}{b}$
- Muốn tìm tỉ số giữa y và x ta lấy $\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$

Ví dụ: Biết $\frac{2}{5}$ số nam bằng $\frac{3}{4}$ số nữ. Tìm tỉ số giữa nam và nữ.

Bài giải
Tỉ số giữa nam và nữ là: $\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{15}{8}$.

B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN

Dạng 1: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước 2 lần.
Ví dụ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$.

Cách giải:
Cách 1:
Bước 1: Đặt $A = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$
Bước 2: Ta thấy: $\frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$
$\frac{1}{8} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$
Bước 3: Vậy $A = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \right) + ... + \left( \frac{1}{32} - \frac{1}{64} \right)$
$A = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{32} - \frac{1}{64}$
$A = 1 - \frac{1}{64}$
$A = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$
Đáp số: $\frac{63}{64}$.

Cách 2:
Bước 1: Đặt $A = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$
Bước 2: Ta thấy:
$\frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 1 - \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 1 - \frac{1}{8}$
Bước 3: Vậy $A = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$
$= 1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước $n$ lần. ($n > 1$)
Ví dụ: $A = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$

Cách giải:
Bước 1: Tính $A \times n$ ($n = 2$)
Ta có: $A \times 2 = 2 \times \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} \right)$
$= \frac{2}{2} + \frac{2}{4} + \frac{2}{8} + \frac{2}{16} + \frac{2}{32} + \frac{2}{64}$
$= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$

Bước 2: Tính $A \times n - A = A \times (n - 1)$
$A \times 2 - A = \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} \right)$
$A \times (2 - 1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{1}{32} - \frac{1}{64}$
$A = 1 - \frac{1}{64}$
$A = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

Ví dụ 2: $B = \frac{5}{2} + \frac{5}{6} + \frac{5}{18} + \frac{5}{54} + \frac{5}{162} + \frac{5}{486}$
Bước 1: Tính $B \times n$ ($n \times 3$)
$B \times 3 = 3 \times \left( \frac{5}{2} + \frac{5}{6} + \frac{5}{18} + \frac{5}{54} + \frac{5}{162} + \frac{5}{486} \right)$
$= \frac{15}{2} + \frac{5}{2} + \frac{5}{6} + \frac{5}{18} + \frac{5}{54} + \frac{5}{162}$
Bước 2: Tính $B \times n - B$
$B \times3 - B = \left( \frac{15}{2} + \frac{5}{2} + \frac{5}{6} + \frac{5}{18} + \frac{5}{54} + \frac{5}{162} \right) - \left( \frac{5}{2} + \frac{5}{6} + \frac{5}{18} + \frac{5}{54} + \frac{5}{162} + \frac{5}{486} \right)$
$B \times (3 - 1) = \frac{15}{2} + \frac{5}{2} + \frac{5}{6} + \frac{5}{18} + \frac{5}{54} + \frac{5}{162} - \frac{5}{2} - \frac{5}{6} - \frac{5}{18} - \frac{5}{54} - \frac{5}{162} - \frac{5}{486}$
$B \times 2 = \frac{15}{2} - \frac{5}{486}$
$B \times 2 = \frac{3645 - 5}{486}$
$B \times 2 = \frac{3640}{486}$
$B = \frac{3640}{486} : 2$
$B = \frac{1820}{486}$
$B = \frac{910}{243}$
Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa
số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trớc là thừa số thứ
nhất của mẫu phân số liền sau
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức $A$
$\displaystyle A = \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6}$
Phương pháp giải chi tiết:
Bước 1: Tách tử số thành hiệu của hai thừa số dưới mẫu
$\displaystyle A = \frac{3 - 2}{2 \times 3} + \frac{4 - 3}{3 \times 4} + \frac{5 - 4}{4 \times 5} + \frac{6 - 5}{5 \times 6}$
Bước 2: Tách mỗi phân số lớn thành hiệu của hai phân số nhỏ
$\displaystyle = \frac{3}{2 \times 3} - \frac{2}{2 \times 3} + \frac{4}{3 \times 4} - \frac{3}{3 \times 4} + \frac{5}{4 \times 5} - \frac{4}{4 \times 5} + \frac{6}{5 \times 6} - \frac{5}{5 \times 6}$
Bước 3: Rút gọn các phân số
$\displaystyle = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$
Bước 4: Triệt tiêu các cặp số đối nhau và tính kết quả cuối cùng
$\displaystyle = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Mẹo nhỏ: Để làm nhanh dạng bài này, bạn có thể áp dụng ngay công thức tổng quát:
$\displaystyle \frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
Khi đó bài toán sẽ được rút gọn thẳng từ bước 1 xuống bước 3 luôn đấy!
Ví dụ 2:
$\displaystyle B = \frac{3}{2 \times 5} + \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14}$
$\displaystyle B = \frac{5 - 2}{2 \times 5} + \frac{8 - 5}{5 \times 8} + \frac{11 - 8}{8 \times 11} + \frac{14 - 11}{11 \times 14}$
$\displaystyle B = \frac{5}{2 \times 5} - \frac{2}{2 \times 5} + \frac{8}{5 \times 8} - \frac{5}{5 \times 8} + \frac{11}{8 \times 11} - \frac{8}{8 \times 11} + \frac{14}{11 \times 14} - \frac{11}{11 \times 14}$
$\displaystyle = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{14}$
$\displaystyle = \frac{1}{2} - \frac{1}{14} = \frac{7}{514} - \frac{1}{4} = \frac{6}{14} - \frac{3}{7}$